Bagian Pendahuluan
Banyak sifat yang telah kita perkenalkan pada ruang metrik (kekontinuan, titik limit, dan batas) dapat dirumuskan dalam istilah himpunan terbuka pada ruang tersebut. Dengan pemikiran itu, kita dapat memperluas konsep ruang dengan menghilangkan metrik dan cukup mendefinisikan himpunan terbuka pada ruang tersebut. Hasilnya adalah apa yang disebut ruang topologi.
Ingat bahwa himpunan terbuka dalam ruang metrik memenuhi sifat-sifat tertentu, antara lain gabungan sebarang himpunan terbuka adalah terbuka dan irisan berhingga himpunan terbuka adalah terbuka. Sekarang kita gunakan sifat-sifat ini sebagai aksioma untuk mendefinisikan ruang topologi.
Definisi 12.1.
Misalkan
\(X\) suatu himpunan tak kosong. Suatu himpunan
\(\tau\) 3 yang terdiri dari subhimpunan-subhimpunan
\(X\) disebut
topologi pada
\(X\) jika
\(X\) dan \(\emptyset\) merupakan anggota \(\tau\text{,}\)
gabungan sebarang himpunan-himpunan dalam \(\tau\) merupakan himpunan dalam \(\tau\text{,}\) dan
irisan berhingga sebarang himpunan dalam \(\tau\) merupakan himpunan dalam \(\tau\text{.}\)
Suatu ruang topologi adalah himpunan apa pun yang dilengkapi dengan suatu topologi. Jika \(X\) adalah ruangnya dan \(\tau\) topologi pada \(X\text{,}\) kita menyatakan ruang topologi tersebut sebagai \((X, \tau)\text{.}\) Anggota-anggota \(\tau\) disebut himpunan terbuka dalam ruang topologi. Jika topologinya sudah jelas dari konteks, kita cukup menyebut \(X\) sebagai ruang topologi. Berikut beberapa contoh.
Aktivitas Persiapan 12.1.
(a)
Misalkan \(X = \{ a, b, c\}\text{.}\) Apakah himpunan \(\tau = \{a,b\}\) merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi.
(b)
Misalkan \(X= \{a,b,c,d\}\text{.}\) Apakah koleksi subhimpunan yang terdiri dari \(\tau = \{ \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \}\) merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi. Jika bukan, koleksi subhimpunan terkecil apa dari \(X\) yang perlu ditambahkan ke \(\tau\) agar \(\tau\) menjadi topologi pada \(X\text{?}\)
(c)
Misalkan \(X= \{a,b,c,d\}\text{.}\) Apakah koleksi subhimpunan yang terdiri dari
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{d\}, \{a,b\}, \{a,d\}, X \}
\end{equation*}
merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi. Jika bukan, koleksi subhimpunan terkecil apa dari \(X\) yang perlu ditambahkan ke \(\tau\) agar \(\tau\) menjadi topologi pada \(X\text{?}\)
(d)
Misalkan \(X= \{a,b,c,d\}\text{.}\) Apakah koleksi subhimpunan yang terdiri dari
\begin{equation*}
\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{d\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{a,d\}, \{b, d\}, \{c,d\}, X \}
\end{equation*}
merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi. Jika bukan, koleksi subhimpunan terkecil apa dari \(X\) yang perlu ditambahkan ke \(\tau\) agar \(\tau\) menjadi topologi pada \(X\text{?}\)
(e)
Misalkan \(F\) adalah koleksi subhimpunan berhingga dari \(\R\text{.}\) Misalkan \(\tau = \{\emptyset, \R\} \cup F\text{.}\) Pertama, tuliskan tiga anggota \(F\) dan tiga himpunan yang bukan anggota \(F\text{.}\) Selanjutnya, apakah \(\tau\) merupakan topologi pada \(\R\text{?}\) Berikan justifikasi.
(f)
Misalkan \(\tau = \{\emptyset, \R, \{0\} \}\text{.}\) Apakah \(\tau\) merupakan topologi pada \(\R\text{?}\) Berikan justifikasi.
(g)
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\tau = \{\emptyset, X\}\text{.}\) Apakah \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi.
(h)
Misalkan \(X\) suatu himpunan dan \(\tau\) koleksi semua subhimpunan \(X\text{.}\) Apakah \(\tau\) merupakan topologi pada \(X\text{?}\) Berikan justifikasi.
Simbol \(\tau\) adalah huruf Yunani tau kecil.
