Bagian Barisan dan Kekontinuan dalam Ruang Metrik
Kita telah melihat bahwa kekontinuan dapat dicirikan dengan berbagai cara. Sebagai contoh, terdapat definisi \(\epsilon - \delta\) dan pencirian dalam hal lingkungan. Pada bagian ini, kita menyelidiki barisan dan limit barisan dalam ruang metrik, lalu memberikan pencirian fungsi kontinu dalam hal barisan.
Kegiatan 9.2.
Pertanyaan yang wajar diajukan adalah apakah limit suatu barisan bersifat tunggal. Kita akan menjawab pertanyaan itu dalam kegiatan ini. Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dan \((a_n)\) barisan di \(X\text{.}\) Andaikan barisan \((a_n)\) memiliki limit di \(X\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa limit barisan \((a_n)\) bersifat tunggal, kita perlu menunjukkan bahwa jika \(\lim a_n = a\) dan \(\lim a_n = a'\) untuk suatu \(a,
a' \in X\text{,}\) maka \(a=a'\text{.}\)
Andaikan \(\lim a_n = a\) dan \(\lim a_n = a'\) untuk suatu \(a, a' \in X\text{.}\) Tanpa banyak petunjuk, membuktikan \(a=a'\) mungkin tampak sulit. Akan tetapi, jika \(d(a,a') \lt \epsilon\) untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) maka haruslah \(a=a'\text{.}\) Jadi, ambil \(\epsilon \gt 0\text{.}\)
(a)
Mengapa harus ada bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(d(a_n, a) \lt \frac{\epsilon}{2}\) untuk setiap \(n \geq N\text{?}\)
(b)
Mengapa harus ada bilangan bulat positif \(N'\) sedemikian sehingga \(d(a_n, a') \lt \frac{\epsilon}{2}\) untuk setiap \(n \geq N'\text{?}\)
(c)
Sekarang, tetapkan \(m = \max\{N, N'\}\text{.}\) Apa yang dapat kita katakan tentang \(d(a_m,a)\) dan \(d(a_m,a')\text{?}\) Mengapa?
(d)
Gunakan pertidaksamaan segitiga untuk menyimpulkan bahwa \(d(a,a') \lt \epsilon\text{.}\) Apa lagi yang dapat kita simpulkan?
Sekarang kita akan menelaah bagaimana kekontinuan dapat dideskripsikan dalam hal barisan. Gagasan dasarnya adalah sebagai berikut. Andaikan \(f : \R \to \R\) kontinu di titik \(a\text{.}\) Artinya, fungsi \(f\) memiliki limit di \(a\text{.}\) Jadi, jika kita mengambil sebarang barisan \((a_n)\) yang konvergen ke \(a\text{,}\) kekontinuan \(f\) mengakibatkan \(f(a) = f(\lim a_n) = \lim f(a_n)\text{.}\) Teorema berikut menyatakan bahwa hal ini merupakan syarat perlu sekaligus syarat cukup bagi kekontinuan.
Teorema 9.7.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang metrik, dan misalkan \(a \in X\text{.}\) Fungsi \(f:X \to Y\) kontinu di \(a\) jika dan hanya jika \(\lim f(a_n) = f(a)\) untuk setiap barisan \((a_n)\) di \(X\) yang konvergen ke \(a\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang metrik, misalkan \(a \in X\text{,}\) dan misalkan \(f: X \to Y\) suatu fungsi. Andaikan \(f\) kontinu di \(a\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa \(\lim f(a_n) = f(a)\) untuk setiap barisan \((a_n)\) di \(X\) yang konvergen ke \(a\text{.}\) Misalkan \((a_n)\) barisan di \(X\) yang konvergen ke \(a\) (kita tahu bahwa barisan demikian ada, yakni barisan konstan \((a)\)). Untuk memverifikasi bahwa \(\lim f(a_n) = f(a)\text{,}\) ambil \(\epsilon \gt 0\text{.}\) Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_Y(f(x),
f(a)) \lt \epsilon\) apabila \(d_X(x,a) \lt \delta\text{.}\) Karena \((a_n)\) konvergen ke \(a\text{,}\) kita tahu bahwa terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(d_X(a_n, a) \lt \delta\) apabila \(n \geq N\text{.}\) Hal ini mengakibatkan
\begin{equation*}
d_Y(f(a_n), f(a)) \lt \epsilon \ \text{ apabila } \ n \geq N\text{.}
\end{equation*}
Kita menyimpulkan bahwa jika \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) maka \(\lim f(a_n) = f(a)\) untuk setiap barisan \((a_n)\) di \(X\) yang konvergen ke \(a\text{.}\)
Bukti implikasi sebaliknya terdapat dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 9.3.
