Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan Belajar Mandiri: Membangun Topologi Kuosien

Sepuluh panduan ini mendampingi tugas-tugas awal Bab 16: menghitung suatu topologi kuosien berhingga, memeriksa sifat universalnya, membuktikan aksioma-aksioma topologi, dan menganalisis dua pemetaan dari garis real. Kerjakan dahulu butir pada bab utama, lalu buka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap.
Komponen pendamping ini ditulis secara terpisah di bawah lisensi CC BY 4.0 dan bukan materi resmi GVSU.
Misalkan \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\) dengan topologi
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1,2\},\{4,6\},\{1,2,4,6\},X\}, \end{equation*}
dan misalkan \(Y=\{a,b,c,d\}\text{.}\) Definisikan surjeksi \(p:X\to Y\) melalui
\begin{equation*} p(1)=b,\quad p(2)=a,\quad p(3)=c,\quad p(4)=d,\quad p(5)=c,\quad p(6)=a. \end{equation*}
Tentukan semua anggota \(\sigma=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau\}\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Tuliskan keempat serat \(p^{-1}(\{a\})\text{,}\) \(p^{-1}(\{b\})\text{,}\) \(p^{-1}(\{c\})\text{,}\) dan \(p^{-1}(\{d\})\text{.}\)
Tahap 2. Prapeta suatu subhimpunan \(U\subseteq Y\) harus berupa gabungan serat-serat utuh.
Tahap 3. Periksa anggota \(\tau\) mana yang merupakan gabungan serat-serat utuh, lalu baca kembali subhimpunan \(U\) yang bersesuaian.
Jawaban.
Diperoleh \(\sigma=\{\emptyset,\{a,b,d\},Y\}\text{.}\)
Solusi.
Serat-serat \(p\) adalah
\begin{equation*} p^{-1}(\{a\})=\{2,6\},\quad p^{-1}(\{b\})=\{1\},\quad p^{-1}(\{c\})=\{3,5\},\quad p^{-1}(\{d\})=\{4\}. \end{equation*}
Karena \(p^{-1}(U)\) selalu merupakan gabungan semua serat yang berlabel anggota \(U\text{,}\) hanya anggota \(\tau\) yang memuat setiap serat secara utuh yang mungkin menjadi prapeta seperti itu.
Himpunan \(\{1,2\}\) memuat \(2\) tetapi tidak memuat \(6\text{,}\) sedangkan \(\{4,6\}\) memuat \(6\) tetapi tidak memuat \(2\text{;}\) keduanya memotong serat \(\{2,6\}\) dan bukan prapeta subhimpunan mana pun dari \(Y\text{.}\) Tiga anggota \(\tau\) yang merupakan gabungan serat utuh adalah
\begin{equation*} \emptyset=p^{-1}(\emptyset),\qquad \{1,2,4,6\}=p^{-1}(\{a,b,d\}),\qquad X=p^{-1}(Y). \end{equation*}
Jadi tepat ketiga subhimpunan yang disebutkan pada jawaban berada dalam \(\sigma\text{.}\)
Gunakan \(X\text{,}\) \(Y\text{,}\) \(p\text{,}\) dan \(\tau\) berikut: \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\text{,}\) \(Y=\{a,b,c,d\}\text{,}\)
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1,2\},\{4,6\},\{1,2,4,6\},X\}, \end{equation*}
serta \(p(1)=b\text{,}\) \(p(2)=a\text{,}\) \(p(3)=c\text{,}\) \(p(4)=d\text{,}\) \(p(5)=c\text{,}\) dan \(p(6)=a\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sigma=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau\}\) merupakan topologi pada \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Hitung dahulu \(\sigma\) secara eksplisit.
Tahap 2. Periksa bahwa \(\emptyset\) dan \(Y\) berada dalam daftar tersebut.
Tahap 3. Untuk keluarga tiga himpunan \(\{\emptyset,S,Y\}\text{,}\) analisis semua kemungkinan gabungan dan irisan berhingga.
Jawaban.
