Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Uji penguasaan

Kerjakan tanpa melihat bab atau pembahasan. Buka petunjuk hanya setelah menulis percobaan pertama.
Untuk \(A=\{0,\{0\}\}\text{,}\) tentukan benar atau salah: \(0\in A\text{,}\) \(\{0\}\in A\text{,}\) \(\{0\}\subseteq A\text{,}\) dan \(A\in2^A\text{.}\)
Petunjuk.
Bandingkan anggota yang tertulis dengan subhimpunan yang seluruh anggotanya berada di \(A\text{.}\)
Jawaban.
Keempatnya benar.
Solusi.
Dua objek yang tercantum adalah \(0\) dan \(\{0\}\text{.}\) Satu-satunya anggota \(\{0\}\) ialah \(0\in A\text{,}\) sehingga \(\{0\}\subseteq A\text{.}\) Akhirnya \(A\subseteq A\text{,}\) jadi \(A\in2^A\text{.}\)
Buktikan \(A\setminus(B\cup C)=(A\setminus B)\cap(A\setminus C)\text{.}\)
Petunjuk.
Ikuti satu unsur dan negasikan syarat “di \(B\) atau di \(C\)”.
Jawaban.
Identitas benar.
Solusi.
\(x\) berada di ruas kiri jika dan hanya jika \(x\in A\text{,}\) \(x\notin B\text{,}\) dan \(x\notin C\text{;}\) ini setara dengan \(x\in A\setminus B\) dan \(x\in A\setminus C\text{,}\) tepat syarat ruas kanan.
Untuk \(A_n=(-1/n,1/n)\text{,}\) \(n\in\Z^+\text{,}\) tentukan gabungan dan irisannya.
Petunjuk.
Keluarga ini mengecil; interval terbesar terjadi saat \(n=1\text{.}\) Untuk \(x\neq0\text{,}\) pilih \(n\gt1/|x|\text{.}\)
Jawaban.
\(\bigcup_{n\geq1}A_n=(-1,1)\) dan \(\bigcap_{n\geq1}A_n=\{0\}\text{.}\)
Solusi.
Karena \(A_n\subseteq A_1\) dan \(A_1\) sendiri ikut dalam keluarga, gabungannya \(A_1\text{.}\) Nol berada di semua interval. Jika \(x\neq0\text{,}\) ambil \(n\gt1/|x|\text{;}\) maka \(|x|\gt1/n\text{,}\) sehingga \(x\notin A_n\text{.}\)
Dalam semesta \(U\text{,}\) sederhanakan \((A^c\cap(B\cup C))^c\text{.}\)
Petunjuk.
Terapkan De Morgan dua kali dan ingat \((A^c)^c=A\text{.}\)
Jawaban.
\(A\cup(B^c\cap C^c)\text{.}\)
Solusi.
\((A^c\cap(B\cup C))^c=(A^c)^c\cup(B\cup C)^c=A\cup(B^c\cap C^c)\text{.}\)
Jika \(|A|=4\) dan \(|B|=3\text{,}\) hitung \(|2^A\times B|\) dan jelaskan.
Petunjuk.
Hitung dahulu banyaknya subhimpunan \(A\text{,}\) lalu gunakan aturan perkalian.
Jawaban.
\(|2^A\times B|=2^4\cdot3=48\text{.}\)
Solusi.
Ada \(16\) pilihan untuk koordinat pertama dan, untuk masing-masing, \(3\) pilihan koordinat kedua.
Nilai klaim: jika \(A\times B=C\times D\) dan semua empat himpunan tidak kosong, maka \(A=C\) dan \(B=D\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk membuktikan \(A\subseteq C\text{,}\) ambil \(a\in A\) dan gunakan satu anggota tetap \(b\in B\text{.}\)
Jawaban.
Klaim benar dengan asumsi ketakosongan; tanpa asumsi itu klaim salah.
Solusi.
Pilih \(b\in B\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) pasangan \((a,b)\) berada di \(C\times D\text{,}\) sehingga \(a\in C\text{.}\) Jadi \(A\subseteq C\text{;}\) simetri memberi \(C\subseteq A\text{.}\) Argumen yang sama pada koordinat kedua memberi \(B=D\text{.}\) Ketakosongan perlu karena \(\emptyset\times B=\emptyset\times D\) untuk sembarang \(B,D\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>