Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan kegiatan sumber

Enam belas panduan berikut mendampingi seluruh tugas kegiatan dalam Bab 7: lima tugas tentang bentuk bola terbuka, tiga tugas tentang lingkungan, tiga tugas tentang prapeta bola terbuka, dan lima langkah pembuktian kekontinuan melalui lingkungan. Kerjakan lebih dahulu tugas pada bab utama. Sesudah itu, buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap. Rubrik pada setiap pernyataan menjelaskan bukti yang diperlukan tanpa menggantikan proses penyelidikan.
Jelaskan dan buat sketsa bola terbuka \(B(2,1)\) dalam \((\R,d_E)\text{,}\) dengan \(d_E(x,y)=|x-y|\text{.}\) Rubrik: ubah syarat jarak menjadi pertidaksamaan rangkap, tuliskan himpunannya, dan tunjukkan apakah titik batas termasuk.
Petunjuk.
Mulailah dari \(|x-2|\lt1\text{,}\) lalu hilangkan nilai mutlak.
Jawaban.
Bola tersebut adalah interval terbuka \((1,3)\text{.}\)
Solusi.
Menurut definisi,
\begin{equation*} B(2,1)=\{x\in\R\mid d_E(x,2)\lt1\} =\{x\in\R\mid |x-2|\lt1\}. \end{equation*}
Pertidaksamaan \(|x-2|\lt1\) ekuivalen dengan \(-1\lt x-2\lt1\text{,}\) atau \(1\lt x\lt3\text{.}\) Jadi \(B(2,1)=(1,3)\text{.}\) Sketsanya adalah ruas garis di antara \(1\) dan \(3\) dengan lingkaran kosong pada kedua ujung karena pertidaksamaannya ketat.
Jelaskan dan buat sketsa \(B((3,2),1)\) dalam \((\R^2,d_E)\text{.}\) Rubrik: berikan deskripsi koordinat yang tepat, identifikasi pusat dan jari-jari, serta bedakan bola dari lingkaran batasnya.
Petunjuk.
Kuadratkan pertidaksamaan jarak; kedua ruasnya tidak negatif.
Jawaban.
Hasilnya adalah cakram Euklides terbuka berpusat di \((3,2)\) dan berjari-jari \(1\text{.}\)
Solusi.
Titik \((x_1,x_2)\) berada dalam bola tepat ketika
\begin{equation*} \sqrt{(x_1-3)^2+(x_2-2)^2}\lt1, \end{equation*}
yang ekuivalen dengan \((x_1-3)^2+(x_2-2)^2\lt1\text{.}\) Jadi
\begin{equation*} B((3,2),1)=\{(x_1,x_2)\in\R^2\mid (x_1-3)^2+(x_2-2)^2\lt1\}. \end{equation*}
Sketsanya memuat seluruh bagian dalam lingkaran berpusat di \((3,2)\) dan berjari-jari \(1\text{,}\) tetapi tidak memuat lingkaran batas karena jaraknya di sana sama dengan \(1\text{.}\)
Jelaskan dan buat sketsa \(B((3,2),1)\) dalam \((\R^2,d_M)\text{,}\) dengan \(d_M(x,y)=\max\{|x_1-y_1|,|x_2-y_2|\}\text{.}\) Rubrik: uraikan pertidaksamaan maksimum menjadi dua syarat koordinat dan nyatakan status batasnya.
Petunjuk.
Nilai maksimum dua bilangan lebih kecil daripada \(1\) tepat ketika keduanya lebih kecil daripada \(1\text{.}\)
Jawaban.
Bola tersebut adalah persegi terbuka \((2,4)\times(1,3)\) dengan sisi-sisi sejajar sumbu koordinat.
Solusi.
Syarat keanggotaan adalah
\begin{equation*} \max\{|x_1-3|,|x_2-2|\}\lt1. \end{equation*}
Ini ekuivalen dengan dua syarat \(|x_1-3|\lt1\) dan \(|x_2-2|\lt1\text{,}\) yakni \(2\lt x_1\lt4\) dan \(1\lt x_2\lt3\text{.}\) Oleh karena itu \(B((3,2),1)=(2,4)\times(1,3)\text{.}\) Sketsanya berupa bagian dalam persegi dengan sudut batas \((2,1)\text{,}\) \((2,3)\text{,}\) \((4,1)\text{,}\) dan \((4,3)\text{;}\) seluruh sisi dan sudut tidak termasuk.