Perhitungan memberi \(\sigma=\{\emptyset,\{a,b,d\},Y\}\text{.}\) Keluarga ini memuat himpunan kosong dan seluruh ruang serta tertutup terhadap gabungan sebarang dan irisan berhingga, sehingga merupakan topologi pada \(Y\text{.}\)
Solusi.
Dengan menghitung serat seperti pada tugas sebelumnya, diperoleh \(\sigma=\{\emptyset,S,Y\}\text{,}\) dengan \(S=\{a,b,d\}\text{.}\) Jelas \(\emptyset,Y\in\sigma\text{.}\)
Ambil keluarga sebarang anggota \(\sigma\text{.}\) Jika salah satu anggotanya \(Y\text{,}\) gabungannya adalah \(Y\text{.}\) Jika tidak, tetapi salah satu anggotanya \(S\text{,}\) gabungannya adalah \(S\text{;}\) jika semua anggotanya kosong, gabungannya kosong. Jadi gabungan sebarang tetap berada dalam \(\sigma\text{.}\) Untuk irisan berhingga, kehadiran \(\emptyset\) menghasilkan \(\emptyset\text{;}\) tanpa \(\emptyset\text{,}\) kehadiran \(S\) menghasilkan \(S\text{;}\) dan irisan yang hanya melibatkan \(Y\) menghasilkan \(Y\text{.}\) Dengan konvensi, irisan keluarga kosong adalah \(Y\text{.}\) Maka semua aksioma topologi terpenuhi.
Misalkan \((X,\tau)\) dan fungsi surjektif \(p:X\to Y\) seperti berikut: \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\text{,}\) \(Y=\{a,b,c,d\}\text{,}\)
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1,2\},\{4,6\},\{1,2,4,6\},X\}, \end{equation*}
dan \(p(1)=b\text{,}\) \(p(2)=a\text{,}\) \(p(3)=c\text{,}\) \(p(4)=d\text{,}\) \(p(5)=c\text{,}\) \(p(6)=a\text{.}\) Beri \(Y\) topologi \(\sigma=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau\}\text{.}\) Jelaskan mengapa \(p:(X,\tau)\to(Y,\sigma)\) kontinu.
Petunjuk.
Tahap 1. Ingat definisi kekontinuan melalui prapeta himpunan terbuka.
Tahap 2. Ambil sembarang \(U\in\sigma\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan langsung syarat yang mendefinisikan keanggotaan \(U\) dalam \(\sigma\text{.}\)
Jawaban.
Untuk setiap \(U\) yang terbuka dalam \((Y,\sigma)\text{,}\) definisi \(\sigma\) menjamin bahwa \(p^{-1}(U)\in\tau\text{.}\) Inilah tepat syarat kekontinuan \(p\text{.}\)
Solusi.
Suatu fungsi antar-ruang topologi kontinu jika prapeta setiap himpunan terbuka di kodomain terbuka di domain. Ambil sembarang \(U\in\sigma\text{.}\) Persamaan yang mendefinisikan \(\sigma\) menyatakan
\begin{equation*} U\in\sigma\quad\Longleftrightarrow\quad p^{-1}(U)\in\tau. \end{equation*}
Jadi prapeta setiap himpunan terbuka di \(Y\) terbuka di \(X\text{.}\) Karena itu \(p:(X,\tau)\to(Y,\sigma)\) kontinu. Tidak diperlukan pemeriksaan tambahan terhadap titik-titik satu per satu.
