Bagian Gabungan dan Irisan Himpunan Terbuka
Setelah mendefinisikan himpunan terbuka, kita mungkin bertanya-tanya apa yang terjadi jika kita mengambil gabungan atau irisan dari himpunan-himpunan terbuka.
Kegiatan 8.4.
(a)
Misalkan \(A = (-2,1)\) dan \(B = (-1,2)\) dalam \((\R, d_E)\text{.}\)
(i)
Apakah \(A \cup B\) terbuka? Jelaskan.
(ii)
Apakah \(A \cap B\) terbuka? Jelaskan.
(b)
Misalkan \(X = \R\) dengan metrik Euklides. Misalkan \(A_n = \left(1-\frac{1}{n}, 1+\frac{1}{n}\right)\) untuk setiap \(n \in \Z^+\text{.}\)
(i)
Tentukan \(\bigcup_{n \geq 1} A_n\text{.}\) Bukti tidak diperlukan.
(ii)
Apakah \(\bigcup_{n \geq 1} A_n\) terbuka dalam \(\R\text{?}\) Jelaskan.
(iii)
Tentukan \(\bigcap_{n \geq 1} A_n\text{.}\) Bukti tidak diperlukan.
(iv)
Apakah \(\bigcap_{n \geq 1} A_n\) terbuka dalam \(\R\text{?}\) Jelaskan.
Kegiatan 8.4 menunjukkan bahwa irisan sebarang dari himpunan-himpunan terbuka belum tentu terbuka. Namun, ada beberapa hal yang dapat kita nyatakan tentang gabungan dan irisan himpunan-himpunan terbuka.
Teorema 8.4.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik.
Gabungan sebarang dari himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{.}\)
Sebarang irisan berhingga dari himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{.}\)
Bukti.
Misalkan
\(X\) suatu ruang metrik. Untuk membuktikan bagian 1, asumsikan bahwa
\(\{O_{\alpha}\}\) merupakan koleksi himpunan terbuka dalam
\(X\text{,}\) dengan
\(\alpha\) berkisar pada suatu himpunan indeks
\(I\text{,}\) dan misalkan
\(O = \bigcup_{\alpha \in I} O_{\alpha}\text{.}\) Berdasarkan
Teorema 8.3, kita mengetahui bahwa
\(O_{\alpha}\) merupakan gabungan bola-bola terbuka untuk setiap
\(\alpha \in I\text{.}\) Menggabungkan semua bola terbuka tersebut menunjukkan bahwa
\(O\) merupakan gabungan bola-bola terbuka dan oleh karena itu merupakan himpunan terbuka berdasarkan
Teorema 8.3.
Untuk bagian 2, asumsikan bahwa \(O_1\text{,}\) \(O_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(O_n\) merupakan himpunan-himpunan terbuka dalam \(X\) untuk suatu \(n \in \Z^+\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(O = \bigcap_{k=1}^n O_k\) merupakan himpunan terbuka, kita akan menunjukkan bahwa \(O\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Misalkan \(x \in O\text{.}\) Maka \(x \in O_k\) untuk setiap \(1 \leq k \leq n\text{.}\) Ambil \(k\) di antara 1 dan \(n\text{.}\) Karena \(O_k\) terbuka, kita mengetahui bahwa \(O_k\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Jadi, terdapat \(\epsilon_k \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(x, \epsilon_k) \subseteq O_k\text{.}\) Karena nilai \(k\) hanya berhingga banyaknya, misalkan \(\epsilon = \min\{\epsilon_k \mid 1 \leq k \leq n\}\text{.}\) Kemudian \(B(x, \epsilon) \subseteq B(x, \epsilon_k)\) untuk setiap \(k\text{,}\) sehingga \(B(x, \epsilon) \subseteq \bigcap_{k=1}^n O_k = O\text{.}\) Oleh karena itu, \(O\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan \(O\) merupakan himpunan terbuka.