Jelaskan dan buat sketsa \(B((3,2),1)\) dalam \((\R^2,d_T)\text{,}\) dengan \(d_T(x,y)=|x_1-y_1|+|x_2-y_2|\text{.}\) Rubrik: tuliskan pertidaksamaan yang menentukan bola, berikan bentuk geometrisnya, dan identifikasi titik-titik sudut pada batas.
Petunjuk.
Periksa perpotongan batas \(|x_1-3|+|x_2-2|=1\) dengan garis horizontal dan vertikal melalui pusat.
Jawaban.
Bola tersebut adalah bagian dalam belah ketupat \(|x_1-3|+|x_2-2|\lt1\text{,}\) dengan batas melalui \((2,2)\text{,}\) \((4,2)\text{,}\) \((3,1)\text{,}\) dan \((3,3)\text{.}\)
Solusi.
Dari definisi metrik taksi,
\begin{equation*} B((3,2),1)=\{(x_1,x_2)\in\R^2\mid |x_1-3|+|x_2-2|\lt1\}. \end{equation*}
Himpunan batas diperoleh dengan mengganti \(\lt\) oleh \(=\text{.}\) Pada garis \(x_2=2\text{,}\) batasnya berada di \(x_1=2\) dan \(x_1=4\text{;}\) pada garis \(x_1=3\text{,}\) batasnya berada di \(x_2=1\) dan \(x_2=3\text{.}\) Keempat ruas batas membentuk belah ketupat. Karena bola memakai pertidaksamaan ketat, hanya bagian dalam belah ketupat yang termasuk.
Tentukan \(B((3,2),1)\) dalam \(\R^2\) dengan metrik diskret. Bandingkan hasilnya dengan \(B((3,2),r)\) ketika \(r\gt1\) dan ketika \(0\lt r\lt1\text{.}\) Rubrik: gunakan semua kemungkinan nilai jarak diskret dan ingat bahwa definisi bola memakai pertidaksamaan ketat.
Petunjuk.
Dalam metrik diskret, jarak dari pusat hanya dapat bernilai \(0\) atau \(1\text{.}\) Bandingkan kedua nilai itu dengan jari-jari.
Jawaban.
Untuk \(0\lt r\leq1\text{,}\) bolanya hanya \(\{(3,2)\}\text{;}\) untuk \(r\gt1\text{,}\) bolanya adalah seluruh \(\R^2\text{.}\)
Solusi.
Pusat \(c=(3,2)\) mempunyai \(d(c,c)=0\text{,}\) sedangkan setiap titik \(x\neq c\) mempunyai \(d(x,c)=1\text{.}\) Untuk jari-jari \(r=1\text{,}\) hanya pusat yang memenuhi \(d(x,c)\lt1\text{,}\) sehingga \(B(c,1)=\{c\}\text{.}\) Argumen yang sama berlaku jika \(0\lt r\lt1\text{:}\) jarak \(0\) masih lebih kecil daripada \(r\text{,}\) tetapi jarak \(1\) tidak. Jika \(r\gt1\text{,}\) baik jarak \(0\) maupun \(1\) lebih kecil daripada \(r\text{.}\) Karena itu setiap titik termasuk dan \(B(c,r)=\R^2\text{.}\)
Misalkan \(b\in B(a,\delta)\text{.}\) Nyatakan dengan tepat apa yang harus ditemukan untuk membuktikan bahwa \(B(a,\delta)\) merupakan lingkungan bagi \(b\text{.}\) Rubrik: buka definisi lingkungan pada titik \(b\) dan nyatakan baik kepositifan jari-jari maupun inklusi himpunannya.
Petunjuk.
Ganti \(N\) oleh \(B(a,\delta)\) dan titik pangkal oleh \(b\) dalam definisi lingkungan.
Jawaban.
Kita harus menemukan \(s\gt0\) sedemikian sehingga \(B(b,s)\subseteq B(a,\delta)\text{.}\)
Solusi.