Misalkan \(X=\{1,2,3,4,5,6\}\) dengan topologi
\begin{equation*} \tau=\{\emptyset,\{1,2\},\{4,6\},\{1,2,4,6\},X\}, \end{equation*}
misalkan \(Y=\{a,b,c,d\}\text{,}\) dan definisikan surjeksi \(p:X\to Y\) melalui \(p(1)=b\text{,}\) \(p(2)=a\text{,}\) \(p(3)=c\text{,}\) \(p(4)=d\text{,}\) \(p(5)=c\text{,}\) dan \(p(6)=a\text{.}\) Untuk
\begin{equation*} \sigma=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau\}. \end{equation*}
Buktikan bahwa \(\sigma\) adalah topologi terbesar pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu. Dengan kata lain, tunjukkan bahwa setiap topologi \(\sigma'\) pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu memenuhi \(\sigma'\subseteq\sigma\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Ambil topologi \(\sigma'\) yang membuat \(p\) kontinu dan pilih \(U\in\sigma'\text{.}\)
Tahap 2. Terapkan definisi kekontinuan untuk menyimpulkan sesuatu tentang \(p^{-1}(U)\text{.}\)
Tahap 3. Bandingkan kesimpulan itu dengan definisi \(\sigma\text{;}\) kemudian jelaskan apa yang terjadi jika \(\sigma'\) memuat anggota di luar \(\sigma\text{.}\)
Jawaban.
Jika \(p:(X,\tau)\to(Y,\sigma')\) kontinu, maka setiap \(U\in\sigma'\) mempunyai prapeta terbuka di \(X\text{,}\) sehingga \(U\in\sigma\text{.}\) Jadi \(\sigma'\subseteq\sigma\text{.}\)
Solusi.
Misalkan \(\sigma'\) suatu topologi pada \(Y\) dan andaikan \(p:(X,\tau)\to(Y,\sigma')\) kontinu. Untuk setiap \(U\in\sigma'\text{,}\) kekontinuan memberi \(p^{-1}(U)\in\tau\text{.}\) Berdasarkan definisi \(\sigma\text{,}\) kondisi terakhir ekuivalen dengan \(U\in\sigma\text{.}\) Jadi setiap anggota \(\sigma'\) juga anggota \(\sigma\text{,}\) yakni \(\sigma'\subseteq\sigma\text{.}\)
Secara khusus, jika suatu topologi pada \(Y\) memuat \(\sigma\) secara sejati, pilih himpunan terbuka \(U\notin\sigma\) dari selisihnya. Maka \(p^{-1}(U)\notin\tau\text{,}\) sehingga \(p\) tidak kontinu untuk topologi yang lebih besar itu. Jadi “terbesar” di sini berarti topologi paling halus di antara semua topologi pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu.
Misalkan \((X,\tau_X)\) suatu ruang topologi, \(Y\) suatu himpunan, dan \(p:X\to Y\) suatu surjeksi. Untuk
\begin{equation*} \tau_Y=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau_X\}, \end{equation*}
buktikan bahwa \(\emptyset\) dan \(Y\) merupakan anggota \(\tau_Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Hitung \(p^{-1}(\emptyset)\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan surjektivitas untuk menghitung \(p^{-1}(Y)\text{.}\)
Tahap 3. Terapkan aksioma pertama topologi pada \(\tau_X\text{.}\)
Jawaban.
Karena \(p^{-1}(\emptyset)=\emptyset\in\tau_X\) dan, oleh surjektivitas, \(p^{-1}(Y)=X\in\tau_X\text{,}\) berlaku \(\emptyset,Y\in\tau_Y\text{.}\)
Solusi.
Tidak ada titik yang dipetakan ke anggota himpunan kosong, sehingga \(p^{-1}(\emptyset)=\emptyset\text{.}\) Setiap topologi pada \(X\) memuat \(\emptyset\text{;}\) maka definisi \(\tau_Y\) memberi \(\emptyset\in\tau_Y\text{.}\)
Karena kodomain \(p\) adalah \(Y\text{,}\) sebenarnya \(p^{-1}(Y)=X\) untuk setiap fungsi \(p:X\to Y\text{;}\) asumsi surjektif diperlukan untuk konstruksi kuosien, tetapi tidak untuk identitas ini. Aksioma topologi memberi \(X\in\tau_X\text{,}\) sehingga \(Y\in\tau_Y\text{.}\)
Misalkan \((X,\tau_X)\) suatu ruang topologi, \(p:X\to Y\) suatu surjeksi, dan \(\tau_Y=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau_X\}\text{.}\) Jika \(\{U_\beta\}_{\beta\in J}\) suatu keluarga anggota \(\tau_Y\text{,}\) buktikan bahwa \(\bigcup_{\beta\in J}U_\beta\in\tau_Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk setiap \(\beta\text{,}\) terjemahkan \(U_\beta\in\tau_Y\) menjadi pernyataan tentang prapetanya.
