Bagian Titik Limit dan Barisan dalam Ruang Topologi
Ingat bahwa kita mendefinisikan titik limit dari suatu himpunan \(A\) dalam ruang metrik \(X\) sebagai titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Karena kita telah mendefinisikan lingkungan dalam ruang topologi, definisi yang sama dapat kita gunakan.
Definisi 13.3.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Suatu titik limit dari \(A\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\)
Himpunan \(A'\) yang terdiri atas titik-titik limit dari \(A\) disebut himpunan turunan dari \(A\text{.}\)
Kegiatan 13.3.
Tentukan titik-titik limit dari himpunan-himpunan berikut.
(a)
\(\{c,d\}\) dalam \((X, \tau)\) dengan \(X= \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\)
(b)
\(\{a,b\}\) dalam himpunan \(X= \{a,b,c,d,e,f\}\) dengan topologi
\begin{equation*}
\tau= \{\emptyset,\{b\}, \{a,b,c\},\{d,e,f\},\{b,d,e,f\}, X\}\text{.}
\end{equation*}
(c)
\(\{a,b\} \subset X\text{,}\) dengan \(X = \{a,b,c\}\) yang dilengkapi topologi diskret.
(d)
\(\{-1,0,1\} \subset \Z\text{,}\) dengan \(\tau\) topologi pada \(\Z\) yang memiliki basis \(\{B(n)\}\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
B(n) = \begin{cases}\{n\} \amp \text{ jika \(n\) ganjil } , \\ \{n-1,n,n+1\} \amp \text{ jika \(n\) genap } . \end{cases}
\end{equation*}
(Topologi ini disebut
topologi garis digital dan memiliki penerapan dalam pemrosesan digital. Fakta bahwa koleksi
\(\{B(n)\}\) merupakan basis untuk suatu topologi pada
\(\Z\) dibahas dalam
Latihan 11.)
Dalam ruang metrik, suatu himpunan tertutup jika dan hanya jika memuat semua titik limitnya. Karena itu, hasil yang bersesuaian dalam ruang topologi semestinya tidak mengejutkan.
Teorema 13.4.
Misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari ruang topologi \(X\text{,}\) dan misalkan \(C'\) himpunan titik-titik limit dari \(C\text{.}\) Maka \(C\) tertutup jika dan hanya jika \(C' \subseteq C\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(C\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pertama, andaikan \(C\) tertutup dan tunjukkan bahwa \(C\) memuat semua titik limitnya. Misalkan \(x \in X\) suatu titik limit dari \(C\text{.}\) Kita menggunakan pembuktian dengan kontradiksi dan mengandaikan bahwa \(x \notin C\text{.}\) Maka \(x \in X \setminus C\text{,}\) dan himpunan ini terbuka. Artinya, terdapat suatu lingkungan (yaitu \(X \setminus C\)) dari \(x\) yang tidak memuat satu pun titik di \(C\text{.}\) Hal ini bertentangan dengan fakta bahwa \(x\) merupakan titik limit dari \(C\text{.}\) Jadi, \(x \in C\text{,}\) sehingga \(C\) memuat semua titik limitnya.
Sebaliknya, andaikan \(C\) memuat semua titik limitnya. Untuk menunjukkan bahwa \(C\) tertutup, kita buktikan bahwa \(X \setminus C\) terbuka. Kita kembali menggunakan pembuktian dengan kontradiksi dan mengandaikan bahwa \(X \setminus C\) tidak terbuka. Maka terdapat \(x \in X \setminus C\) sedemikian sehingga tidak ada lingkungan dari \(x\) yang seluruhnya termuat dalam \(X \setminus C\text{.}\) Akibatnya, setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(C\text{,}\) sehingga \(x\) merupakan titik limit dari \(C\text{.}\) Dengan demikian, \(x \in C\text{,}\) bertentangan dengan fakta bahwa \(x \in X \setminus C\text{.}\) Jadi, \(X \setminus C\) terbuka dan \(C\) tertutup.
Dalam ruang metrik, kita melihat bahwa titik limit suatu himpunan merupakan limit dari suatu barisan titik-titik dalam himpunan tersebut. Untuk menyelidiki gagasan ini dalam ruang topologi, kita mendefinisikan barisan dengan cara yang sama seperti dalam ruang metrik.
Definisi 13.5.
Suatu barisan dalam ruang topologi \(X\) adalah fungsi \(f: \Z^+\) ke \(X\text{.}\)
Kita menggunakan notasi dan istilah barisan yang sama seperti dalam ruang metrik: kita menuliskan \((x_n)\) untuk menyatakan suatu barisan \(f\text{,}\) dengan \(x_n = f(n)\) untuk setiap \(n \in \Z^+\text{.}\) Kekonvergenan dalam ruang topologi tidak dapat kita definisikan menggunakan metrik, tetapi dapat kita definisikan menggunakan himpunan terbuka. Ingat bahwa suatu barisan \((x_n)\) dalam ruang metrik \((X,d)\) konvergen ke titik \(x\) di ruang tersebut jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(d(x_n,x) \lt \epsilon\) untuk semua \(n \geq N\text{.}\) Dengan kata lain, setiap bola terbuka yang berpusat di \(x\) memuat semua suku barisan setelah suatu indeks tertentu. Kita dapat mengganti bola terbuka dengan himpunan terbuka untuk memperoleh definisi kekonvergenan yang serupa dalam ruang topologi.
Definisi 13.6.
Suatu barisan \((x_n)\) dalam ruang topologi \(X\) konvergen ke titik \(x \in X\) jika, untuk setiap himpunan terbuka \(O\) yang memuat \(x\text{,}\) terdapat bilangan bulat positif \(N\) sedemikian sehingga \(x_n \in O\) untuk semua \(n \geq N\text{.}\)
Jika suatu barisan \((x_n)\) konvergen ke titik \(x\text{,}\) kita menyebut \(x\) suatu limit dari barisan \((x_n)\text{.}\)
Kegiatan 13.4.
Dalam ruang metrik, limit barisan bersifat tunggal. Kita dapat menanyakan apakah hasil yang sama berlaku dalam ruang topologi. Tinjau ruang topologi \((X,\tau)\text{,}\) dengan \(X = \{a, b, c\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{c\}, \{a, c\}, \{b, c\}, X\}\text{.}\) Tentukan semua limit dari setiap barisan konstan dalam \(X\text{.}\)
Hasil
Kegiatan 13.4 menunjukkan bahwa perilaku barisan dalam ruang topologi tidak selalu sesuai dengan yang kita harapkan. Akibatnya, barisan tidak memainkan peran sepenting perannya dalam ruang metrik. Meskipun demikian, konsep titik limit tetap penting, demikian pula gagasan batas dan tutupan dalam ruang topologi.
