Definisi 12.6.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi dan \(a \in X\text{.}\) Subhimpunan \(N\) dari \(X\) merupakan lingkungan dari \(a\) jika \(N\) memuat suatu himpunan terbuka yang memuat \(a\text{.}\)
Bagian Lingkungan dalam Ruang Topologi
Ingat bahwa dalam ruang metrik kita mendefinisikan lingkungan suatu titik \(a\) sebagai subhimpunan ruang yang memuat bola terbuka berpusat di \(a\text{.}\) Setiap bola terbuka merupakan himpunan terbuka, sehingga gagasan lingkungan dapat diperluas ke ruang topologi.
Mari kita lihat beberapa contoh.
Kegiatan 12.7.
Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\text{.}\)
(a)
Tentukan semua lingkungan titik \(a\text{.}\)
(b)
Tentukan semua lingkungan titik \(c\text{.}\)
Dalam ruang metrik, suatu himpunan terbuka merupakan lingkungan dari setiap titiknya. Hal ini juga berlaku dalam ruang topologi.
Teorema 12.7.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi. Subhimpunan \(O\) dari \(X\) terbuka jika dan hanya jika \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya.
Bukti.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(O\) subhimpunan dari \(X\text{.}\) Pertama-tama kita tunjukkan bahwa jika \(O\) terbuka, maka \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya. Andaikan \(O\) himpunan terbuka dan \(a \in O\text{.}\) Himpunan \(O\) memuat himpunan terbuka \(O\) yang memuat \(a\text{,}\) sehingga \(O\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Arah sebaliknya menjadi pokok kegiatan berikutnya.
Kegiatan 12.8.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi. Misalkan \(O\) subhimpunan dari \(X\text{.}\) Andaikan \(O\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya.
(a)
Apa yang perlu kita lakukan untuk menunjukkan bahwa \(O\) merupakan himpunan terbuka?
(b)
Misalkan \(a \in O\text{.}\) Mengapa harus ada himpunan terbuka \(O_a\) sedemikian sehingga \(a \in O_a \subseteq O\text{?}\)
(c)
Lengkapi pembuktian bahwa \(O\) merupakan himpunan terbuka.