Sebuah himpunan \(N\) merupakan lingkungan bagi \(b\) tepat ketika ada bola terbuka berpusat di \(b\) yang termuat dalam \(N\text{.}\) Di sini \(N=B(a,\delta)\text{.}\) Jadi target lengkapnya adalah membangun suatu bilangan \(s\gt0\) dan membuktikan
\begin{equation*} B(b,s)\subseteq B(a,\delta). \end{equation*}
Syarat \(b\in B(a,\delta)\) akan menjamin adanya ruang positif antara \(b\) dan batas berjari-jari \(\delta\text{;}\) butir berikutnya menghitung ruang itu.
Buktikan bahwa jika \(b\in B(a,\delta)\text{,}\) maka \(B(a,\delta)\) merupakan lingkungan bagi \(b\text{.}\) Gunakan \(s=\delta-d(a,b)\text{.}\) Rubrik: buktikan bahwa \(s\) positif, ambil titik sebarang dalam \(B(b,s)\text{,}\) lalu gunakan pertidaksamaan segitiga untuk memperoleh inklusi.
Petunjuk.
Untuk \(x\in B(b,s)\text{,}\) bandingkan \(d(x,a)\) dengan \(d(x,b)+d(b,a)\text{,}\) kemudian substitusikan definisi \(s\text{.}\)
Jawaban.
Nilai \(s=\delta-d(a,b)\) positif dan memenuhi \(B(b,s)\subseteq B(a,\delta)\text{.}\)
Solusi.
Karena \(b\in B(a,\delta)\text{,}\) berlaku \(d(a,b)\lt\delta\text{.}\) Maka \(s=\delta-d(a,b)\gt0\text{.}\) Ambil sebarang \(x\in B(b,s)\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga dan kesimetrian metrik memberikan
\begin{align*} d(x,a)\amp\leq d(x,b)+d(b,a)\\ \amp\lt s+d(a,b)\\ \amp=\delta. \end{align*}
Jadi \(x\in B(a,\delta)\text{.}\) Karena \(x\) sebarang, \(B(b,s)\subseteq B(a,\delta)\text{.}\) Jadi \(B(a,\delta)\) memuat bola terbuka berpusat di \(b\) dan merupakan lingkungan bagi \(b\text{.}\)
Tentukan apakah setiap himpunan yang merupakan lingkungan bagi semua titiknya harus berupa satu bola terbuka. Berikan contoh tandingan terbuka dan alasan yang meyakinkan. Rubrik: verifikasi sifat lingkungan pada setiap titik dan buktikan bahwa himpunan contoh bukan satu bola.
Petunjuk.
Dalam \(\R\) bermetrik Euklides, pertimbangkan gabungan dua interval terbuka yang saling terpisah.
Jawaban.
Tidak. Sebagai contoh, \(N=(0,1)\cup(2,3)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya, tetapi bukan sebuah bola terbuka dalam \(\R\) bermetrik Euklides.
Solusi.
Ambil \(N=(0,1)\cup(2,3)\text{.}\) Jika \(x\in(0,1)\text{,}\) pilih \(s=\frac12\min\{x,1-x\}\gt0\text{;}\) maka \(B(x,s)\subseteq(0,1)\subseteq N\text{.}\) Jika \(x\in(2,3)\text{,}\) pilih \(s=\frac12\min\{x-2,3-x\}\gt0\text{;}\) lagi-lagi \(B(x,s)\subseteq(2,3)\subseteq N\text{.}\) Jadi \(N\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya.
Setiap bola terbuka dalam \(\R\) bermetrik Euklides adalah satu interval \((c-r,c+r)\text{,}\) sehingga memuat setiap titik di antara dua titik anggotanya. Himpunan \(N\) memuat, misalnya, \(1/2\) dan \(5/2\text{,}\) tetapi tidak memuat \(3/2\) yang berada di antaranya. Karena itu \(N\) bukan satu bola terbuka. Pernyataan sebaliknya salah.
Untuk \(f:\R\to\R\text{,}\) \(f(x)=x^2\text{,}\) dengan metrik Euklides, tentukan \(B(f(2),1)\text{.}\) Rubrik: hitung dahulu nilai pusatnya, lalu ubah syarat jarak menjadi interval terbuka.
Petunjuk.
Nilai \(f(2)\) adalah \(4\text{;}\) selesaikan \(|y-4|\lt1\text{.}\)
Jawaban.
