Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian kelima

Tujuh panduan berikut mendampingi latihan ex_digital_line_topology dalam sec_top_space_exer.ptx: pembuktian bahwa koleksi yang diberikan merupakan basis, lalu enam pemeriksaan keterbukaan. Tugas pada baris sumber 460 hanya mengelompokkan keenam pemeriksaan tersebut dan tidak dihitung sebagai soal tersendiri. Setiap panduan menyediakan petunjuk bertahap, jawaban singkat, solusi lengkap, dan rubrik pemeriksaan.
Seluruh bagian ini adalah komponen pendamping asli berbahasa Indonesia yang diterbitkan secara terpisah di bawah CC BY 4.0. Bagian ini bukan teks, terjemahan resmi, atau kumpulan solusi resmi GVSU.
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, tugas pertama (baris sumber 442--458). Untuk setiap \(n\in\Z\text{,}\) definisikan
\begin{equation*} B(n)=\begin{cases} \{n\} \amp \text{jika (n) ganjil},\\ \{n-1,n,n+1\} \amp \text{jika (n) genap}. \end{cases} \end{equation*}
Tunjukkan bahwa \(\mathcal B=\{B(n)\mid n\in\Z\}\) merupakan basis untuk suatu topologi pada \(\Z\text{.}\) Rubrik. Buktikan baik syarat cakupan maupun syarat irisan basis. Dalam kasus irisan, pisahkan kemungkinan bahwa titik yang dipilih ganjil atau genap.
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk setiap \(x\in\Z\text{,}\) perhatikan bahwa \(x\in B(x)\) tanpa bergantung pada paritasnya.
Tahap 2. Jika \(x\) ganjil dan \(x\in B(m)\cap B(n)\text{,}\) gunakan \(B(x)=\{x\}\) sebagai lingkungan dasar yang lebih kecil.
Tahap 3. Jika \(x\) genap, buktikan terlebih dahulu bahwa satu-satunya anggota \(\mathcal B\) yang memuat \(x\) adalah \(B(x)\) sendiri.
Jawaban.
Ya. Koleksi \(\mathcal B\) mencakup \(\Z\text{.}\) Untuk titik ganjil dalam irisan dua anggota basis, singletonnya memperhalus irisan; untuk titik genap, kedua anggota basis yang beririsan di titik itu harus sama-sama \(B(x)\text{.}\) Jadi kedua syarat basis terpenuhi.
Solusi.
Ambil sembarang \(x\in\Z\text{.}\) Jika \(x\) ganjil, maka \(B(x)=\{x\}\text{;}\) jika \(x\) genap, maka \(B(x)=\{x-1,x,x+1\}\text{.}\) Dalam kedua kasus \(x\in B(x)\text{.}\) Karena itu gabungan seluruh anggota \(\mathcal B\) adalah \(\Z\text{.}\)
Sekarang misalkan \(x\in B(m)\cap B(n)\text{.}\) Jika \(x\) ganjil, pilih \(B(x)=\{x\}\text{.}\) Jelas
\begin{equation*} x\in B(x)\subseteq B(m)\cap B(n). \end{equation*}
Jika \(x\) genap, anggota basis yang memuat \(x\) tidak dapat berpusat di bilangan ganjil, sebab anggota seperti itu merupakan singleton ganjil. Bila pusatnya genap, dua titik selain pusat pada \(B(m)=\{m-1,m,m+1\}\) adalah ganjil. Oleh karena \(x\) genap dan \(x\in B(m)\text{,}\) haruslah \(x=m\text{.}\) Dengan cara yang sama, \(x=n\text{.}\) Jadi \(B(m)=B(x)=B(n)\text{,}\) dan \(B(x)\) terkandung dalam irisan. Syarat irisan basis pun terpenuhi. Maka \(\mathcal B\) membangkitkan topologi garis digital \(\tau_{dl}\) pada \(\Z\text{.}\)
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan pertama (baris sumber 466--472). Tentukan apakah \(\{0\}\) terbuka dalam topologi garis digital \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Periksa lingkungan dasar yang mungkin memuat titik genap \(0\text{;}\) jangan menyimpulkan hanya dari fakta bahwa \(\{0\}\) adalah singleton.
Petunjuk.
