Bagian Panduan Belajar Mandiri: Titik Limit dan Limit Barisan
Untuk menentukan titik limit suatu himpunan \(A\text{,}\) uji apakah setiap lingkungan terbuka dari titik yang sedang diperiksa bertemu dengan \(A\) pada suatu titik lain. Jika sebuah basis diberikan, cukup menguji lingkungan-lingkungan basis yang memuat titik tersebut.
Tentukan semua titik limit dari \(A=\{c,d\}\) dalam \(X=\{a,b,c,d\}\) dengan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Cari lingkungan terbuka terkecil yang tersedia untuk masing-masing titik.
Tahap 2. Titik \(a\) memiliki lingkungan \(\{a\}\text{,}\) dan titik \(b\) memiliki lingkungan \(\{b\}\text{.}\)
Tahap 3. Satu-satunya lingkungan terbuka yang memuat \(c\) atau \(d\) adalah \(X\text{.}\)
Himpunan titik limitnya adalah \(A'=\{c,d\}\text{.}\)
Lingkungan \(\{a\}\) tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga \(a\) bukan titik limit. Demikian pula, \(\{b\}\) menunjukkan bahwa \(b\) bukan titik limit. Setiap lingkungan terbuka dari \(c\) adalah \(X\text{,}\) dan \(X\) memuat titik \(d\in A\setminus\{c\}\text{.}\) Jadi \(c\) titik limit. Dengan menukar peran \(c\) dan \(d\text{,}\) diperoleh bahwa \(d\) juga titik limit.
Pemeriksaan M.14. Titik Limit pada Topologi Berhingga Kedua.
Tentukan semua titik limit dari \(A=\{a,b\}\) dalam \(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) dengan
\begin{equation*}
\tau=\{\emptyset,\{b\},\{a,b,c\},\{d,e,f\},\{b,d,e,f\},X\}.
\end{equation*}
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Gunakan \(\{b\}\) untuk menguji \(b\) dan \(\{d,e,f\}\) untuk menguji \(d,e,f\text{.}\)
Tahap 2. Setiap lingkungan terbuka dari \(a\) memuat \(b\text{.}\)
Tahap 3. Setiap lingkungan terbuka dari \(c\) memuat paling sedikit satu titik dari \(A\text{.}\)
Himpunan titik limitnya adalah \(A'=\{a,c\}\text{.}\)
Lingkungan terbuka \(\{b\}\) tidak memuat titik \(A\setminus\{b\}=\{a\}\text{,}\) jadi \(b\) bukan titik limit. Himpunan \(\{d,e,f\}\) adalah lingkungan dari masing-masing \(d,e,f\) dan tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga ketiga titik itu bukan titik limit. Setiap lingkungan dari \(a\) memuat \(\{a,b,c\}\) dan karenanya memuat \(b\neq a\text{.}\) Setiap lingkungan dari \(c\) juga memuat \(\{a,b,c\}\text{,}\) sehingga bertemu \(A\text{.}\) Jadi tepat \(a\) dan \(c\) merupakan titik limit.
Pemeriksaan M.15. Titik Limit pada Ruang Diskret.
Misalkan \(X=\{a,b,c\}\) dilengkapi topologi diskret. Tentukan semua titik limit dari \(A=\{a,b\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Dalam topologi diskret, setiap himpunan beranggota tunggal terbuka.
Tahap 2. Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) gunakan \(\{x\}\) sebagai lingkungan uji.
Tahap 3. Periksa irisan \(\{x\}\cap(A\setminus\{x\})\text{.}\)
Tidak ada titik limit; \(A'=\emptyset\text{.}\)
Untuk setiap \(x\in X\text{,}\) himpunan \(\{x\}\) adalah lingkungan terbuka dari \(x\text{.}\) Lingkungan ini tidak memuat titik mana pun dari \(A\setminus\{x\}\text{.}\) Jadi setiap titik memiliki satu lingkungan yang menggagalkan syarat titik limit, sehingga \(A'=\emptyset\text{.}\)
Pemeriksaan M.16. Titik Limit pada Topologi Garis Digital.
Pada \(\Z\text{,}\) misalkan \(\tau\) memiliki basis \(\{B(n)\mid n\in\Z\}\text{,}\) dengan
\begin{equation*}
B(n)=
\begin{cases}
\{n\} \amp \text{jika \(n\) ganjil},\\
\{n-1,n,n+1\} \amp \text{jika \(n\) genap}.
\end{cases}
\end{equation*}
Tentukan semua titik limit dari \(A=\{-1,0,1\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Setiap bilangan ganjil memiliki lingkungan basis beranggota tunggal.
Tahap 2. Jika \(n\) genap, satu-satunya anggota basis yang memuat \(n\) adalah \(B(n)=\{n-1,n,n+1\}\text{.}\)
Tahap 3. Cari semua bilangan genap \(n\) untuk mana \(B(n)\) bertemu \(A\setminus\{n\}\text{.}\)
Himpunan titik limitnya adalah \(A'=\{-2,0,2\}\text{.}\)
Jika \(n\) ganjil, lingkungan \(B(n)=\{n\}\) tidak bertemu \(A\setminus\{n\}\text{;}\) jadi tidak ada titik ganjil yang merupakan titik limit. Jika \(n\) genap, cukup menguji \(B(n)=\{n-1,n,n+1\}\text{.}\) Untuk \(n=-2,0,2\text{,}\) himpunan ini bertemu \(A\setminus\{n\}\text{,}\) masing-masing pada \(-1\text{,}\) pada \(-1\) atau \(1\text{,}\) dan pada \(1\text{.}\) Untuk setiap bilangan genap lain, \(B(n)\) tidak bertemu \(A\text{.}\) Maka tepat \(-2,0,2\) merupakan titik limit.
Pemeriksaan M.17. Limit Barisan Konstan Dapat Tidak Tunggal.
Tinjau \(X=\{a,b,c\}\) dengan \(\tau=\{\emptyset,\{c\},\{a,c\},\{b,c\},X\}\text{.}\) Tentukan semua limit dari masing-masing barisan konstan \((a)\text{,}\) \((b)\text{,}\) dan \((c)\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Barisan konstan \((p)\) konvergen ke \(x\) tepat ketika setiap lingkungan terbuka dari \(x\) memuat \(p\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan lingkungan \(\{c\}\) untuk menguji konvergensi ke \(c\text{.}\)
Tahap 3. Perhatikan bahwa setiap himpunan terbuka tak kosong dalam \(\tau\) memuat \(c\text{.}\)
Barisan \((a)\) hanya berlimit \(a\text{;}\) barisan \((b)\) hanya berlimit \(b\text{;}\) barisan \((c)\) berlimit \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{.}\)
Lingkungan terbuka terkecil yang relevan bagi \(a\) adalah \(\{a,c\}\text{,}\) bagi \(b\) adalah \(\{b,c\}\text{,}\) dan bagi \(c\) adalah \(\{c\}\text{.}\) Setiap lingkungan dari \(a\) memuat \(a\) dan \(c\text{,}\) sehingga \((a)\) dan \((c)\) konvergen ke \(a\text{.}\) Setiap lingkungan dari \(b\) memuat \(b\) dan \(c\text{,}\) sehingga \((b)\) dan \((c)\) konvergen ke \(b\text{.}\) Hanya \((c)\) yang akhirnya berada dalam lingkungan \(\{c\}\text{,}\) sehingga hanya \((c)\) yang konvergen ke \(c\text{.}\) Jika hasil dikelompokkan menurut barisannya, diperoleh daftar pada jawaban.
