Definisi 13.1.
Suatu subhimpunan \(C\) dari ruang topologi \(X\) disebut tertutup jika komplemennya, \(X \setminus C\text{,}\) terbuka.
Bagian Pendahuluan
Kita telah mendefinisikan himpunan tertutup di ruang metrik sebagai komplemen dari suatu himpunan terbuka. Karena topologi didefinisikan menggunakan himpunan-himpunan terbuka, definisi yang sama dapat kita gunakan untuk himpunan tertutup dalam ruang topologi. Setelah memiliki definisi himpunan tertutup, kita dapat menanyakan apakah titik limit, batas, dan tutupan dapat didefinisikan dalam ruang topologi, serta apakah gagasan-gagasan ini memiliki sifat-sifat yang bersesuaian di ruang topologi.
Aktivitas Persiapan 13.1.
(a)
Daftarkan semua himpunan tertutup dalam ruang topologi yang diberikan.
(i)
\((X, \tau)\) dengan \(X= \{a,b,c,d\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X \}\text{.}\)
(ii)
\((X, \tau)\) dengan \(X= \{a,b,c,d,e,f\}\) dan \(\tau = \{\emptyset,\{a\}, \{c,d\}, \{a,c,d\}, \{b,c,d,e,f\}, X\}\text{.}\)
(iii)
\((X, \tau)\) dengan \(X = \R\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{0\}, \R\}\text{.}\)
(iv)
\((X, \tau)\) dengan \(X = \{a,b,c\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\},\{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{b,c\}, X \}\text{.}\) (Apa nama topologi ini?)
(v)
\((X, \tau)\) dengan \(X=\Z^+\) dan \(\tau = \{\emptyset, X\}\) (topologi ini disebut topologi indiskret atau trivial).
(b)
Dengan menggunakan contoh-contoh pada bagian (1), temukan (jika mungkin) suatu himpunan yang
(i)
sekaligus tertutup dan terbuka (jika mungkin, temukan yang bukan seluruh ruang ataupun himpunan kosong)
(ii)
tertutup tetapi tidak terbuka
(iii)
terbuka tetapi tidak tertutup
(iv)
tidak terbuka dan tidak tertutup
(c)
Dalam \(\R^n\) dengan metrik Euklides, setiap himpunan beranggota tunggal bersifat tertutup. Apakah sifat ini berlaku dalam ruang topologi \((X, \tau)\text{,}\) dengan \(X = \{a, b, c\}\) dan \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, X\}\text{?}\) Jelaskan.
