Bagian Himpunan Terbuka dan Tertutup di Subruang
Dalam aktivitas pendahuluan, kita melihat bahwa suatu subruang belum tentu mewarisi sifat-sifat ruang yang lebih besar. Sebagai contoh, suatu subhimpunan dari sebuah subruang mungkin terbuka di subruang tersebut, tetapi tidak terbuka di ruang yang lebih besar. Namun, terdapat hubungan antara subhimpunan-subhimpunan terbuka di suatu subruang dan himpunan-himpunan terbuka di ruang yang lebih besar.
Teorema 11.2.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Suatu subhimpunan \(O_A\) dari \(A\) terbuka di \(A\) jika dan hanya jika terdapat himpunan terbuka \(O_X\) di \(X\) sedemikian sehingga \(O_A = O_X \cap A\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Misalkan \(O_A\) suatu subhimpunan terbuka dari \(A\text{.}\) Jadi, untuk setiap \(a \in O_A\) terdapat \(\delta_a \gt 0\) sedemikian sehingga \(B_A(a, \delta_a) \subseteq O_A\text{,}\) dengan \(B_A(a, \delta_a)\) adalah bola terbuka di \(A\) yang berpusat di \(a\) dan berjari-jari \(\delta_a\text{.}\) Maka, \(O_A~=~\bigcup_{a \in O_A}~B_A(a, \delta_a)\text{.}\) Sekarang misalkan \(B_X(a, \delta_a)\) bola terbuka di \(X\) yang berpusat di \(a\) dan berjari-jari \(\delta_a\text{,}\) dan misalkan \(O_X = \bigcup_{a \in O_A} B_X(a, \delta_a)\text{.}\) Perhatikan bahwa
\begin{equation*}
B_A(a, \delta_a)~=~B_X(a, \delta_a)~\cap~A\text{.}
\end{equation*}
Karena merupakan gabungan bola-bola terbuka di \(X\text{,}\) himpunan \(O_X\) terbuka di \(X\text{.}\) Sekarang
\begin{align*}
O_X \cap A = \left(\bigcup_{a \in O_A} B_X(a, \delta_a) \right) \cap A \amp = \bigcup_{a \in O_A} \left( B_X(a, \delta_a) \cap A \right)\\
\amp = \bigcup_{a \in O_A} B_A(a, \delta_a) = O_A\text{.}
\end{align*}
Jadi, terdapat himpunan terbuka \(O_X\) di \(X\) sedemikian sehingga \(O_A = O_X \cap A\text{.}\)
Untuk implikasi sebaliknya, lihat aktivitas berikut.
Kegiatan 11.3.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Andaikan \(O_A = A \cap O_X\) untuk suatu himpunan \(O_X\) yang terbuka di \(X\text{.}\) Dalam aktivitas ini kita akan membuktikan bahwa \(O_A\) merupakan subhimpunan terbuka dari \(A\text{.}\)
(a)
Misalkan \(a \in O_A\text{.}\) Jelaskan mengapa harus terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(B_X(a, \delta)\text{,}\) yaitu bola terbuka di \(X\) yang berjari-jari \(\delta\) dan berpusat di \(a\) dalam ruang \(X\text{,}\) merupakan subhimpunan dari \(O_X\text{.}\)
(b)
Apa kandidat yang wajar untuk sebuah bola terbuka di \(A\) yang berpusat di \(a\) dan termuat dalam \(O_A\text{?}\) Buktikan dugaan Anda.
(c)
Kesimpulan apa yang dapat kita tarik?
Sekarang kita dapat menanyakan bagaimana keadaan himpunan tertutup dalam suatu subruang. Jika
\(X\) merupakan ruang metrik dan
\(A\) suatu subruang, maka menurut definisi, suatu subhimpunan
\(C_A\) dari
\(A\) tertutup jika dan hanya jika
\(C_A = A \setminus O_A\) untuk suatu himpunan
\(O_A\) yang terbuka di
\(A\text{.}\) Pernyataan yang sepadan dengan
Teorema 11.2 juga berlaku bagi himpunan tertutup dalam subruang.
Teorema 11.3.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Suatu subhimpunan \(C_A\) dari \(A\) tertutup di \(A\) jika dan hanya jika terdapat himpunan tertutup \(C_X\) di \(X\) sedemikian sehingga \(C_A = C_X \cap A\text{.}\)
