Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan Belajar Mandiri: Basis Subruang dan Interval Terbuka

Enam panduan ini melanjutkan dukungan belajar mandiri Bab 15: satu pembuktian basis terinduksi dan lima langkah pembuktian homeomorfisme antara garis real dan interval terbuka. Gunakan petunjuk, jawaban, dan solusi hanya setelah mencoba tugas utama secara mandiri.
Komponen pendamping ini ditulis secara terpisah di bawah lisensi CC BY 4.0 dan bukan materi resmi GVSU.
Misalkan \((X,\tau)\) suatu ruang topologi dengan basis \(\B\text{,}\) dan misalkan \(A\) suatu subruang dari \(X\text{.}\) Untuk
\begin{equation*} \B_A=\{B\cap A\mid B\in\B\}, \end{equation*}
buktikan bahwa \(\B_A\) merupakan basis bagi topologi terinduksi \(\tau_A\) pada \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk \(x\in A\text{,}\) gunakan sifat basis \(\B\) untuk mencari \(B\in\B\) yang memuat \(x\text{.}\)
Tahap 2. Jika \(x\in(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A)\text{,}\) cari \(B_3\in\B\) dengan \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\text{.}\)
Tahap 3. Tunjukkan pula bahwa setiap \(A\cap O\text{,}\) dengan \(O\) terbuka dalam \(X\text{,}\) merupakan gabungan anggota \(\B_A\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Keluarga \(\B_A\) memenuhi kedua kriteria basis pada \(A\text{,}\) dan gabungan anggota-anggotanya tepat menghasilkan seluruh himpunan \(A\cap O\) dengan \(O\in\tau\text{.}\)
Solusi.
Pertama, ambil \(x\in A\text{.}\) Karena \(\B\) basis bagi \(X\text{,}\) terdapat \(B\in\B\) dengan \(x\in B\text{.}\) Maka \(x\in B\cap A\) dan \(B\cap A\in\B_A\text{.}\) Jadi anggota-anggota \(\B_A\) menutupi \(A\text{.}\)
Kedua, andaikan \(x\in(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A)\text{,}\) dengan \(B_1,B_2\in\B\text{.}\) Karena \(x\in B_1\cap B_2\text{,}\) sifat basis \(\B\) menghasilkan \(B_3\in\B\) sedemikian sehingga \(x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2\text{.}\) Akibatnya,
\begin{equation*} x\in B_3\cap A \subseteq(B_1\cap A)\cap(B_2\cap A), \end{equation*}
dan \(B_3\cap A\in\B_A\text{.}\) Dengan demikian kedua kriteria basis terpenuhi.
Masih perlu mengidentifikasi topologi yang dibangkitkan. Setiap \(B\in\B\) terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga setiap \(B\cap A\) terbuka relatif. Jadi topologi yang dibangkitkan \(\B_A\) termuat dalam \(\tau_A\text{.}\) Sebaliknya, jika \(U\in\tau_A\text{,}\) tulis \(U=A\cap O\) untuk suatu \(O\in\tau\text{.}\) Karena \(\B\) basis, ada keluarga \(\{B_i\}_{i\in I}\subseteq\B\) dengan \(O=\bigcup_{i\in I}B_i\text{.}\) Maka
\begin{equation*} U=A\cap O=\bigcup_{i\in I}(A\cap B_i), \end{equation*}
suatu gabungan anggota \(\B_A\text{.}\) Jadi topologi yang dibangkitkan tepat \(\tau_A\text{.}\)
Definisikan \(f:(0,1)\to\R\) dengan
\begin{equation*} f(x)=\tan\left(\pi\left(x-\frac12\right)\right). \end{equation*}
Jelaskan mengapa rumus ini memetakan setiap \(x\in(0,1)\) ke suatu bilangan real.
Petunjuk.
Tahap 1. Tentukan rentang \(x-\frac12\) ketika \(0\lt x\lt1\text{.}\)
Tahap 2. Kalikan pertidaksamaan tersebut dengan \(\pi\text{.}\)
Tahap 3. Ingat pada interval mana fungsi tangen terdefinisi dan bernilai real.
