Misalkan \(d\) metrik diskret. Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik.
(a)
Tunjukkan bahwa setiap subhimpunan dari \(X\) terbuka.
(b)
Misalkan \((Y, d_Y)\) suatu ruang metrik. Buktikan bahwa setiap fungsi \(f: X \to Y\) kontinu.
(c)
Apakah setiap fungsi \(f: Y \to X\) juga kontinu? Jika ya, buktikan jawaban Anda. Jika tidak, carilah sebuah contoh tandingan.
2.
Buktikan bahwa suatu subhimpunan \(O\) dari ruang metrik \(X\) merupakan himpunan terbuka jika dan hanya jika \(O = \Int(O)\text{.}\)
3.
Misalkan \(A\) dan \(B\) subhimpunan dari ruang metrik \(X\) dengan \(A \subseteq B\text{.}\) Buktikan atau sangkal pernyataan-pernyataan berikut.
(a)
\(\Int(A) \subseteq \Int(B)\)
(b)
\(\Int(\Int(A)) = \Int(A)\)
4.
Misalkan \(a, b \in \R\) dengan \(a \lt b\text{.}\) Tunjukkan bahwa himpunan \((a,b]\) dalam \((\R, d_E)\) bukan himpunan terbuka.
5.
Misalkan \(A = \{(x,y) \in \R^2 \mid 1 \lt x \lt 3, 0 \lt y \lt 1\}\text{.}\)
(a)
Apakah \(A\) merupakan himpunan terbuka dalam \((\R^2, d_E)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
(b)
Apakah \(A\) merupakan himpunan terbuka dalam \((\R^2, d_T)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
(c)
Apakah \(A\) merupakan himpunan terbuka dalam \((\R^2, d_M)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
6.
Misalkan \(S\) suatu himpunan berhingga yang terdiri atas titik-titik dalam \(\R^2\text{.}\) Apakah himpunan \(\R^2 \setminus S\) merupakan himpunan terbuka dalam \((\R^2, d_E)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
7.
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f: X \to Y\) suatu fungsi. Buktikan bahwa \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(\Int(B)) \subseteq \Int(f^{-1}(B))\) untuk setiap subhimpunan \(B\) dari \(Y\text{.}\)
8.
Tinjau ruang metrik \((Q,d)\text{,}\) dengan \(d : Q \times Q \to \R\) didefinisikan oleh
(Fakta bahwa \(d\) merupakan metrik dibahas dalam Latihan 3.) Deskripsikan bola terbuka \(B(q,2)\) dalam \(Q\) jika \(q = \frac{2}{5}\text{.}\)
9.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan misalkan \(x_1\) serta \(x_2\) titik-titik berbeda dalam \(X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat himpunan-himpunan terbuka \(O_1\) yang memuat \(x_1\) dan \(O_2\) yang memuat \(x_2\) sedemikian sehingga \(O_1 \cap O_2 = \emptyset\text{.}\) (Hal ini menunjukkan bahwa kita dapat memisahkan titik-titik dalam ruang metrik dengan himpunan terbuka. Sifat-sifat pemisahan penting dalam topologi.)
10.
Misalkan \(X = \R\) dengan metrik Euklides \(d_E\text{,}\) dan misalkan \(Y = \R\) dengan metrik \(d\) yang didefinisikan oleh \(d(x,y) = \frac{|x-y|}{|x-y|+1}\) (fakta bahwa \(d\) merupakan metrik dibahas dalam Latihan 11). Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan-bilangan real, dan misalkan \(f:\R \to \R\) didefinisikan oleh \(f(x) = ax+b\text{.}\) Dengan kata lain, \(f\) merupakan fungsi linear sebarang dari \(\R\) ke \(\R\text{.}\)
(a)
Deskripsikan bola-bola terbuka dalam \((Y, d)\text{.}\) Artinya, jika \(a\) suatu bilangan real dan \(\delta\) suatu bilangan real positif, apa tepatnya himpunan titik yang membentuk \(B(a, \delta)\) dalam \(Y\text{?}\)
(b)
Apakah \(f\) dari \(X\) ke \(Y\) kontinu untuk sebarang bilangan real \(a\) dan \(b\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
(c)
Apakah \(f\) dari \(Y\) ke \(X\) kontinu untuk sebarang bilangan real \(a\) dan \(b\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.
11.
Misalkan \(f: \R^2 \to \R\) didefinisikan oleh \(f((x,y)) = x\text{.}\) Asumsikan bahwa kita menggunakan metrik maksimum \(d_M\) pada \(\R^2\) dan metrik Euklides \(d_E\) pada \(\R\text{.}\) Gunakan Teorema untuk menentukan apakah \(f\) merupakan fungsi kontinu. Buktikan dugaan Anda.
12.
Untuk setiap pernyataan berikut, jawablah benar jika pernyataannya selalu benar. Jika pernyataannya hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawablah salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.
(a)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(\Int(A \cup B) \subseteq \Int(A) \cup \Int(B)\text{.}\)
(b)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(\Int(A) \cup \Int(B) \subseteq \Int(A \cup B)\text{.}\)
(c)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(\Int(A \cap B) \subseteq \Int(A) \cap \Int(B)\text{.}\)
(d)
Jika \(A\) dan \(B\) merupakan subhimpunan tak kosong dari ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(\Int(A) \cap \Int(B) \subseteq \Int(A \cap B)\text{.}\)
(e)
Setiap subhimpunan dari suatu himpunan terbuka dalam ruang metrik \((X,d)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
(f)
Suatu subhimpunan \(O\) dari \(\R^2\) terbuka terhadap metrik Euklides \(d_E\) jika dan hanya jika \(O\) terbuka terhadap metrik taksi \(d_T\text{.}\)
(g)
Misalkan X = \([0,1] \cup [2,3]\) dilengkapi dengan metrik Euklides. Maka \([0, 1]\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(X\text{.}\)
