Bagian Pendahuluan
Banyak sifat topologis didefinisikan menggunakan fungsi kontinu. Kontinuitas akan kita pelajari secara khusus nanti — untuk saat ini, kita meninjau beberapa konsep penting yang berkaitan dengan fungsi. Sebagian besar konsep ini semestinya sudah tidak asing, tetapi beberapa di antaranya mungkin baru.
Pertama-tama kita sajikan definisi-definisi dasarnya. Sebagian besar pembahasan kita sebelumnya mungkin berkaitan dengan fungsi yang memetakan bilangan real ke bilangan real, tetapi di sini kita akan memandang fungsi dari sudut pandang yang lebih umum. Kita mulai dengan definisi formal suatu fungsi.
Definisi 2.1.
Suatu fungsi \(f\) dari himpunan tak kosong \(A\) ke himpunan \(B\) adalah koleksi pasangan terurut \((a,b)\) sedemikian sehingga
untuk setiap \(a \in A\text{,}\) terdapat pasangan \((a,b)\) di dalam \(f\text{,}\) dan
jika \((a,b)\) dan \((a,b')\) berada di dalam \(f\text{,}\) maka \(b=b'\text{.}\)
Perhatikan bahwa sifat pertama adalah sifat eksistensi — jika \(a \in A\text{,}\) maka terdapat unsur \(b\) di dalam \(B\) yang dipasangkan dengan \(a\text{.}\) Sifat pertama ini juga menyatakan bahwa setiap unsur di dalam \(A\) digunakan, atau bahwa setiap unsur di dalam \(A\) dipasangkan dengan suatu unsur di dalam \(B\text{,}\) dan unsur di dalam \(B\) tersebut bergantung pada unsur di dalam \(A\) yang dipilih. Sifat kedua adalah sifat ketunggalan — hanya ada satu unsur \(b\) di dalam \(B\) yang dipasangkan dengan suatu unsur \(a\) tertentu di dalam \(A\text{.}\)
Umumnya kita menggunakan notasi lain untuk suatu fungsi. Jika \((a,b)\) merupakan anggota fungsi \(f\text{,}\) kita menulis
\begin{equation*}
f(a)=b\text{,}
\end{equation*}
dan dengan cara ini kita memandang \(f\) sebagai pemetaan dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\text{.}\) Kita menyatakan bahwa \(f\) adalah pemetaan dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dengan notasi
\begin{equation*}
f : A \to B\text{.}
\end{equation*}
Jika \(f\) memetakan unsur \(a \in A\) ke unsur \(b \in B\text{,}\) kita juga menggunakan notasi
\begin{equation*}
f : a \mapsto b\text{.}
\end{equation*}
Ada beberapa istilah dan notasi yang sudah dikenal dan berkaitan dengan fungsi. Misalkan \(f\) suatu fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\text{.}\)
Himpunan \(A\) disebut domain dari \(f\text{,}\) dan kita menulis \(\text{ dom } (f) = A\text{.}\)
Himpunan \(B\) disebut kodomain dari \(f\text{,}\) dan kita menulis \(\text{ codom } (f) = B\text{.}\)
Subhimpunan \(\{f(a) \mid a \in A\}\) dari \(B\) disebut daerah hasil dari \(f\text{,}\) yang kita nyatakan dengan \(\text{ range } (f)\text{.}\)
Jika \(a \in A\text{,}\) maka \(f(a)\) adalah citra dari \(a\) oleh \(f\text{.}\) Karena setiap \(a\) di dalam \(A\) dipasangkan dengan tepat satu \(b \in B\text{,}\) citra \(a\) oleh \(f\) hanya ada satu. Karena itu, kita dapat merujuk tanpa ambiguitas pada “citra unsur tersebut”.
Jika \(b \in B\) dan \(b = f(a)\) untuk suatu \(a \in A\text{,}\) maka \(a\) disebut suatu prapeta dari \(b\text{.}\) Untuk suatu \(b \in B\) tertentu, \(b\) mungkin memiliki banyak prapeta yang berbeda, \(b\) mungkin tidak memiliki prapeta, atau \(b\) mungkin memiliki tepat satu prapeta. Menyusun contoh untuk setiap keadaan tersebut dapat membantu pemahaman. Karena prapeta suatu unsur \(b\) belum tentu tunggal, kita menyebutnya “suatu prapeta”.
Mengetahui domain dan kodomain sangat penting ketika bekerja dengan fungsi, dan kedua himpunan ini akan banyak kita perhatikan.
Dalam pembelajaran matematika sebelumnya, kita mungkin telah menjumpai fungsi satu-ke-satu dan fungsi pada. Fungsi satu-ke-satu (atau injeksi) dan fungsi pada (atau surjeksi) merupakan jenis fungsi khusus; definisinya kita sajikan di sini.
Definisi 2.2.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\text{.}\)
Fungsi \(f\) merupakan injeksi jika setiap kali \((a,b)\) dan \((a',b)\) berada di dalam \(f\text{,}\) berlaku \(a=a'\text{.}\) Secara ekuivalen, dengan menggunakan notasi fungsi, \(f\) merupakan injeksi jika \(f(a)=f(a')\) mengakibatkan \(a=a'\text{.}\)
Fungsi \(f\) merupakan surjeksi jika untuk setiap \(b \in B\text{,}\) terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \((a,b)\) berada di dalam \(f\text{.}\) Secara ekuivalen, dengan menggunakan notasi fungsi, \(f\) merupakan surjeksi jika untuk setiap \(b \in B\) terdapat \(a \in A\) sedemikian sehingga \(f(a)=b\text{.}\)
Fungsi \(f\) merupakan bijeksi jika \(f\) sekaligus merupakan injeksi dan surjeksi.
