Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Pernyataan ketunggalan berbentuk: jika \(m\) dan \(m'\) keduanya merupakan batas bawah terbesar \(S\text{,}\) maka keduanya sama. Karena objek-objek ini berada dalam himpunan terurut \(\R\text{,}\) cukup memperoleh kedua arah perbandingan, yaitu \(m\leq m'\) dan \(m'\leq m\text{.}\) Sifat antisimetri urutan real menyimpulkan \(m=m'\text{.}\) Langkah-langkah berikut menunjukkan bagaimana definisi batas bawah terbesar menghasilkan kedua pertidaksamaan itu.

Sebuah batas bawah terbesar harus, pertama-tama, merupakan batas bawah. Karena \(m\) adalah batas bawah terbesar \(S\text{,}\) definisi memberi \(m\leq s\) untuk setiap \(s\in S\text{.}\) Alasan yang sama untuk \(m'\) memberi \(m'\leq s\) untuk setiap \(s\in S\text{.}\) Jadi kedua bilangan itu berada di antara batas-batas bawah yang dapat dibandingkan oleh sifat “terbesar” pada langkah berikutnya.

Sifat kedua batas bawah terbesar \(m\) menyatakan bahwa setiap batas bawah \(b\) dari \(S\) memenuhi \(b\leq m\text{.}\) Tugas sebelumnya membuktikan bahwa \(m'\) merupakan batas bawah, sehingga memilih \(b=m'\) menghasilkan \(m'\leq m\text{.}\) Dengan menukar peran keduanya, sifat terbesar dari \(m'\) diterapkan kepada batas bawah \(m\) dan menghasilkan \(m\leq m'\text{.}\) Kedua arah perbandingan telah diperoleh tanpa mengasumsikan kesimpulan ketunggalan.

Misalkan \(m\) dan \(m'\) merupakan dua batas bawah terbesar bagi \(S\text{.}\) Karena masing-masing merupakan batas bawah, sifat terbesar dari \(m\) memberi \(m'\leq m\text{,}\) sedangkan sifat terbesar dari \(m'\) memberi \(m\leq m'\text{.}\) Relasi \(\leq\) pada \(\R\) bersifat antisimetris, sehingga dua pertidaksamaan tersebut memaksa \(m=m'\text{.}\) Jadi tidak mungkin ada dua batas bawah terbesar yang berbeda; jika batas bawah terbesar itu ada, nilainya tunggal.

Karena \(A\) tak kosong, ada \(a_0\in A\text{.}\) Maka bilangan real \(d(x,a_0)\) merupakan anggota \(D=\{d(x,a)\mid a\in A\}\text{,}\) sehingga \(D\neq\varnothing\text{.}\) Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) aksioma tak-negatif metrik memberi \(d(x,a)\geq0\text{.}\) Jadi \(0\) adalah batas bawah \(D\text{.}\)

Aksioma kelengkapan \(\R\) menyatakan bahwa setiap himpunan real tak kosong yang terbatas di bawah mempunyai infimum. Karena kedua hipotesis itu berlaku untuk \(D\text{,}\) bilangan \(\inf D\) ada. Ketunggalan batas bawah terbesar, yang dibuktikan pada empat tugas pertama, memastikan nilainya tunggal. Berdasarkan definisi, \(d(x,A)=\inf D\text{.}\)

Gunakan ruang metrik \((\R,d)\) dengan \(d(u,v)=|u-v|\text{.}\) Untuk \(x=0\) dan \(A=(0,1)\text{,}\) himpunan jaraknya ialah \(\{|a|\mid 0<a<1\}=(0,1)\text{.}\) Infimum himpunan ini adalah \(0\text{,}\) sehingga \(d(0,A)=0\text{.}\) Akan tetapi, interval \((0,1)\) tidak memuat titik ujung \(0\text{;}\) jadi \(0\notin A\text{.}\) Ini merupakan contoh tandingan bagi implikasi yang ditanyakan.

Makna yang tepat adalah keanggotaan dalam tutupan. Jika \(d(x,A)=0\text{,}\) maka untuk setiap \(\varepsilon>0\) terdapat \(a\in A\) dengan \(d(x,a)<\varepsilon\text{;}\) jika tidak, suatu \(\varepsilon>0\) akan menjadi batas bawah positif bagi semua jarak dan infimumnya tidak mungkin nol. Jadi setiap bola terbuka di sekitar \(x\) bertemu \(A\text{,}\) sehingga \(x\in\overline{A}\text{.}\) Sebaliknya, jika \(x\in\overline{A}\text{,}\) untuk setiap \(\varepsilon>0\) ada \(a\in A\) dengan \(d(x,a)<\varepsilon\text{.}\) Karena \(d(x,A)\geq0\) dan \(d(x,A)\leq d(x,a)<\varepsilon\) untuk setiap \(\varepsilon>0\text{,}\) haruslah \(d(x,A)=0\text{.}\) Maka \(d(x,A)=0\) setara dengan \(x\in\overline{A}\text{,}\) bukan dengan \(x\in A\) kecuali, misalnya, \(A\) tertutup.