Bagian Kekontinuan dan Himpunan Tertutup
Ingatlah bahwa kita telah menunjukkan bahwa suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\) bersifat kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(O)\) terbuka untuk setiap himpunan terbuka \(O\) di \(Y\text{.}\) Kita mungkin menduga bahwa hasil serupa berlaku untuk himpunan tertutup. Karena himpunan tertutup merupakan komplemen dari himpunan terbuka, untuk membuat hubungan ini kita perlu mengetahui hubungan antara \(X \setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y \setminus B)\) untuk \(B \subset Y\text{.}\)
Kegiatan 10.4.
Misalkan \(f\) diberikan sebagai fungsi. Fungsi \(f\) tersebut memetakan ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\text{,}\) dan misalkan \(B\) suatu subhimpunan dari \(Y\text{.}\)
(a)
Misalkan \(x \in X \setminus f^{-1}(B)\text{.}\)
(i)
Apa yang dapat kita simpulkan tentang \(f(x)\) dari hal ini?
(ii)
Apa yang dapat kita simpulkan tentang hubungan antara \(X \setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y \setminus B)\text{?}\)
(b)
Misalkan \(x \in f^{-1}(Y \setminus B)\text{.}\)
(i)
Apa yang dapat kita simpulkan tentang \(f(x)\) dari hal ini?
(ii)
Apa yang dapat kita simpulkan tentang hubungan antara \(X \setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y \setminus B)\text{?}\)
(c)
Apa hubungan antara \(X \setminus f^{-1}(B)\) dan \(f^{-1}(Y \setminus B)\text{?}\)
Sekarang kita dapat menelaah kekontinuan dan himpunan tertutup.
Kegiatan 10.5.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\text{.}\)
(a)
Andaikan
\(f\) kontinu dan
\(C\) merupakan himpunan tertutup di
\(Y\text{.}\) Bagaimana hasil
Kegiatan 10.4 menunjukkan bahwa
\(f^{-1}(C)\) tertutup di
\(X\text{?}\)
(b)
Sekarang andaikan
\(f^{-1}(C)\) tertutup di
\(X\) untuk setiap
\(C\) yang tertutup di
\(Y\text{.}\) Bagaimana hasil
Kegiatan 10.4 menunjukkan bahwa
\(f\) merupakan fungsi kontinu?
Teorema 10.5.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\text{.}\) Maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(C)\) tertutup di \(X\) untuk setiap himpunan tertutup \(C\) di \(Y\text{.}\)
