Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian pertama

Dua belas panduan berikut berkorespondensi dengan dua belas perintah pertama pada bagian latihan Bab 7 menurut urutan kedalaman sumber. Materi pendamping ini merupakan uraian asli untuk pembelajaran mandiri, bukan jawaban yang disediakan oleh penulis karya sumber.
Dalam \((\R^2,d_E)\text{,}\) misalkan \(A=\{(x,y)\in\R^2\mid x^2+y^2\lt1\}\) dan \(a=(0.5,0.5)\text{.}\) Tentukan, disertai bukti, apakah \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Nyatakan sebuah radius positif dan buktikan bahwa seluruh bola terbuka dengan pusat \(a\) dan radius tersebut termuat dalam \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Langkah 1. Jarak Euklides \(a\) dari titik asal adalah \(\|a\|=1/\sqrt{2}\text{.}\)
Langkah 2. Gunakan pertidaksamaan segitiga untuk titik \(z\in B(a,1-1/\sqrt{2})\text{.}\)
Jawaban.
Ya. Radius \(\delta=1-1/\sqrt{2}\) positif dan memenuhi \(B(a,\delta)\subseteq A\text{.}\)
Solusi.
Tuliskan \(\|z\|\) untuk norma Euklides titik \(z\in\R^2\text{.}\) Karena
\begin{equation*} \|a\|=\sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2}=\frac{1}{\sqrt{2}}\lt1, \end{equation*}
bilangan \(\delta=1-1/\sqrt{2}\) positif. Jika \(z\in B(a,\delta)\text{,}\) maka pertidaksamaan segitiga memberi
\begin{equation*} \|z\|\leq\|z-a\|+\|a\|\lt\delta+\frac{1}{\sqrt{2}}=1. \end{equation*}
Jadi jumlah kuadrat koordinat \(z\) kurang daripada \(1\text{,}\) sehingga \(z\in A\text{.}\) Dengan demikian \(B(a,\delta)\subseteq A\text{,}\) dan menurut definisi \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Dalam \((\R^2,d_T)\text{,}\) misalkan \(A\) adalah sumbu \(x\) dan \(a=(0,0)\text{.}\) Tentukan, disertai bukti, apakah \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Jika jawabannya negatif, untuk setiap radius positif berikan titik di dalam bola yang tidak berada pada sumbu \(x\text{.}\)
Petunjuk.
Untuk \(\delta\gt0\text{,}\) periksa titik \(z=(0,\delta/2)\) dan hitung \(d_T(z,a)\text{.}\)
Jawaban.
Tidak. Setiap bola \(B(a,\delta)\) memuat titik \((0,\delta/2)\text{,}\) yang tidak berada pada sumbu \(x\text{.}\)
Solusi.
Ambil sebarang \(\delta\gt0\) dan tetapkan \(z=(0,\delta/2)\text{.}\) Jarak taksi dari \(z\) ke \(a\) adalah
\begin{equation*} d_T(z,a)=|0-0|+|\delta/2-0|=\delta/2\lt\delta. \end{equation*}
Maka \(z\in B(a,\delta)\text{.}\) Akan tetapi, koordinat kedua \(z\) tidak nol, sehingga \(z\notin A\text{.}\) Jadi tidak ada \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq A\text{.}\) Oleh karena itu, \(A\) bukan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) misalkan \(A=\Q\) dan \(a=0\text{.}\) Tentukan, disertai bukti, apakah \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Gunakan urutan kuantor dalam definisi lingkungan dan sifat kerapatan bilangan irasional.
Petunjuk.
Setiap interval terbuka \((-\delta,\delta)\) memuat bilangan irasional.
Jawaban.
Tidak. Untuk setiap \(\delta\gt0\text{,}\) bola \(B(0,\delta)\) memuat suatu bilangan irasional dan karenanya tidak termuat dalam \(\Q\text{.}\)
Solusi.