Tahap 2. Gunakan identitas bahwa prapeta mempertahankan gabungan sebarang.
Tahap 3. Terapkan aksioma gabungan pada \(\tau_X\) dan kembali ke definisi \(\tau_Y\text{.}\)
Jawaban.
Berlaku \(p^{-1}(\bigcup_\beta U_\beta)=\bigcup_\beta p^{-1}(U_\beta)\text{.}\) Ruas kanan terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga gabungan pada ruas kiri merupakan anggota \(\tau_Y\text{.}\)
Solusi.
Karena \(U_\beta\in\tau_Y\text{,}\) untuk setiap \(\beta\in J\) berlaku \(p^{-1}(U_\beta)\in\tau_X\text{.}\) Prapeta berkomutasi dengan gabungan sebarang, jadi
\begin{equation*} p^{-1}\left(\bigcup_{\beta\in J}U_\beta\right) =\bigcup_{\beta\in J}p^{-1}(U_\beta). \end{equation*}
Ruas kanan adalah gabungan sebarang himpunan terbuka dalam \(X\text{,}\) sehingga berada dalam \(\tau_X\text{.}\) Berdasarkan definisi \(\tau_Y\text{,}\) hal ini tepat menyatakan bahwa \(\bigcup_{\beta\in J}U_\beta\in\tau_Y\text{.}\) Argumen juga mencakup \(J=\emptyset\text{,}\) ketika gabungannya kosong.
Misalkan \((X,\tau_X)\) suatu ruang topologi, \(p:X\to Y\) suatu surjeksi, dan \(\tau_Y=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau_X\}\text{.}\) Jika \(J\) berhingga dan \(U_\beta\in\tau_Y\) untuk setiap \(\beta\in J\text{,}\) buktikan bahwa \(\bigcap_{\beta\in J}U_\beta\in\tau_Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Ubah keanggotaan setiap \(U_\beta\) menjadi keterbukaan \(p^{-1}(U_\beta)\text{.}\)
Tahap 2. Prapeta juga mempertahankan irisan.
Tahap 3. Di sinilah keberhinggaan \(J\) diperlukan untuk memakai aksioma topologi pada \(\tau_X\text{.}\)
Jawaban.
Karena \(p^{-1}(\bigcap_\beta U_\beta)=\bigcap_\beta p^{-1}(U_\beta)\) dan ruas kanan merupakan irisan berhingga himpunan terbuka, prapeta irisan tersebut terbuka. Jadi irisannya berada dalam \(\tau_Y\text{.}\)
Solusi.
Dari \(U_\beta\in\tau_Y\) diperoleh \(p^{-1}(U_\beta)\in\tau_X\) untuk setiap \(\beta\in J\text{.}\) Identitas prapeta memberi
\begin{equation*} p^{-1}\left(\bigcap_{\beta\in J}U_\beta\right) =\bigcap_{\beta\in J}p^{-1}(U_\beta). \end{equation*}
Karena \(J\) berhingga, ruas kanan terbuka dalam \(X\) oleh aksioma irisan berhingga. Maka \(\bigcap_{\beta\in J}U_\beta\in\tau_Y\text{.}\) Jika \(J=\emptyset\text{,}\) kedua irisan masing-masing adalah \(Y\) dan \(X\text{,}\) sehingga kesimpulan tetap benar.
Misalkan \((X,\tau_X)\) suatu ruang topologi, \(Y\) suatu himpunan, dan \(p:X\to Y\) suatu surjeksi. Definisikan \(\tau_Y=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau_X\}\text{.}\) Setelah diketahui bahwa \(\emptyset,Y\in\tau_Y\text{,}\) bahwa \(\tau_Y\) tertutup terhadap gabungan sebarang, dan bahwa \(\tau_Y\) tertutup terhadap irisan berhingga, simpulkan apa yang dapat dikatakan tentang \(\tau_Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Cocokkan ketiga fakta yang diberikan dengan definisi sebuah topologi.