\(B(f(2),1)=B(4,1)=(3,5)\text{.}\)
Solusi.
Karena \(f(2)=2^2=4\text{,}\) definisi bola Euklides memberi
\begin{equation*} B(f(2),1)=\{y\in\R\mid |y-4|\lt1\}. \end{equation*}
Pertidaksamaan tersebut ekuivalen dengan \(3\lt y\lt5\text{.}\) Maka bolanya adalah interval terbuka \((3,5)\text{.}\)
Dengan fungsi dan metrik yang sama, tentukan \(f^{-1}(B(f(2),1))\text{.}\) Rubrik: tuliskan pertidaksamaan ganda untuk \(x^2\text{,}\) selesaikan pada bagian negatif dan positif, dan perhatikan bahwa semua titik batas dikecualikan.
Petunjuk.
Dari butir sebelumnya, syaratnya adalah \(3\lt x^2\lt5\text{.}\) Gunakan \(\sqrt3\lt|x|\lt\sqrt5\text{.}\)
Jawaban.
\(f^{-1}(B(f(2),1))=(-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5)\text{.}\)
Solusi.
Suatu bilangan \(x\) berada dalam prapeta tepat ketika \(f(x)\in(3,5)\text{,}\) yaitu ketika \(3\lt x^2\lt5\text{.}\) Syarat ini ekuivalen dengan \(\sqrt3\lt|x|\lt\sqrt5\text{.}\) Pada sumbu negatif, diperoleh \(-\sqrt5\lt x\lt-\sqrt3\text{;}\) pada sumbu positif, diperoleh \(\sqrt3\lt x\lt\sqrt5\text{.}\) Oleh karena itu
\begin{equation*} f^{-1}(B(f(2),1)) =(-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5). \end{equation*}
Keempat titik batas tidak termasuk karena bola asal memakai pertidaksamaan ketat.
Tentukan apakah \(f^{-1}(B(f(2),1))\) merupakan bola terbuka yang berpusat di \(2\text{,}\) dan jelaskan. Rubrik: bandingkan bentuk prapeta dengan bentuk setiap bola Euklides berpusat di \(2\text{;}\) satu pengamatan struktural yang menentukan harus dinyatakan.
Petunjuk.
Bola \(B(2,r)\) selalu satu interval \((2-r,2+r)\text{.}\) Berapa banyak komponen interval yang dimiliki prapeta pada butir sebelumnya?
Jawaban.
Tidak. Prapeta itu adalah gabungan dua interval terpisah, sedangkan setiap bola Euklides berpusat di \(2\) merupakan satu interval yang simetris terhadap \(2\text{.}\)
Solusi.
Dari butir sebelumnya,
\begin{equation*} f^{-1}(B(f(2),1)) =(-\sqrt5,-\sqrt3)\cup(\sqrt3,\sqrt5). \end{equation*}
Himpunan ini mempunyai dua bagian yang terpisah. Sebaliknya, untuk setiap \(r\gt0\text{,}\) bola Euklides berpusat di \(2\) adalah \(B(2,r)=(2-r,2+r)\text{,}\) yaitu satu interval. Bahkan prapeta memuat titik-titik dekat \(-2\) tetapi tidak memuat \(0\text{,}\) meskipun \(0\) lebih dekat ke \(2\) daripada titik-titik tersebut. Ini mustahil bagi bola berpusat di \(2\text{.}\) Jadi prapeta itu bukan bola terbuka berpusat di \(2\text{.}\)
Misalkan prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Nyatakan target yang, menurut pencirian bola terbuka, cukup untuk membuktikan bahwa \(f\) kontinu di \(a\text{.}\) Rubrik: mulai dengan \(\epsilon\gt0\) sebarang dan nyatakan kuantor untuk \(\delta\) beserta inklusi yang tepat.
Petunjuk.
Pencirian itu membandingkan \(B(a,\delta)\) dengan prapeta \(B(f(a),\epsilon)\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) kita harus menemukan \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\)
Solusi.
Pencirian kekontinuan melalui bola terbuka menyatakan bahwa \(f\) kontinu di \(a\) jika dan hanya jika
\begin{equation*} \forall\epsilon\gt0\;\exists\delta\gt0, \qquad B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon)). \end{equation*}
Jadi setelah memilih \(\epsilon\gt0\) sebarang, seluruh pekerjaan yang tersisa adalah menghasilkan \(\delta\gt0\) dengan inklusi tersebut. Empat butir berikut membangunnya dari hipotesis lingkungan.