Misalkan \(\delta\gt0\) diberikan. Kerapatan bilangan irasional dalam \(\R\) menjamin adanya \(u\in\R\setminus\Q\) dengan \(-\delta\lt u\lt\delta\text{.}\) Dengan demikian \(|u-0|\lt\delta\text{,}\) sehingga \(u\in B(0,\delta)\text{,}\) tetapi \(u\notin A\text{.}\) Argumen ini berlaku untuk setiap radius positif, sehingga tidak ada bola terbuka berpusat di \(0\) yang termuat dalam \(A\text{.}\) Jadi \(\Q\) bukan lingkungan dari \(0\) dalam metrik Euklides.
Misalkan \(Q\) adalah himpunan bilangan rasional dalam bentuk paling sederhana dan \(d(a/b,c/d)=\max\{|a-c|,|b-d|\}\text{.}\) Dalam \((Q,d)\text{,}\) tentukan apakah himpunan \(A\) semua bilangan bulat positif merupakan lingkungan dari \(1=1/1\text{.}\) Rubrik. Tentukan bola terbuka berjari-jari \(1\) di sekitar \(1/1\) dan jelaskan peran koordinat pembilang serta penyebut yang bulat.
Petunjuk.
Jika dua pecahan tereduksi berbeda, setidaknya salah satu dari selisih pembilang dan selisih penyebutnya adalah bilangan bulat tak nol.
Jawaban.
Ya. Bola \(B(1/1,1)\) hanya berisi \(1/1\text{,}\) sehingga bola itu termuat dalam himpunan bilangan bulat positif.
Solusi.
Ambil \(c/d\in Q\) dalam bentuk paling sederhana. Jika \(c/d\neq1/1\text{,}\) pasangan bilangan bulat \((c,d)\) berbeda dari \((1,1)\text{.}\) Maka paling sedikit satu dari \(|c-1|\) dan \(|d-1|\) merupakan bilangan bulat positif, sehingga
\begin{equation*} d(c/d,1/1)=\max\{|c-1|,|d-1|\}\geq1. \end{equation*}
Akibatnya, syarat \(d(c/d,1/1)\lt1\) hanya dipenuhi oleh \(c/d=1/1\text{.}\) Jadi \(B(1/1,1)=\{1/1\}\subseteq A\text{.}\) Karena \(A\) memuat bola terbuka berpusat di \(1\text{,}\) \(A\) merupakan lingkungan dari \(1\text{.}\)
Misalkan \(X=\{1,3,5\}\) dan \(d_X(x,y)=xy-1\pmod 8\text{,}\) yakni sisa pembagian \(xy-1\) oleh \(8\text{.}\) Untuk sebarang ruang metrik \((Y,d_Y)\text{,}\) tentukan apakah mungkin mendefinisikan fungsi \(f:X\to Y\) yang tidak kontinu. Rubrik. Hitung jarak antar-titik berbeda dan berikan satu radius yang mengisolasi setiap titik domain.
Petunjuk.
Jarak antartitik berbeda adalah \(d_X(1,3)=2\text{,}\) \(d_X(1,5)=4\text{,}\) dan \(d_X(3,5)=6\text{.}\) Apa isi \(B(p,2)\) untuk \(p\in X\text{?}\)
Jawaban.
Tidak mungkin. Setiap fungsi \(f:X\to Y\) kontinu; radius \(\delta=2\) mengisolasi setiap titik \(p\in X\text{.}\)
Solusi.
Perhitungan modulo \(8\) memberikan \(d_X(1,3)=2\text{,}\) \(d_X(1,5)=4\text{,}\) dan \(d_X(3,5)=6\text{.}\) Jadi untuk setiap \(p\in X\text{,}\) tidak ada titik lain yang berjarak kurang daripada \(2\) dari \(p\text{;}\) dengan kata lain, \(B(p,2)=\{p\}\text{.}\)
Sekarang ambil fungsi sebarang \(f:X\to Y\text{,}\) titik \(p\in X\text{,}\) dan \(\epsilon\gt0\text{.}\) Pilih \(\delta=2\text{.}\) Jika \(d_X(x,p)\lt\delta\text{,}\) maka \(x=p\text{,}\) sehingga
\begin{equation*} d_Y(f(x),f(p))=d_Y(f(p),f(p))=0\lt\epsilon. \end{equation*}
Jadi \(f\) kontinu di setiap titik dalam \(X\text{.}\) Tidak ada fungsi tak kontinu dari domain ini ke ruang metrik mana pun.