Jawaban.
Jika \(0\lt x\lt1\text{,}\) maka \(-\frac{\pi}{2}\lt\pi(x-\frac12)\lt\frac{\pi}{2}\text{.}\) Fungsi tangen terdefinisi dan bernilai real pada interval tersebut.
Solusi.
Dari \(0\lt x\lt1\) diperoleh \(-\frac12\lt x-\frac12\lt\frac12\text{,}\) sehingga
\begin{equation*} -\frac{\pi}{2} \lt\pi\left(x-\frac12\right) \lt\frac{\pi}{2}. \end{equation*}
Kosinus tidak nol pada interval terbuka \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{,}\) maka tangen terdefinisi di sana dan nilainya merupakan bilangan real. Jadi rumus tersebut mendefinisikan fungsi \(f:(0,1)\to\R\) dengan baik.
Untuk \(f(x)=\tan(\pi(x-\frac12))\) pada \((0,1)\text{,}\) jelaskan mengapa \(f\) merupakan injeksi.
Petunjuk.
Tahap 1. Fungsi \(x\mapsto\pi(x-\frac12)\) naik tegas pada \((0,1)\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan sifat monoton fungsi tangen pada \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\)
Tahap 3. Komposisi dua fungsi yang naik tegas juga naik tegas.
Jawaban.
Fungsi \(f\) naik tegas pada \((0,1)\text{,}\) sehingga dua masukan berbeda tidak mungkin mempunyai citra yang sama. Jadi \(f\) injektif.
Solusi.
Pemetaan afin \(h(x)=\pi(x-\frac12)\) naik tegas dan memetakan \((0,1)\) ke \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\) Pada interval terakhir, fungsi tangen naik tegas. Jika \(x_1\lt x_2\text{,}\) maka
\begin{equation*} \pi\left(x_1-\frac12\right) \lt\pi\left(x_2-\frac12\right) \end{equation*}
dan karena itu \(f(x_1)\lt f(x_2)\text{.}\) Jadi \(f\) naik tegas, yang menyiratkan bahwa \(f(x_1)=f(x_2)\) hanya mungkin jika \(x_1=x_2\text{.}\) Maka \(f\) merupakan injeksi.
Untuk \(f:(0,1)\to\R\) yang diberikan oleh \(f(x)=\tan(\pi(x-\frac12))\text{,}\) jelaskan mengapa \(f\) merupakan surjeksi.
Petunjuk.
Tahap 1. Ambil bilangan real sebarang \(y\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan \(\arctan(y)\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\)
Tahap 3. Selesaikan persamaan \(y=\tan(\pi(x-\frac12))\) terhadap \(x\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(y\in\R\text{,}\) ambil \(x=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y)\text{.}\) Titik ini berada dalam \((0,1)\) dan memenuhi \(f(x)=y\text{.}\)
Solusi.
Ambil sembarang \(y\in\R\text{.}\) Nilai utama \(\arctan(y)\) berada dalam \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\) Oleh karena itu
\begin{equation*} x=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y) \end{equation*}
memenuhi \(0\lt x\lt1\text{.}\) Substitusi memberi
\begin{equation*} f(x)=\tan\left(\pi\left( \frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y)-\frac12 \right)\right) =\tan(\arctan(y))=y. \end{equation*}
Jadi setiap bilangan real mempunyai prapeta dalam \((0,1)\text{,}\) dan \(f\) surjektif.
Untuk bijeksi \(f:(0,1)\to\R\) yang diberikan oleh \(f(x)=\tan(\pi(x-\frac12))\text{,}\) jelaskan mengapa \(f\) dan \(f^{-1}\) kontinu terhadap topologi metrik Euklides.
Petunjuk.
Tahap 1. Tulis \(f\) sebagai komposisi fungsi afin dan fungsi tangen.