Untuk \(\epsilon\gt0\text{,}\) jelaskan mengapa \(B(f(a),\epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Rubrik: tunjukkan secara eksplisit sebuah bola terbuka berpusat di \(f(a)\) yang termuat dalam himpunan tersebut.
Petunjuk.
Himpunan yang hendak diuji sudah merupakan bola terbuka. Ia dapat memuat dirinya sendiri.
Jawaban.
Pilih jari-jari \(\epsilon\text{;}\) berlaku \(B(f(a),\epsilon)\subseteq B(f(a),\epsilon)\text{,}\) sehingga himpunan itu merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\)
Solusi.
Menurut definisi, suatu himpunan \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) jika terdapat \(r\gt0\) dengan \(B(f(a),r)\subseteq N\text{.}\) Ambil \(N=B(f(a),\epsilon)\) dan \(r=\epsilon\text{.}\) Jari-jari ini positif dan
\begin{equation*} B(f(a),r)=B(f(a),\epsilon)\subseteq N. \end{equation*}
Jadi bola tersebut memang merupakan lingkungan bagi titik pusatnya.
Gunakan hipotesis bahwa prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) untuk menentukan sifat \(f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\) Rubrik: identifikasi himpunan yang memainkan peran sebagai lingkungan dalam kodomain dan terapkan hipotesis tepat satu kali.
Petunjuk.
Butir sebelumnya telah memverifikasi bahwa \(B(f(a),\epsilon)\) memenuhi premis hipotesis.
Jawaban.
Himpunan \(f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Solusi.
Tetapkan \(N=B(f(a),\epsilon)\text{.}\) Dari butir sebelumnya, \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Hipotesis mengatakan bahwa untuk setiap lingkungan \(N\) bagi \(f(a)\text{,}\) prapetanya \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Dengan mensubstitusikan pilihan \(N\text{,}\) kita memperoleh bahwa
\begin{equation*} f^{-1}(B(f(a),\epsilon)) \end{equation*}
merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Uraikan kesimpulan bahwa \(f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Rubrik: tuliskan jari-jari positif yang dijamin ada dan inklusi bola yang dihasilkan; jangan berhenti pada kata “lingkungan”.
Petunjuk.
Terapkan definisi lingkungan dengan \(N=f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\)
Jawaban.
Terdapat \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\)
Solusi.
Definisi lingkungan menyatakan bahwa \(N\) merupakan lingkungan bagi \(a\) tepat ketika ada \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq N\text{.}\) Butir sebelumnya memberi \(N=f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\) Oleh karena itu terdapat \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon)). \end{equation*}
Inilah inklusi yang ditetapkan sebagai target pada butir pertama.
Rangkai bagian (a)-(d) untuk membuktikan bahwa \(f\) kontinu di \(a\text{.}\) Rubrik: mulai dengan \(\epsilon\) sebarang, jelaskan rantai lingkungan dan prapeta, hasilkan inklusi untuk suatu \(\delta\gt0\text{,}\) lalu sebutkan pencirian kekontinuan yang menutup bukti.
Petunjuk.
Rantainya adalah: bola di kodomain merupakan lingkungan; hipotesis membawa lingkungan itu melalui prapeta; definisi lingkungan memberi bola di domain; pencirian bola memberi kekontinuan.
Jawaban.
Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) hipotesis menghasilkan \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\text{.}\) Menurut pencirian bola terbuka, \(f\) kontinu di \(a\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang \(\epsilon\gt0\text{.}\) Bola \(B(f(a),\epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) karena ia memuat bola itu sendiri. Berdasarkan hipotesis, prapetanya \(f^{-1}(B(f(a),\epsilon))\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Dengan membuka definisi lingkungan, terdapat \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga
\begin{equation*} B(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(a),\epsilon)). \end{equation*}
Karena konstruksi ini berlaku untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) pencirian kekontinuan melalui bola terbuka menyatakan bahwa \(f\) kontinu di \(a\text{.}\) Semua kuantor yang diperlukan untuk arah pembuktian ini telah tertutup.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>