Pada \(X=(\R^2,d_H)\text{,}\) dengan \(d_H(x,y)=0\) jika \(x=y\) dan \(d_H(x,y)=|x|+|y|\) jika \(x\neq y\text{,}\) definisikan \(f,g:X\to(\R,d_E)\) oleh \(f(0,0)=0\text{,}\) \(f(x)=1\) untuk \(x\neq(0,0)\text{,}\) serta \(g(x)=0\) jika \(|x|\lt1\) dan \(g(x)=1\) selain itu. Tentukan fungsi mana yang kontinu dan buktikan kedua klaim. Rubrik. Periksa titik asal secara terpisah; untuk titik tak nol, tunjukkan bahwa terdapat bola terbuka yang hanya memuat pusatnya.
Petunjuk.
Langkah 1. Untuk setiap \(p\neq0\text{,}\) berlaku \(B(p,|p|)=\{p\}\text{.}\)
Langkah 2. Di titik asal, bandingkan perilaku \(f\) dan \(g\) pada titik-titik tak nol yang normanya menuju nol.
Jawaban.
Fungsi \(f\) tidak kontinu di \(0\text{,}\) sedangkan \(g\) kontinu pada seluruh \(X\text{.}\) Untuk \(g\) di \(0\text{,}\) radius \(1\) bekerja; semua titik tak nol terisolasi.
Solusi.
Untuk menunjukkan bahwa \(f\) tidak kontinu di \(0=(0,0)\text{,}\) tetapkan \(\epsilon_0=1/2\text{.}\) Diberikan sebarang \(\delta\gt0\text{,}\) pilih \(x=(\delta/2,0)\text{.}\) Maka \(x\neq0\) dan
\begin{equation*} d_H(x,0)=|x|=\delta/2\lt\delta, \qquad |f(x)-f(0)|=1\geq\epsilon_0. \end{equation*}
Ini adalah negasi definisi kekontinuan, sehingga \(f\) tidak kontinu.
Untuk \(g\) di titik asal, pilih \(\delta=1\) bagi sebarang \(\epsilon\gt0\text{.}\) Jika \(d_H(x,0)\lt1\text{,}\) maka \(|x|\lt1\text{,}\) sehingga \(g(x)=0=g(0)\) dan jarak keluarannya nol. Jadi \(g\) kontinu di \(0\text{.}\)
Terakhir, jika \(p\neq0\text{,}\) maka untuk setiap \(x\neq p\) berlaku \(d_H(x,p)=|x|+|p|\geq|p|\text{.}\) Karena itu \(B(p,|p|)=\{p\}\text{.}\) Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) pilihan \(\delta=|p|\) memaksa \(x=p\) dan karenanya \(|g(x)-g(p)|=0\lt\epsilon\text{.}\) Maka \(g\) kontinu di setiap titik tak nol juga, sehingga kontinu pada seluruh \(X\text{.}\)
Pada ruang metrik graf berbobot dengan sisi \(ab=3\text{,}\) \(ac=8\text{,}\) \(ae=1\text{,}\) \(ce=7\text{,}\) \(cd=2\text{,}\) \(de=5\text{,}\) \(db=7\text{,}\) dan \(eb=2\text{,}\) tentukan \(B(a,\delta)\) untuk setiap \(\delta\gt0\text{.}\) Rubrik. Hitung dahulu jarak lintasan terpendek dari \(a\) ke kelima simpul, lalu pisahkan semua rentang radius pada nilai jarak kritis.
Petunjuk.
Jarak dari \(a\) ke \(a,e,b,d,c\text{,}\) berturut-turut, adalah \(0,1,3,6,8\text{.}\) Ingat bahwa bola terbuka memakai pertidaksamaan ketat \(d(a,x)\lt\delta\text{.}\)
Jawaban.
