Bagian Himpunan Tertutup dan Limit Barisan
Misalkan kita meninjau suatu barisan \((a_n)\) di dalam subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) yang konvergen ke suatu titik \(x\text{.}\) Haruskah \(x \in A\text{?}\) Kita akan meninjau pertanyaan ini dalam kegiatan berikutnya.
Kegiatan 10.11.
Misalkan \(A = (0,1)\) dan \(B = [0,1]\) di \((\R, d_E)\text{.}\) Untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{,}\) misalkan \(a_n =\frac{1}{n+1}\text{.}\) Perhatikan bahwa barisan \((a_n)\) termuat dalam himpunan \(A\) maupun \(B\text{.}\)
(a)
Barisan \((a_n)\) konvergen ke titik apa di \(\R\text{?}\)
(b)
Apakah \(\lim a_n\) berada di \(A\text{?}\)
(c)
Benarkah \(\lim a_n \in B\text{?}\)
(d)
Sebutkan dua perbedaan penting antara himpunan \(A\) dan \(B\) yang menjelaskan perbedaan jawaban pada bagian (b) dan \((c)\text{.}\) Jawablah dengan menggunakan terminologi yang telah kita perkenalkan dalam bagian ini.
Teorema 10.15.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang metrik \(X\) tertutup jika dan hanya jika setiap barisan \((c_n)\) di \(C\) yang konvergen ke suatu titik \(c \in X\) memenuhi \(c \in C\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(C\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pertama, andaikan \(C\) tertutup. Misalkan \((c_n)\) suatu barisan konvergen di \(C\) dengan \(c = \lim c_n\text{.}\) Jadi, \(c \in C\) atau \(c\) merupakan titik limit dari \(C\text{.}\) Karena \(C\) memuat titik-titik limitnya, kedua kasus tersebut memberikan \(c \in C\text{.}\) Jadi, \(\lim c_n \in C\text{.}\)
Pembuktian implikasi yang tersisa diserahkan kepada kegiatan berikutnya.
Kegiatan 10.12.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(C\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Dalam kegiatan ini, kita akan membuktikan pernyataan berikut: jika setiap kali suatu barisan \((c_n)\) di \(C\) konvergen ke suatu titik \(c \in X\text{,}\) titik \(c\) tersebut berada di \(C\text{,}\) maka \(C\) adalah himpunan tertutup.
(a)
Sebutkan tiga cara berbeda untuk menunjukkan bahwa suatu subhimpunan dari ruang metrik adalah himpunan tertutup. Cara manakah yang mungkin relevan dalam situasi ini untuk menunjukkan bahwa himpunan \(C\) tertutup?
(b)
Misalkan \(c\) suatu titik limit dari \(C\text{.}\) Apa yang dapat kita simpulkan dari hal tersebut?
(c)
Lengkapilah pembuktian bahwa \(C\) adalah himpunan tertutup.
