Bagian Panduan latihan Bab 13, bagian keenam
Bagian ini memuat tepat prompt latihan terakhir, yaitu prompt 46 menurut peta prompt sumber Bab 13.
Jangkar sumber: prompt 46. Nilai pernyataan \(\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}\) untuk sebarang subhimpunan \(A,B\) dari ruang topologi \(X\text{.}\) Rubrik: buktikan kedua inklusi menggunakan monotonisitas penutupan dan sifat gabungan berhingga himpunan tertutup.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Himpunan \(\overline{A}\cup\overline{B}\) tertutup dan memuat \(A\cup B\text{.}\) Untuk inklusi sebaliknya, gunakan \(A\subseteq A\cup B\) dan \(B\subseteq A\cup B\text{.}\)
Benar. Penutupan dari gabungan dua himpunan sama dengan gabungan kedua penutupannya.
Dari \(A\subseteq A\cup B\) dan \(B\subseteq A\cup B\text{,}\) monotonisitas penutupan memberi \(\overline{A}\subseteq\overline{A\cup B}\) dan \(\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B}\text{.}\) Maka \(\overline{A}\cup\overline{B}\subseteq\overline{A\cup B}\text{.}\)
Sebaliknya, \(\overline{A}\) dan \(\overline{B}\) tertutup, sehingga gabungan berhingga \(\overline{A}\cup\overline{B}\) tertutup. Gabungan ini memuat \(A\cup B\text{.}\) Karena \(\overline{A\cup B}\) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\cup B\text{,}\) diperoleh \(\overline{A\cup B}\subseteq\overline{A}\cup\overline{B}\text{.}\) Kedua inklusi membuktikan kesamaan.