Bola-bolanya adalah \(\{a\}\) untuk \(0\lt\delta\leq1\text{;}\) \(\{a,e\}\) untuk \(1\lt\delta\leq3\text{;}\) \(\{a,e,b\}\) untuk \(3\lt\delta\leq6\text{;}\) \(\{a,e,b,d\}\) untuk \(6\lt\delta\leq8\text{;}\) dan \(\{a,e,b,d,c\}\) untuk \(\delta\gt8\text{.}\)
Solusi.
Jalankan langkah jarak terpendek dari \(a\text{.}\) Mula-mula diperoleh jarak tentatif \(d(a,e)=1\text{,}\) \(d(a,b)=3\text{,}\) dan \(d(a,c)=8\) dari sisi-sisi yang bersisian dengan \(a\text{.}\) Melalui \(e\text{,}\) jarak ke \(b\) tetap \(3\text{,}\) jarak ke \(d\) menjadi \(1+5=6\text{,}\) dan jarak ke \(c\) tetap \(1+7=8\text{.}\) Melalui \(b\text{,}\) kandidat jarak ke \(d\) adalah \(3+7=10\text{,}\) sehingga tidak memperbaiki \(6\text{.}\) Melalui \(d\text{,}\) kandidat jarak ke \(c\) adalah \(6+2=8\text{,}\) sama dengan jarak yang sudah diperoleh. Karena semua bobot sisi positif, langkah-langkah ini menyelesaikan pemeriksaan lintasan terpendek. Jadi jarak dari \(a\) ke \(a,e,b,d,c\text{,}\) berturut-turut, adalah \(0,1,3,6,8\text{.}\)
Sebuah simpul masuk ke \(B(a,\delta)\) tepat ketika jaraknya kurang daripada \(\delta\text{.}\) Karena pertidaksamaan ini ketat, simpul pada jarak \(1,3,6,8\) baru masuk setelah radius melewati nilai tersebut. Dengan demikian
\begin{gather*} B(a,\delta)=\{a\} \quad\text{jika }0\lt\delta\leq1,\\ B(a,\delta)=\{a,e\} \quad\text{jika }1\lt\delta\leq3,\\ B(a,\delta)=\{a,e,b\} \quad\text{jika }3\lt\delta\leq6,\\ B(a,\delta)=\{a,e,b,d\} \quad\text{jika }6\lt\delta\leq8,\\ B(a,\delta)=\{a,e,b,d,c\} \quad\text{jika }\delta\gt8. \end{gather*}
Untuk ruang metrik graf berbobot pada tugas sebelumnya, tentukan semua lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Gunakan bola terbuka terkecil yang ditemukan dan buktikan kedua arah klasifikasi.
Petunjuk.
Karena \(B(a,1)=\{a\}\text{,}\) setiap subhimpunan yang memuat \(a\) otomatis memuat sebuah bola terbuka berpusat di \(a\text{.}\)
Jawaban.
Lingkungan dari \(a\) tepat merupakan semua subhimpunan \(N\subseteq X\) yang memuat \(a\text{.}\)
Solusi.
Jika \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) maka ada \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq N\text{.}\) Setiap bola berpusat di \(a\) memuat pusatnya, sehingga \(a\in N\text{.}\)
Sebaliknya, andaikan \(a\in N\subseteq X\text{.}\) Dari perhitungan tugas sebelumnya, \(B(a,1)=\{a\}\text{.}\) Maka \(B(a,1)\subseteq N\text{,}\) sehingga menurut definisi \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Kedua arah ini membuktikan klasifikasi tersebut.
