Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Topologi \(\tau_1\) mempunyai tepat dua himpunan terbuka, yaitu \(\emptyset\) dan \(X\text{.}\) Setiap homeomorfisme membawa koleksi himpunan terbuka secara bijektif ke koleksi himpunan terbuka, sehingga ruang yang homeomorfik dengan \((X,\tau_1)\) juga harus mempunyai tepat dua himpunan terbuka. Di antara 29 topologi yang diberikan, hanya \(\tau_1\) yang mempunyai sifat ini. Jadi kelasnya adalah \(\{\tau_1\}\text{.}\) Setiap permutasi \(X\) merupakan automorfisme ruang indiskret ini, tetapi tidak menghasilkan topologi lain dalam daftar.

Tiga topologi yang dimaksud adalah \(\tau_2=\{\emptyset,\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_3=\{\emptyset,\{a,c\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_4=\{\emptyset,\{b,c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(b\) dan \(c\) membawa \(\tau_2\) ke \(\tau_3\text{,}\) sedangkan pertukaran \(a\) dan \(c\) membawa \(\tau_2\) ke \(\tau_4\text{.}\) Karena permutasi ini membawa seluruh koleksi himpunan terbuka ke koleksi pasangannya, keduanya merupakan homeomorfisme.

Sebaliknya, ruang yang homeomorfik dengan \(\tau_2\) harus mempunyai tepat tiga himpunan terbuka dan satu-satunya himpunan terbuka proper tak kosong harus beranggota dua. Dalam daftar sumber, tepat \(\tau_2,\tau_3,\tau_4\) yang memenuhi kedua invarian ini. Jadi tidak ada anggota kelas yang terlewat.

Anggota kelas tersebut ialah \(\tau_2=\{\emptyset,\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_3=\{\emptyset,\{a,c\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_4=\{\emptyset,\{b,c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(b\) dengan \(c\) mengirim \(\tau_3\) ke \(\tau_2\text{,}\) dan pertukaran \(a\) dengan \(b\) mengirim \(\tau_3\) ke \(\tau_4\text{.}\) Jadi ketiganya saling homeomorfik melalui pelabelan ulang titik.

Banyaknya himpunan terbuka dan kardinalitas masing-masing himpunan terbuka dipertahankan oleh homeomorfisme. Karena \(\tau_3\) mempunyai tepat tiga himpunan terbuka dengan pola kardinalitas \(0,2,3\text{,}\) setiap anggota kelasnya dalam daftar harus mempunyai pola yang sama. Hanya ketiga topologi di atas yang demikian, sehingga daftar kelas tersebut lengkap.

Selain \(\tau_4=\{\emptyset,\{b,c\},X\}\text{,}\) kelas ini memuat \(\tau_2=\{\emptyset,\{a,b\},X\}\) dan \(\tau_3=\{\emptyset,\{a,c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(a\) dengan \(c\) membawa \(\{b,c\}\) ke \(\{a,b\}\text{,}\) sedangkan pertukaran \(a\) dengan \(b\) membawanya ke \(\{a,c\}\text{.}\) Kedua permutasi membawa \(\emptyset\) ke \(\emptyset\) dan \(X\) ke \(X\text{,}\) sehingga memberi homeomorfisme yang diperlukan.

Setiap topologi yang homeomorfik dengan \(\tau_4\) harus memiliki tepat satu himpunan terbuka proper tak kosong, dan himpunan itu harus beranggota dua. Tiga pilihan yang tercantum di atas menghabiskan semua subhimpunan dua elemen dari \(X\text{;}\) karena itu kelasnya lengkap.

Ketiga topologi tersebut adalah \(\tau_5=\{\emptyset,\{a\},X\}\text{,}\) \(\tau_6=\{\emptyset,\{b\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_7=\{\emptyset,\{c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(a\) dengan \(b\) mengirim \(\tau_5\) ke \(\tau_6\text{;}\) pertukaran \(a\) dengan \(c\) mengirimnya ke \(\tau_7\text{.}\) Maka ketiganya homeomorfik.

Suatu anggota lain dari kelas harus mempunyai tepat tiga himpunan terbuka dengan satu-satunya himpunan proper tak kosong berukuran satu. Ada tepat tiga pilihan singleton pada \(X\text{,}\) dan semuanya sudah muncul di atas. Topologi \(\tau_2,\tau_3,\tau_4\) tidak termasuk karena himpunan terbuka propernya berukuran dua, suatu invarian di bawah homeomorfisme.

Kelas yang diklaim terdiri dari \(\tau_5=\{\emptyset,\{a\},X\}\text{,}\) \(\tau_6=\{\emptyset,\{b\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_7=\{\emptyset,\{c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(a\) dengan \(b\) membawa \(\tau_6\) ke \(\tau_5\text{,}\) dan pertukaran \(b\) dengan \(c\) membawanya ke \(\tau_7\text{.}\) Jadi ketiganya saling homeomorfik.