Tahap 2. Gunakan rumus prapeta dari panduan surjektivitas untuk menemukan \(f^{-1}\text{.}\)
Tahap 3. Terapkan teorema kalkulus bahwa fungsi elementer ini kontinu pada domain masing-masing dan komposisi fungsi kontinu tetap kontinu.
Jawaban.
Fungsi \(f\) kontinu sebagai komposisi fungsi kontinu, dan
\begin{equation*} f^{-1}(y)=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y) \end{equation*}
juga kontinu pada seluruh \(\R\text{.}\) Jadi \(f\) adalah homeomorfisme.
Solusi.
Pemetaan \(x\mapsto\pi(x-\frac12)\) kontinu pada \((0,1)\text{,}\) dan citranya termuat dalam \((-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})\text{.}\) Fungsi tangen kontinu pada interval itu. Maka komposisinya, yaitu \(f\text{,}\) kontinu.
Dari penyelesaian persamaan \(y=f(x)\) diperoleh \(f^{-1}(y)=\frac12+\frac{1}{\pi}\arctan(y)\text{.}\) Fungsi arctangen kontinu pada seluruh \(\R\text{,}\) demikian pula operasi mengalikan dengan \(1/\pi\) dan menambahkan \(1/2\text{.}\) Karena itu \(f^{-1}:\R\to(0,1)\) kontinu. Kedua interval membawa topologi yang diinduksi oleh metrik Euklides, sehingga kekontinuan kalkulus tersebut adalah kekontinuan topologis yang dibutuhkan. Jadi \(f\) merupakan homeomorfisme.
Misalkan \(a,b\in\R\) dengan \(a\lt b\text{.}\) Definisikan fungsi \(g:(0,1)\to(a,b)\) dan buktikan bahwa \(g\) merupakan homeomorfisme. Jelaskan bagaimana hasil ini, bersama homeomorfisme antara \(\R\) dan \((0,1)\text{,}\) menunjukkan bahwa \(\R\) homeomorfik dengan \((a,b)\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Gunakan pemetaan afin yang mengirim \(0\) ke \(a\) dan \(1\) ke \(b\text{.}\)
Tahap 2. Temukan rumus inversnya dan gunakan \(b-a\gt0\text{.}\)
Tahap 3. Komposisikan \(g\) dengan invers homeomorfisme \(f:(0,1)\to\R\) dari panduan sebelumnya.
Jawaban.
Ambil \(g(x)=a+(b-a)x\text{.}\) Fungsi ini mempunyai invers \(g^{-1}(y)=\frac{y-a}{b-a}\text{;}\) keduanya kontinu. Maka \(g\) homeomorfisme, dan \(g\circ f^{-1}:\R\to(a,b)\) juga homeomorfisme.
Solusi.
Definisikan \(g(x)=a+(b-a)x\text{.}\) Karena \(b-a\gt0\text{,}\) jika \(0\lt x\lt1\text{,}\) maka \(a\lt a+(b-a)x\lt b\text{;}\) jadi \(g\) memang memetakan \((0,1)\) ke \((a,b)\text{.}\) Fungsi ini naik tegas, sehingga injektif. Untuk setiap \(y\in(a,b)\text{,}\) titik \(x=(y-a)/(b-a)\) berada dalam \((0,1)\) dan memenuhi \(g(x)=y\text{,}\) sehingga \(g\) juga surjektif.
Fungsi afin \(g\) kontinu, dan inversnya
\begin{equation*} g^{-1}(y)=\frac{y-a}{b-a} \end{equation*}
juga afin dan kontinu. Jadi \(g\) merupakan homeomorfisme. Dari panduan sebelumnya, \(f:(0,1)\to\R\) adalah homeomorfisme, maka \(f^{-1}:\R\to(0,1)\) juga homeomorfisme. Komposisi \(g\circ f^{-1}:\R\to(a,b)\) adalah homeomorfisme, sehingga \(\R\) homeomorfik dengan setiap interval terbuka terbatas \((a,b)\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>