Tahap 1. Karena \(0\) genap, \(B(0)=\{-1,0,1\}\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan pembuktian basis di atas untuk memastikan bahwa tidak ada anggota basis lain yang memuat \(0\text{.}\)
Tahap 3. Terapkan kriteria: untuk setiap titik suatu himpunan terbuka harus ada anggota basis yang memuat titik itu dan terkandung dalam himpunan tersebut.
Jawaban.
Tidak. Satu-satunya anggota basis yang memuat \(0\) adalah \(B(0)=\{-1,0,1\}\text{,}\) dan himpunan ini tidak terkandung dalam \(\{0\}\text{.}\)
Solusi.
Andaikan \(\{0\}\) terbuka. Karena \(0\in\{0\}\text{,}\) kriteria basis mengharuskan suatu \(B(n)\) dengan \(0\in B(n)\subseteq\{0\}\text{.}\) Pusat \(n\) tidak mungkin ganjil, sebab dalam hal itu \(B(n)=\{n\}\) dan persamaan \(n=0\) akan membuat \(n\) genap. Jika \(n\) genap, titik genap yang berada dalam \(\{n-1,n,n+1\}\) hanyalah \(n\text{,}\) sehingga \(n=0\text{.}\) Jadi satu-satunya kemungkinan adalah \(B(0)=\{-1,0,1\}\text{.}\) Karena \(B(0)\nsubseteq\{0\}\text{,}\) anggota basis yang diperlukan tidak ada. Maka \(\{0\}\) tidak terbuka.
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan kedua (baris sumber 473--479). Tentukan apakah \(\{1\}\) terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Nyatakan anggota basis yang tepat dan tampilkan himpunan sebagai gabungan anggota basis.
Petunjuk.
Tahap 1. Tentukan paritas \(1\text{.}\)
Tahap 2. Substitusikan \(n=1\) ke dalam definisi \(B(n)\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Karena \(1\) ganjil, berlaku \(\{1\}=B(1)\text{,}\) sehingga \(\{1\}\) merupakan anggota basis dan karenanya terbuka.
Solusi.
Bilangan \(1\) ganjil, jadi definisi garis digital memberikan
\begin{equation*} B(1)=\{1\}. \end{equation*}
Setiap anggota basis terbuka dalam topologi yang dibangkitkannya. Secara ekuivalen, \(\{1\}\) adalah gabungan satu anggota basis, yaitu \(\bigcup\{B(1)\}\text{.}\) Dengan demikian \(\{1\}\in\tau_{dl}\text{.}\)
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan ketiga (baris sumber 480--486). Tentukan apakah \(\{0,2\}\) terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Cukup temukan satu titik dalam himpunan yang tidak mempunyai lingkungan dasar yang terkandung di dalamnya, tetapi nyatakan lingkungan tersebut secara eksplisit.
Petunjuk.
Tahap 1. Mulailah dari titik \(0\) yang berada dalam himpunan.
Tahap 2. Satu-satunya lingkungan dasar yang memuat \(0\) adalah \(B(0)=\{-1,0,1\}\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Titik \(0\) berada dalam \(\{0,2\}\text{,}\) tetapi \(B(0)=\{-1,0,1\}\) tidak terkandung dalam \(\{0,2\}\text{.}\)
Solusi.
Himpunan \(U=\{0,2\}\) memuat titik genap \(0\text{.}\) Seperti pada panduan sebelumnya, satu-satunya anggota basis yang memuat \(0\) adalah \(B(0)=\{-1,0,1\}\text{.}\) Akan tetapi \(-1\) dan \(1\) tidak berada dalam \(U\text{,}\) sehingga \(B(0)\nsubseteq U\text{.}\) Jadi tidak ada anggota basis \(B\) dengan \(0\in B\subseteq U\text{.}\) Kriteria keterbukaan gagal pada titik \(0\text{,}\) sehingga \(\{0,2\}\) tidak terbuka. (Kegagalan serupa juga terjadi pada titik genap \(2\text{.}\))
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan keempat (baris sumber 487--493). Tentukan apakah \(\{1,2,3,4,5\}\) terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Nyatakan himpunan tersebut sebagai gabungan eksplisit anggota basis dan verifikasi kedua anggota basis yang digunakan.
Petunjuk.