Tahap 2. Perhatikan bahwa semua anggota \(\tau_Y\) memang subhimpunan dari \(Y\text{.}\)
Tahap 3. Nyatakan pula nama topologi yang dibentuk melalui suatu surjeksi dengan aturan prapeta ini.
Jawaban.
Ketiga aksioma terpenuhi, jadi \(\tau_Y\) merupakan topologi pada \(Y\text{.}\) Topologi ini disebut topologi kuosien yang ditentukan oleh \(p\) dan \(\tau_X\text{.}\)
Solusi.
Sebuah koleksi subhimpunan dari \(Y\) adalah topologi tepat bila memuat \(\emptyset\) dan \(Y\text{,}\) tertutup terhadap gabungan sebarang, serta tertutup terhadap irisan berhingga. Semua syarat itu telah diverifikasi untuk \(\tau_Y\text{.}\) Karena itu \((Y,\tau_Y)\) adalah ruang topologi. Konstruksi ini disebut topologi kuosien pada \(Y\text{;}\) surjeksi \(p\) menjadi pemetaan kuosien karena, menurut definisi, \(U\) terbuka di \(Y\) jika dan hanya jika \(p^{-1}(U)\) terbuka di \(X\text{.}\)
Beri \(X=\R\) topologi standar dan ambil \(Y=\{-1,0,1\}\text{.}\) Definisikan surjeksi \(p:X\to Y\) dengan \(p(x)=1\) untuk \(x\gt0\text{,}\) \(p(0)=0\text{,}\) dan \(p(x)=-1\) untuk \(x\lt0\text{.}\) Tentukan semua himpunan terbuka dalam topologi kuosien pada \(Y\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Ada hanya delapan subhimpunan \(Y\text{;}\) mulai dengan prapeta ketiga himpunan satu titik.
Tahap 2. Prapeta mempertahankan gabungan, sehingga prapeta himpunan beranggota dua mudah diperoleh.
Tahap 3. Tentukan prapeta mana yang terbuka dalam topologi standar pada \(\R\text{.}\)
Jawaban.
Topologi kuosiennya adalah
\begin{equation*} \{\emptyset,\{-1\},\{1\},\{-1,1\},Y\}. \end{equation*}
Solusi.
Serat-seratnya ialah \(p^{-1}(\{-1\})=(-\infty,0)\text{,}\) \(p^{-1}(\{0\})=\{0\}\text{,}\) dan \(p^{-1}(\{1\})=(0,\infty)\text{.}\) Karena itu prapeta delapan subhimpunan \(Y\) adalah
\begin{equation*} \begin{aligned} p^{-1}(\emptyset)\amp=\emptyset, \amp p^{-1}(\{-1\})\amp=(-\infty,0), \amp p^{-1}(\{0\})\amp=\{0\},\\ p^{-1}(\{1\})\amp=(0,\infty), \amp p^{-1}(\{-1,0\})\amp=(-\infty,0], \amp p^{-1}(\{0,1\})\amp=[0,\infty),\\ p^{-1}(\{-1,1\})\amp=\R\setminus\{0\}, \amp p^{-1}(Y)\amp=\R. \end{aligned} \end{equation*}
Di antara himpunan-himpunan tersebut, tepat \(\emptyset\text{,}\) \((-\infty,0)\text{,}\) \((0,\infty)\text{,}\) \(\R\setminus\{0\}\text{,}\) dan \(\R\) yang terbuka dalam topologi standar. Subhimpunan \(Y\) yang bersesuaian memberi daftar pada jawaban. Khususnya, \(0\) tidak mempunyai lingkungan terbuka sejati di \(Y\text{;}\) setiap himpunan terbuka yang memuat \(0\) harus sama dengan \(Y\text{.}\)
Beri \(\R\) topologi standar dan definisikan surjeksi \(p:\R\to[0,1)\) dengan \(p(x)=x-\lfloor x\rfloor\text{.}\) Ciri lengkap apakah yang harus dipenuhi \(U\subseteq[0,1)\) agar \(p^{-1}(U)\) terbuka dalam \(\R\text{?}\) Dengan demikian, tentukan semua anggota topologi kuosien pada \([0,1)\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Gunakan \(p^{-1}(U)=\bigcup_{n\in\Z}(n+U)\) dan periksa titik-titik dengan bagian pecahan di antara \(0\) dan \(1\text{.}\)
Tahap 2. Jika \(0\in U\text{,}\) keterbukaan prapeta di setiap bilangan bulat memaksa \(U\) memuat bagian kecil di dekat \(0\) sekaligus bagian kecil di dekat \(1\text{.}\)
Tahap 3. Buktikan arah sebaliknya dengan membangun lingkungan terbuka bagi setiap titik \(x\in p^{-1}(U)\text{,}\) dengan memisahkan kasus \(p(x)=0\) dan \(p(x)\ne0\text{.}\)
Jawaban.