Homeomorfisme mempertahankan jumlah himpunan terbuka beserta kardinalitasnya. Topologi \(\tau_6\) memiliki pola \(0,1,3\text{;}\) dalam daftar 29 topologi, tepat tiga topologi di atas yang mempunyai pola tersebut. Maka tidak ada anggota kelas lainnya.

Selain \(\tau_7=\{\emptyset,\{c\},X\}\text{,}\) kelas ini memuat \(\tau_5=\{\emptyset,\{a\},X\}\) dan \(\tau_6=\{\emptyset,\{b\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(a\) dengan \(c\) memberi homeomorfisme dari \(\tau_7\) ke \(\tau_5\text{,}\) sedangkan pertukaran \(b\) dengan \(c\) memberi homeomorfisme ke \(\tau_6\text{.}\)

Setiap topologi yang homeomorfik dengan \(\tau_7\) harus mempunyai tepat satu himpunan terbuka proper tak kosong, dan himpunan itu harus berupa singleton. Ketiga singleton pada \(X\) sudah menghasilkan tiga topologi yang tercantum. Dengan demikian kelas tersebut lengkap.

Keenam anggota kelas, dalam urutan sumber, adalah \(\tau_8=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_9=\{\emptyset,\{a\},\{a,c\},X\}\text{,}\) \(\tau_{11}=\{\emptyset,\{b\},\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_{13}=\{\emptyset,\{b\},\{b,c\},X\}\text{,}\) \(\tau_{15}=\{\emptyset,\{c\},\{a,c\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_{16}=\{\emptyset,\{c\},\{b,c\},X\}\text{.}\)

Masing-masing ditentukan oleh suatu bendera terurut \(S\subsetneq D\text{,}\) dengan \(S\) singleton terbuka dan \(D\) himpunan terbuka beranggota dua. Setiap bendera seperti itu dapat dibawa ke bendera lain oleh permutasi \(X\text{;}\) permutasi tersebut membawa keempat himpunan terbuka ke keempat himpunan terbuka pasangannya, sehingga merupakan homeomorfisme. Sebagai contoh, pertukaran \(b\) dan \(c\) membawa \(\tau_8\) ke \(\tau_9\text{.}\)

Untuk kelengkapan, ada tiga pilihan bagi \(S\text{.}\) Setelah \(S\) dipilih, ada dua pilihan bagi \(D\) yang memuatnya. Jadi terdapat tepat \(3\cdot2=6\) bendera, dan keenamnya sudah tercantum. Relasi ketercakupan serta kardinalitas dipertahankan oleh homeomorfisme, sehingga tidak ada topologi dengan struktur lain yang dapat masuk ke kelas ini.

Seluruh anggotanya ialah \(\tau_8=\{\emptyset,\{a\},\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_9=\{\emptyset,\{a\},\{a,c\},X\}\text{,}\) \(\tau_{11}=\{\emptyset,\{b\},\{a,b\},X\}\text{,}\) \(\tau_{13}=\{\emptyset,\{b\},\{b,c\},X\}\text{,}\) \(\tau_{15}=\{\emptyset,\{c\},\{a,c\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_{16}=\{\emptyset,\{c\},\{b,c\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(b\) dengan \(c\text{,}\) misalnya, mengirim \(\tau_9\) ke \(\tau_8\text{.}\)

Secara umum, pilih gambar singleton \(\{a\}\text{;}\) ada tiga pilihan. Lalu pilih gambar titik \(c\) yang menambah singleton itu menjadi himpunan dua elemen; ada dua pilihan tersisa. Setiap pilihan menentukan permutasi yang membawa \(\tau_9\) ke salah satu dari enam topologi di atas. Sebaliknya, suatu homeomorfisme harus mempertahankan pola empat himpunan terbuka dan rantai kardinalitas \(0,1,2,3\text{.}\) Karena semua \(3\cdot2=6\) kemungkinan sudah terdaftar, kelas ini lengkap.

Ketiga anggota kelas adalah \(\tau_{10}=\{\emptyset,\{a\},\{b,c\},X\}\text{,}\) \(\tau_{12}=\{\emptyset,\{b\},\{a,c\},X\}\text{,}\) dan \(\tau_{14}=\{\emptyset,\{c\},\{a,b\},X\}\text{.}\) Pertukaran \(a\) dengan \(b\) membawa \(\tau_{10}\) ke \(\tau_{12}\text{,}\) dan pertukaran \(a\) dengan \(c\) membawanya ke \(\tau_{14}\text{.}\) Jadi ketiganya saling homeomorfik.

Dalam \(\tau_{10}\text{,}\) dua himpunan terbuka proper tak kosong mempunyai ukuran satu dan dua, tetapi keduanya saling lepas; dengan demikian masing-masing adalah komplemen yang lain. Relasi ini dipertahankan oleh homeomorfisme. Ada tepat tiga pilihan singleton dalam \(X\text{,}\) dan setiap pilihan menentukan komplemennya secara tunggal, sehingga hanya tiga topologi di atas yang mungkin. Ini juga membedakan kelas tersebut dari kelas \(\tau_8\text{,}\) tempat singleton justru termuat dalam himpunan terbuka beranggota dua.