Tahap 1. Titik genap dalam himpunan adalah \(2\) dan \(4\text{.}\)
Tahap 2. Hitung \(B(2)\) dan \(B(4)\text{,}\) lalu ambil gabungannya.
Jawaban.
Ya, karena \(\{1,2,3,4,5\}=B(2)\cup B(4)\text{.}\)
Solusi.
Karena \(2\) dan \(4\) genap, definisi basis memberi
\begin{equation*} B(2)=\{1,2,3\},\qquad B(4)=\{3,4,5\}. \end{equation*}
Oleh karena itu
\begin{equation*} B(2)\cup B(4)=\{1,2,3,4,5\}. \end{equation*}
Ruas kanan adalah gabungan anggota basis, sehingga terbuka dalam topologi yang dibangkitkan oleh \(\mathcal B\text{.}\) Dengan demikian \(\{1,2,3,4,5\}\in\tau_{dl}\text{.}\)
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan kelima (baris sumber 494--500). Dengan konvensi buku \(\Z^+=\{1,2,3,\ldots\}\text{,}\) tentukan apakah \(\Z^+\) terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Konvensi bahwa \(0\notin\Z^+\) harus dinyatakan; berikan representasi gabungan basis yang mencakup tepat semua bilangan bulat positif.
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk setiap \(k\geq 1\text{,}\) hitung \(B(2k)\text{.}\)
Tahap 2. Periksa bahwa gabungan semua \(B(2k)\) untuk \(k\geq 1\) tidak memuat \(0\) atau bilangan negatif.
Tahap 3. Tunjukkan bahwa setiap bilangan positif, baik genap maupun ganjil, muncul dalam sedikitnya satu anggota gabungan tersebut.
Jawaban.
Ya. Untuk konvensi \(\Z^+=\{1,2,3,\ldots\}\text{,}\) berlaku \(\Z^+=\bigcup_{k\geq 1}B(2k)\text{,}\) sehingga \(\Z^+\) terbuka.
Solusi.
Di sini \(\Z^+\) berarti \(\{1,2,3,\ldots\}\text{,}\) jadi tidak memuat \(0\text{.}\) Untuk \(k\geq 1\text{,}\) bilangan \(2k\) genap dan
\begin{equation*} B(2k)=\{2k-1,2k,2k+1\}. \end{equation*}
Semua bilangan dalam himpunan ini positif. Sebaliknya, setiap bilangan positif genap berbentuk \(2k\) dan berada dalam \(B(2k)\text{.}\) Setiap bilangan positif ganjil berbentuk \(2k-1\) untuk suatu \(k\geq 1\) dan juga berada dalam \(B(2k)\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \Z^+=\bigcup_{k\geq 1}B(2k). \end{equation*}
Karena gabungan sebarang anggota basis terbuka, \(\Z^+\) terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\)
Jangkar sumber: ex_digital_line_topology, pemeriksaan keterbukaan keenam (baris sumber 501--507). Tentukan apakah himpunan semua bilangan bulat ganjil terbuka dalam \(\tau_{dl}\text{.}\) Rubrik. Gunakan definisi \(B(n)\) untuk pusat ganjil dan tuliskan kesetaraan gabungan basis.
Petunjuk.
Tahap 1. Bila \(n\) ganjil, maka \(B(n)=\{n\}\text{.}\)
Tahap 2. Ambil gabungan singleton tersebut atas semua bilangan bulat ganjil \(n\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Himpunan bilangan bulat ganjil adalah \(\bigcup_{n\text{ ganjil}}B(n)\text{,}\) yaitu gabungan anggota basis.
Solusi.
Misalkan \(G=\{n\in\Z\mid n\text{ ganjil}\}\text{.}\) Untuk setiap \(n\in G\text{,}\) definisi basis memberikan \(B(n)=\{n\}\text{.}\) Karena itu
\begin{equation*} G=\bigcup_{n\in G}B(n). \end{equation*}
Gabungan di ruas kanan hanya memuat titik ganjil karena setiap sukunya singleton ganjil, dan setiap titik ganjil muncul sebagai pusat salah satu suku. Jadi kesetaraan tersebut tepat. Karena \(G\) merupakan gabungan anggota basis, \(G\) terbuka dalam topologi garis digital.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>