Kegiatan 6.4.
Misalkan \((X, d_X)\text{,}\) \((Y,d_Y)\text{,}\) dan \((Z, d_Z)\) merupakan ruang-ruang metrik, dan andaikan \(f: X \to Y\) serta \(g: Y \to Z\) merupakan fungsi kontinu. Kita akan membuktikan bahwa \(g \circ f\) merupakan fungsi kontinu.
(a)
Apa yang harus kita lakukan untuk menunjukkan bahwa \(g \circ f\) merupakan fungsi kontinu? Apa dua langkah pertama dalam pembuktian kita?
(b)
Misalkan \(a \in X\) dan misalkan \(b = f(a)\text{.}\) Andaikan diberikan \(\epsilon \gt 0\text{.}\) Jelaskan mengapa pasti ada \(\delta_1 \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_Y(y,b) \lt \delta_1\) mengakibatkan \(d_Z(g(y), g(b)) \lt \epsilon\text{.}\)
(c)
Sekarang jelaskan mengapa ada \(\delta_2 \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a) \lt \delta_2\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),
f(a)) \lt \delta_1\text{.}\)
(d)
Buktikan bahwa \(g \circ f : X \to Z\) merupakan fungsi kontinu.