Definisi 2.3.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari himpunan \(A\) ke himpunan \(B\) dan misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari \(A\text{.}\) Pembatasan \(f\) pada \(C\) adalah fungsi \(F: C \to B\) yang memenuhi
\begin{equation*}
F(c) = f(c) \text{ untuk setiap } c \in C\text{.}
\end{equation*}
Aktivitas Persiapan 2.1.
Kita sering mendefinisikan fungsi dengan aturan, tetapi fungsi juga dapat didefinisikan melalui tabel atau grafik. Dalam aktivitas ini, kita akan bekerja dengan fungsi yang didefinisikan melalui aturan. Tujuan aktivitas ini adalah menunjukkan bahwa domain, kodomain, dan aturan yang menentukan keluaran sama-sama penting untuk menentukan apakah suatu fungsi merupakan injeksi dan/atau surjeksi. Sebagai contoh, misalkan \(f(x) = x^2+1\text{.}\) (Perhatikan bahwa \(f\) adalah fungsinya dan \(f(x)\) adalah citra \(x\) oleh \(f\text{.}\)) Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
f(2) = 5 \text{ dan } f(-2) = 5\text{.}
\end{equation*}
Pengamatan ini cukup untuk membuktikan bahwa fungsi \(f\) bukan injeksi karena terdapat dua masukan berbeda yang menghasilkan keluaran yang sama.
Karena \(f(x) = x^2 + 1\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(f(x) \geq 1\) untuk setiap \(x \in \R\text{.}\) Hal ini menyiratkan bahwa fungsi \(f\) bukan surjeksi. Sebagai contoh, \(-2\) berada di dalam kodomain \(f\text{,}\) sedangkan \(f(x) \neq -2\) untuk setiap \(x\) di dalam domain \(f\text{.}\)
(a)
Kita dapat mengubah domain suatu fungsi sehingga fungsi tersebut didefinisikan pada subhimpunan dari domain semula. Fungsi semacam ini disebut pembatasan.
Pembatasan tersebut juga dinyatakan dengan notasi \(F = f\mid_C\text{.}\) Kita juga menyebut \(f\) sebagai suatu perluasan dari \(F\text{.}\) Misalkan \(f: \R \to \R\) didefinisikan oleh \(f(x) = x^2+1\text{,}\) dan misalkan \(h = f \mid_{\R^+}\text{,}\) dengan \(\R^+\) menyatakan himpunan bilangan real positif. Jadi, \(h\) memiliki kodomain yang sama dengan \(f\text{,}\) tetapi domain yang berbeda.
(i)
Buktikan bahwa \(h\) merupakan injeksi.
(ii)
Apakah \(h\) merupakan surjeksi? Berikan alasan untuk kesimpulan Anda.
(b)
Misalkan \(T = \{y \in \R \mid y \geq 1\}\text{,}\) dan misalkan \(F: \R \to T\) didefinisikan oleh \(F(x) = f(x)\text{.}\) Perhatikan bahwa fungsi \(F\) menggunakan rumus yang sama dengan fungsi \(f\) dan memiliki domain yang sama dengan \(f\text{,}\) tetapi kodomainnya berbeda dari kodomain \(f\text{.}\)
(i)
Jelaskan mengapa \(F\) bukan injeksi.
(ii)
Apakah \(F\) merupakan surjeksi? Berikan alasan untuk kesimpulan Anda.
(c)
Misalkan \(\R^*= \{x \in \R \mid x \geq 0\}\text{.}\) Definisikan \(g : \R^* \to T\) dengan \(g(x) = x^2 + 1\text{.}\)
(i)
Buktikan atau berikan contoh tandingan: fungsi \(g\) merupakan injeksi.
(ii)
Buktikan atau berikan contoh tandingan: fungsi \(g\) merupakan surjeksi.
Dalam aktivitas pendahuluan kita, rumus matematika yang sama digunakan untuk menentukan keluaran fungsi-fungsi tersebut. Namun:
Salah satu fungsi bukan injeksi maupun surjeksi.
Salah satu fungsi bukan injeksi, tetapi merupakan surjeksi.
Salah satu fungsi merupakan injeksi, tetapi bukan surjeksi.
Salah satu fungsi sekaligus merupakan injeksi dan surjeksi.
Hal ini menggambarkan fakta penting bahwa sifat injektif atau surjektif suatu fungsi tidak hanya bergantung pada rumus yang menentukan keluaran fungsi tersebut, tetapi juga pada domain dan kodomainnya.
Salah satu fungsi khusus yang penting dan selalu merupakan injeksi sekaligus surjeksi adalah fungsi identitas pada suatu himpunan. Jika \(A\) adalah suatu himpunan, fungsi identitas pada \(A\) dinyatakan dengan \(i_A\text{,}\) dan \(i_A(a) = a\) untuk setiap \(a \in A\text{.}\)