Suatu \(U\subseteq[0,1)\) terbuka kuosien jika dan hanya jika setiap \(y\in U\cap(0,1)\) mempunyai selang terbuka kecil yang termuat dalam \(U\text{,}\) dan, bila \(0\in U\text{,}\) terdapat \(\varepsilon\gt0\) dengan \([0,\varepsilon)\cup(1-\varepsilon,1)\subseteq U\text{.}\) Jadi lingkungan \(0\) harus “membungkus” kedua ujung interval.
Solusi.
Untuk \(U\subseteq[0,1)\text{,}\) berlaku
\begin{equation*} p^{-1}(U)=\bigcup_{n\in\Z}(n+U), \qquad n+U=\{n+u\mid u\in U\}. \end{equation*}
Andaikan prapeta ini terbuka. Jika \(y\in U\cap(0,1)\text{,}\) maka \(y\in p^{-1}(U)\text{;}\) ada \(\delta\gt0\text{,}\) yang dapat diperkecil agar \(\delta\lt\min\{y,1-y\}\text{,}\) sedemikian sehingga \((y-\delta,y+\delta)\subseteq p^{-1}(U)\text{.}\) Pada selang \((0,1)\text{,}\) fungsi \(p\) adalah identitas, sehingga selang itu termuat dalam \(U\text{.}\)
Jika \(0\in U\text{,}\) maka \(0\in p^{-1}(U)\text{.}\) Keterbukaan menghasilkan \(\varepsilon\gt0\text{,}\) yang dapat dipilih kurang dari \(1\text{,}\) dengan \((-\varepsilon,\varepsilon)\subseteq p^{-1}(U)\text{.}\) Bagian positif dipetakan ke \((0,\varepsilon)\text{,}\) sedangkan untuk \(t\in(-\varepsilon,0)\) berlaku \(p(t)=1+t\text{.}\) Jadi
\begin{equation*} [0,\varepsilon)\cup(1-\varepsilon,1)\subseteq U. \end{equation*}
Kedua kondisi pada jawaban dengan demikian perlu.
Sebaliknya, andaikan kedua kondisi itu dipenuhi dan ambil \(x\in p^{-1}(U)\text{.}\) Jika \(p(x)=y\in(0,1)\text{,}\) suatu selang kecil di sekitar \(y\) yang termuat dalam \(U\text{,}\) setelah digeser oleh bilangan bulat \(\lfloor x\rfloor\text{,}\) memberi lingkungan terbuka bagi \(x\) yang termuat dalam \(p^{-1}(U)\text{.}\) Jika \(p(x)=0\text{,}\) maka \(x\) bilangan bulat; syarat pembungkusan di \(0\) membuat \((x-\varepsilon,x+\varepsilon)\) termuat dalam \(p^{-1}(U)\text{,}\) setelah \(\varepsilon\) diperkecil bila perlu. Jadi setiap titik prapeta merupakan titik interior, sehingga \(p^{-1}(U)\) terbuka. Ini membuktikan kecukupan dan melengkapi pencirian semua himpunan terbuka kuosien. Topologi ini bukan topologi subruang biasa pada \([0,1)\text{;}\) secara topologis, titik dekat \(1\) juga dekat dengan \(0\text{.}\)
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>