Bagian Pengantar
Ingatlah bahwa kita dapat mencirikan suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\) sebagai kontinu di \(a \in X\) jika \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\) setiap kali \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Kita telah mendefinisikan lingkungan dalam ruang topologi, sehingga pencirian ini dapat kita gunakan sebagai definisi fungsi kontinu dari satu ruang topologi ke ruang topologi lain.
Definisi 14.1.
Suatu fungsi \(f\) dari ruang topologi \((X, \tau_X)\) ke ruang topologi \((Y, \tau_Y)\) kontinu di suatu titik \(a \in X\) jika \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\) setiap kali \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Fungsi \(f\) kontinu jika \(f\) kontinu di setiap titik dalam \(X\text{.}\)
Kita telah melihat bahwa dalam ruang metrik, kekontinuan dapat dicirikan secara berguna dalam kaitannya dengan himpunan terbuka. Tidak mengherankan bahwa pencirian yang sama berlaku dalam ruang topologi. Untuk aktivitas ini, Anda boleh mengasumsikan hasil
Teorema 14.2 (versi ruang topologi dari
Teorema 8.5 untuk ruang metrik).
Teorema 14.2.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang topologi \((X,\tau_X)\) ke ruang topologi \((Y,\tau_Y)\text{.}\) Maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\) setiap kali \(O\) merupakan himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\)
Aktivitas Persiapan 14.1.
(a)
Misalkan
\begin{equation*}
(X, \tau_X) = (\{1,2,3,4\}, \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, X \})
\end{equation*}
dan misalkan
\begin{equation*}
(Y, \tau_Y) = (\{2,4,6,8\}, \{\emptyset, \{4\}, \{6\}, \{4,6\}, Y\})\text{.}
\end{equation*}
Definisikan \(f: X \to Y\) dengan \(f(x) = 2x\text{.}\)
(i)
Apakah \(f\) kontinu di \(4\text{?}\)
(ii)
Apakah \(f\) suatu fungsi kontinu?
(b)
Misalkan
\begin{equation*}
(X, \tau_X) = (\{1,2,3,4\}, \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1,2\}, \{3,4\}, X \})
\end{equation*}
dan misalkan
\begin{equation*}
(Y, \tau_Y) = (\{a,b,c\}, \{\emptyset, \{a\}, \{a,c\}, Y\})\text{.}
\end{equation*}
Definisikan \(f: X \to Y\) dengan \(f(1) = a\text{,}\) \(f(2) = c\text{,}\) \(f(3) = f(4) = b\text{.}\)
(i)
Tunjukkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu.
(ii)
Meskipun \(f\) kontinu, himpunan \(f(O)\) belum tentu terbuka ketika himpunan asal dipilih sebagai himpunan terbuka dalam \(X\text{.}\) Temukan contoh demikian untuk fungsi \(f\) ini.
(c)
Fungsi \(f\) yang memiliki sifat bahwa \(f(O)\) terbuka setiap kali \(O\) terbuka dalam \(X\) disebut pemetaan terbuka.
Terdapat definisi serupa bagi pemetaan tertutup.
(d)
Misalkan \(X= \{1,2,3,4,5\}\) dan \(\tau = \{\emptyset,\{1\}, \{3,5\}, \{1,3,5\}, X\}\text{.}\) Definisikan \(f: X \to X\) dengan \(f(x) = \la x-3 \ra+1\text{.}\) Di titik mana saja \(f\) kontinu? Apakah \(f\) suatu fungsi kontinu?
(e)
Misalkan \(f:(\Z,\tau_{FC}) \to (\Z, d_E)\text{,}\) dengan \(f(n) = n\) dan \(\tau_{FC}\) merupakan topologi komplemen berhingga. Apakah \(f\) suatu fungsi kontinu? Jika \(f\) tidak kontinu, berikan satu titik tertentu tempat \(f\) tidak kontinu. Jelaskan.
(f)
Misalkan \(f:(\Z, d_E) \to (\Z,\tau_{FC})\text{,}\) dengan \(f(n) = n\) dan \(\tau_{FC}\) merupakan topologi komplemen berhingga. Apakah \(f\) suatu fungsi kontinu? Jika \(f\) tidak kontinu, berikan satu titik tertentu tempat \(f\) tidak kontinu. Jelaskan.
(g)
Kadang-kadang lebih mudah menunjukkan bahwa suatu fungsi \(f\) yang memetakan ruang topologi \((X,\tau_X)\) ke ruang topologi \((Y,\tau_Y)\) kontinu dengan menggunakan suatu basis alih-alih semua himpunan terbuka. Misalkan \(\B\) suatu basis untuk topologi pada \(Y\text{.}\) Apakah benar bahwa jika \(f^{-1}(B)\) terbuka untuk setiap \(B \in \B\text{,}\) maka \(f\) kontinu? Buktikan hasil Anda.
Definisi 14.3.
Misalkan \(f: X \to Y\) suatu fungsi dari ruang topologi \(X\) ke ruang topologi \(Y\text{.}\) Maka \(f\) merupakan pemetaan terbuka jika \(f(U)\) terbuka dalam \(Y\) setiap kali \(U\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Untuk melengkapi pengantar bagian ini, kita membuktikan
Teorema 14.2. Kita membuktikan satu arah sekarang dan membiarkan Anda membuktikan arah lainnya dalam aktivitas berikut.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang topologi \((X, \tau_X)\) ke ruang topologi \((Y, \tau_Y)\text{.}\) Pertama, asumsikan bahwa \(f\) kontinu dan tunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\) setiap kali \(O\) merupakan himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\) Misalkan \(O\) suatu himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) terbuka dalam \(X\text{,}\) kita akan menunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Misalkan \(a \in f^{-1}(O)\text{.}\) Maka \(f(a) \in O\text{.}\) Karena \(O\) merupakan himpunan terbuka, \(O\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{.}\) Kekontinuan \(f\) berarti bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Jadi, \(f^{-1}(O)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka.
Kegiatan 14.2.
Sekarang kita membuktikan implikasi yang tersisa dalam
Teorema 14.2. Artinya, misalkan
\(f\) suatu fungsi dari ruang topologi
\((X, \tau_X)\) ke ruang topologi
\((Y, \tau_Y)\text{,}\) dan asumsikan bahwa
\(f^{-1}(O)\) terbuka setiap kali
\(O\) terbuka dalam
\(Y\text{.}\) Kita akan membuktikan bahwa
\(f\) merupakan fungsi kontinu.
(a)
Menurut definisi, apa yang perlu ditunjukkan untuk membuktikan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu?
(b)
Misalkan \(a \in X\) dan andaikan \(N\) suatu lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Apa yang dapat kita simpulkan dari fakta bahwa \(N\) merupakan lingkungan?
(c)
Gunakan asumsi mengenai \(f\) dalam aktivitas ini untuk menjelaskan mengapa \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\text{.}\)
(d)
Jelaskan bagaimana kita telah menunjukkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu.
Teorema 14.4.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang topologi \((X,\tau_X)\) ke ruang topologi \((Y,\tau_Y)\text{.}\) Maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(C)\) tertutup dalam \(X\) setiap kali \(C\) merupakan himpunan tertutup dalam \(Y\text{.}\)