Misalkan \(f:(\R,d_E)\to(\R,d_E)\) didefinisikan oleh \(f(x)=ax+b\text{,}\) dengan \(a\neq0\text{.}\) Untuk \(p\in\R\) dan \(r\gt0\text{,}\) tunjukkan bahwa \(f^{-1}(B(f(p),r))\) memuat bola terbuka berpusat di \(p\text{,}\) lalu simpulkan kekontinuan fungsi linear. Rubrik. Hitung selisih \(f(x)-f(p)\) dan berikan radius eksplisit dalam \(r\) dan \(|a|\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan \(|f(x)-f(p)|=|a|\,|x-p|\) dan pilih \(\delta=r/|a|\text{.}\)
Jawaban.
Berlaku \(f^{-1}(B(f(p),r))=B(p,r/|a|)\text{.}\) Maka pilihan \(\delta=r/|a|\) membuktikan kekontinuan di setiap \(p\text{.}\)
Solusi.
Untuk setiap \(x\in\R\text{,}\)
\begin{equation*} |f(x)-f(p)|=|ax+b-(ap+b)|=|a|\,|x-p|. \end{equation*}
Karena \(a\neq0\text{,}\) radius \(\delta=r/|a|\) positif. Kita mempunyai rangkaian kesetaraan
\begin{align*} x\in f^{-1}(B(f(p),r))\\ \amp\Longleftrightarrow |f(x)-f(p)|\lt r\\ \amp\Longleftrightarrow |x-p|\lt r/|a|\\ \amp\Longleftrightarrow x\in B(p,r/|a|). \end{align*}
Jadi prapeta tersebut bukan hanya memuat, melainkan sama dengan bola yang dinyatakan. Karena konstruksi ini berlaku bagi setiap \(p\) dan \(r\gt0\text{,}\) \(f\) kontinu. Jika istilah fungsi linear juga mencakup kasus \(a=0\text{,}\) kasus itu adalah fungsi konstan dan juga kontinu.
Misalkan \(f:(\R,d_E)\to(\R,d_E)\) didefinisikan oleh \(f(x)=ax^2+bx+c\text{,}\) dengan \(a\neq0\text{.}\) Untuk \(p\in\R\) dan \(r\gt0\text{,}\) tunjukkan bahwa \(f^{-1}(B(f(p),r))\) memuat bola terbuka berpusat di \(p\text{,}\) lalu simpulkan bahwa setiap fungsi kuadrat kontinu. Rubrik. Faktorkan selisih nilai fungsi, batasi \(|x+p|\) di sekitar \(p\text{,}\) dan berikan radius eksplisit.
Petunjuk.
Langkah 1. Gunakan \(f(x)-f(p)=(x-p)(a(x+p)+b)\text{.}\)
Langkah 2. Tetapkan \(C=|a|(2|p|+1)+|b|\) dan pilih \(\delta=\min\{1,r/C\}\text{.}\)
Jawaban.
Dengan \(C=|a|(2|p|+1)+|b|\text{,}\) radius \(\delta=\min\{1,r/C\}\) memenuhi \(B(p,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(p),r))\text{.}\) Jadi \(f\) kontinu di setiap \(p\text{.}\)
Solusi.
Karena \(a\neq0\text{,}\) bilangan \(C=|a|(2|p|+1)+|b|\) positif. Tetapkan \(\delta=\min\{1,r/C\}\text{.}\) Jika \(|x-p|\lt\delta\text{,}\) maka \(|x-p|\lt1\text{,}\) sehingga \(|x|\leq|p|+|x-p|\lt|p|+1\) dan \(|x+p|\lt2|p|+1\text{.}\) Oleh karena itu,
\begin{align*} |f(x)-f(p)| \amp=|(x-p)(a(x+p)+b)|\\ \amp\leq|x-p|\bigl(|a|\,|x+p|+|b|\bigr)\\ \amp\lt|x-p|C\lt\delta C\leq r. \end{align*}
Jadi \(f(x)\in B(f(p),r)\) setiap kali \(x\in B(p,\delta)\text{.}\) Ini membuktikan \(B(p,\delta)\subseteq f^{-1}(B(f(p),r))\text{.}\) Karena \(p\) dan \(r\) dipilih sembarang, \(f\) kontinu pada \(\R\text{.}\)
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dan \(A\subseteq X\) tak kosong. Definisikan \(f:X\to\R\) dengan \(f(x)=d(x,A)\text{.}\) Gunakan \(d(b,A)\leq d(b,c)+d(c,A)\) untuk menunjukkan bahwa, bagi setiap \(b\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{,}\) terdapat lingkungan \(N\) dari \(b\) dengan \(x\in N\Longrightarrow f(x)\in B(f(b),\epsilon)\text{.}\) Simpulkan bahwa \(f\) kontinu. Rubrik. Turunkan batas simetris untuk selisih mutlak dua jarak ke \(A\text{,}\) lalu pilih lingkungan secara eksplisit.