Misalkan
\((X,d_X)\) dan
\((Y,d_Y)\) ruang metrik, misalkan
\(a \in X\text{,}\) dan misalkan
\(f: X \to Y\) suatu fungsi. Dalam kegiatan ini, kita membuktikan implikasi yang tersisa dari
Teorema 9.7, yaitu bahwa
\(f\) kontinu di
\(a\) jika
\(\lim f(a_n) = f(a)\) untuk setiap barisan
\((a_n)\) di
\(X\) yang konvergen ke
\(a\text{.}\)
(a)
Untuk memperoleh asumsi tambahan yang dapat kita gunakan, mari kita memakai pembuktian dengan kontradiksi dan mengandaikan bahwa \(f\) tidak kontinu di \(a\text{.}\) Mengapa kita kemudian dapat mengatakan bahwa terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga tidak ada \(\delta \gt 0\) dengan sifat bahwa \(d_X(x,a) \lt \delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x), f(a)) \lt \epsilon\text{?}\)
(b)
Untuk memperoleh kontradiksi, kita akan membangun barisan \((a_n)\) yang konvergen ke \(a\text{,}\) sedangkan \((f(a_n))\) tidak konvergen ke \(f(a)\text{.}\)
(i)
Jelaskan mengapa kita dapat menemukan bilangan bulat positif \(K\) sedemikian sehingga \(\frac{1}{K} \lt \epsilon\text{.}\)
(ii)
Jika \(k \gt K\text{,}\) jelaskan mengapa terdapat unsur \(a_k \in B\left(a, \frac{1}{k}\right)\) sedemikian sehingga \(d_Y(f(a_k),
f(a)) \geq \epsilon\text{.}\)
(iii)
Untuk \(k \leq K\text{,}\) misalkan \(a_k\) sebarang unsur dalam \(B\left(a, \frac{1}{k}\right)\text{.}\) Jelaskan mengapa \(a\) merupakan limit barisan \((a_n)\text{.}\)
(iv)
Jelaskan mengapa \(f(a)\) bukan limit barisan \((f(a_n))\text{.}\) Kesimpulan apa yang dapat kita tarik, dan mengapa?
Salah satu penerapan umum
Teorema 9.7 diperlihatkan dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 9.4.
Misalkan \(f\) fungsi dari \(\R\) ke \(\R\text{,}\) dengan domain dan kodomain dilengkapi metrik Euklides, yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
f(x) = \begin{cases}\sin\left(\frac{1}{x}\right) \amp \text{ jika } x \neq 0 \\ 0 \amp \text{ jika } x = 0. \end{cases}
\end{equation*}
Untuk fungsi \(f\) ini, dalam kegiatan ini kita menelaah kekontinuan \(f\) di \(0\text{.}\)
(a)
Gambarlah grafik \(f\) pada suatu interval kecil yang berpusat di \(0\text{.}\) Berdasarkan grafik tersebut, apakah menurut Anda \(f\) memiliki limit di \(0\text{?}\) Jelaskan. (Di sini tidak ada jawaban yang benar atau salah; yang diminta hanyalah intuisi Anda berdasarkan grafik tersebut.)
(b)
Untuk nilai masukan berapakah \(f(x)=1\text{?}\)
(c)
Gunakan hasil butir (b) untuk menemukan barisan \((a_n)\) yang konvergen ke \(0\) dan memenuhi \(f(a_n) = 1\) untuk setiap \(n\text{.}\)
(d)
Apa yang ditunjukkan oleh hasil butir (c) tentang kekontinuan \(f\) di \(0\text{?}\)
Meskipun terkadang sulit membuktikan suatu fakta tentang semua barisan yang konvergen ke suatu titik,
Kegiatan 9.4 menunjukkan bahwa kita dapat menggunakan
Teorema 9.7 untuk membuktikan bahwa fungsi
\(f\) tidak kontinu di
\(a\) dengan menemukan hanya satu barisan
\((a_n)\) yang konvergen ke
\(a\) dan memenuhi
\(\lim f(a_n) \neq f(a)\text{.}\) Kita menutup bagian ini dengan satu catatan terakhir.
CATATAN PENTING: Teorema 9.7 menyatakan bahwa jika
\(f : X \to Y\) fungsi kontinu, maka penerapan
\(f\) dan operasi pengambilan limit dapat dipertukarkan. Artinya, jika
\((a_n)\) barisan di
\(X\) yang konvergen ke
\(a \in X\text{,}\) maka
\begin{equation*}
f(a) = f(\lim a_n) = \lim f(a_n)\text{.}
\end{equation*}