Petunjuk.
Tukarkan \(b\) dan \(c\) dalam pertidaksamaan yang diberikan, lalu gabungkan kedua hasil untuk memperoleh pertidaksamaan 1-Lipschitz.
Jawaban.
Berlaku \(|d(b,A)-d(c,A)|\leq d(b,c)\text{.}\) Karena itu \(N=B(b,\epsilon)\) memenuhi syarat, dan \(f\) bahkan 1-Lipschitz.
Solusi.
Pertidaksamaan yang diberikan menyatakan \(d(b,A)-d(c,A)\leq d(b,c)\text{.}\) Setelah \(b\) dan \(c\) ditukar, simetri metrik memberi \(d(c,A)-d(b,A)\leq d(c,b)=d(b,c)\text{.}\) Kedua pertidaksamaan itu setara dengan
\begin{equation*} |d(b,A)-d(c,A)|\leq d(b,c). \end{equation*}
Tetapkan \(b\in X\) dan \(\epsilon\gt0\text{,}\) lalu ambil \(N=B(b,\epsilon)\text{.}\) Jika \(x\in N\text{,}\) maka
\begin{align*} |f(x)-f(b)| \amp=|d(x,A)-d(b,A)|\\ \amp\leq d(x,b)\lt\epsilon. \end{align*}
Dengan demikian \(f(x)\in B(f(b),\epsilon)\text{.}\) Karena ini berlaku untuk setiap \(b\) dan \(\epsilon\text{,}\) fungsi \(f\) kontinu; batas pertama juga menunjukkan bahwa konstanta Lipschitz-nya paling besar \(1\text{.}\)
Misalkan \(a\) dan \(b\) dua titik berbeda dalam ruang metrik \(X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat lingkungan \(N_a\) dan \(N_b\text{,}\) masing-masing dari \(a\) dan \(b\text{,}\) dengan \(N_a\cap N_b=\emptyset\text{.}\) Rubrik. Pilih radius berdasarkan \(d(a,b)\) dan gunakan pertidaksamaan segitiga untuk membuktikan ketakteririsan.
Petunjuk.
Karena \(a\neq b\text{,}\) bilangan \(r=d(a,b)/2\) positif. Cobalah \(N_a=B(a,r)\) dan \(N_b=B(b,r)\text{.}\)
Jawaban.
Ambil \(r=d(a,b)/2\text{,}\) \(N_a=B(a,r)\text{,}\) dan \(N_b=B(b,r)\text{.}\) Kedua bola terbuka itu merupakan lingkungan dan tidak beririsan.
Solusi.
Karena \(a\neq b\text{,}\) sifat definit positif metrik memberi \(d(a,b)\gt0\text{.}\) Tetapkan \(r=d(a,b)/2\) dan ambil \(N_a=B(a,r)\) serta \(N_b=B(b,r)\text{.}\) Masing-masing jelas merupakan lingkungan dari pusatnya.
Andaikan, untuk memperoleh kontradiksi, ada \(x\in N_a\cap N_b\text{.}\) Maka \(d(a,x)\lt r\) dan \(d(x,b)\lt r\text{.}\) Pertidaksamaan segitiga memberikan
\begin{equation*} d(a,b)\leq d(a,x)+d(x,b)\lt r+r=d(a,b), \end{equation*}
suatu kontradiksi. Jadi \(N_a\cap N_b=\emptyset\text{,}\) sebagaimana diminta.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>