Bagian Panduan latihan Bab 16, bagian keempat
Bagian terakhir ini mendampingi enam kemunculan fisik dalam latihan benar-salah. Dua pasangan pertama berulang persis dalam sumber. Karena itu kemunculan pertama dan ketiga memakai panduan kanonis \(d01\text{,}\) sedangkan kemunculan kedua dan keempat memakai panduan kanonis \(d02\text{.}\) Dua prompt terakhir memakai \(d03\) dan \(d04\text{.}\) Semua kemunculan tetap dipertahankan dalam bab utama dan dicatat dalam backend.
Materi pendamping ini ditulis secara terpisah di bawah lisensi CC BY 4.0, bukan materi resmi GVSU, dan tidak menyiratkan dukungan penulis sumber.
Tentukan benar atau salah: jika \(p:X\to Y\) suatu surjeksi dari ruang topologi \(X\) ke himpunan tak kosong \(Y\text{,}\) topologi kuosien pada \(Y\) merupakan topologi terbesar yang membuat \(p\) kontinu. Jelaskan.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Jika \(\sigma\) topologi pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu, uji setiap \(U\in\sigma\) terhadap syarat \(p^{-1}(U)\) terbuka.
Benar. Setiap topologi yang membuat \(p\) kontinu termuat dalam topologi kuosien.
Topologi kuosien adalah \(\tau_p=\{U\subseteq Y:p^{-1}(U)\text{ terbuka dalam }X\}\text{.}\) Definisi ini membuat \(p\) kontinu. Jika \(\sigma\) topologi lain pada \(Y\) dan \(p:(X,\tau)\to(Y,\sigma)\) kontinu, maka untuk setiap \(U\in\sigma\text{,}\) himpunan \(p^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jadi \(U\in\tau_p\text{,}\) sehingga \(\sigma\subseteq\tau_p\text{.}\) Pernyataan itu benar.
Pemeriksaan P.50. Kuosien rasional-irasional pada selang satuan.
Pada \(X=[0,1]\) dengan topologi Euklides, definisikan \(x\sim y\) jika dan hanya jika keduanya rasional atau keduanya irasional. Tentukan benar atau salah: ruang kuosien \(X/\ssim\) adalah ruang dua titik dengan topologi indiskret.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Ada tepat dua kelas ekuivalensi.
Tahap 2. Uji apakah masing-masing kelas itu terbuka dalam \([0,1]\text{.}\)
Benar. Kedua singleton dalam kuosien mempunyai prapeta yang rapat dan tidak terbuka; jadi hanya himpunan kosong dan seluruh ruang yang terbuka.
Kelas-kelasnya adalah \(Q=[0,1]\cap\mathbb{Q}\) dan \(I=[0,1]\setminus\mathbb{Q}\text{.}\) Jadi himpunan kuosien mempunyai dua titik, yakni \(Q\) dan \(I\text{.}\) Menurut definisi topologi kuosien, singleton \(\{Q\}\) terbuka tepat ketika \(Q\) terbuka dalam \([0,1]\text{;}\) hal ini salah karena setiap selang relatif memuat bilangan irasional. Demikian pula \(I\) tidak terbuka karena setiap selang relatif memuat bilangan rasional. Maka tidak ada singleton terbuka. Himpunan kosong dan seluruh kuosien selalu terbuka, sehingga topologinya tepat topologi indiskret.
Pemeriksaan P.51. Citra himpunan terbuka tidak selalu terbuka.
Tentukan benar atau salah: untuk setiap surjeksi kuosien \(p:X\to Y\text{,}\) jika \(U\) terbuka dalam \(X\text{,}\) maka \(p(U)\) terbuka dalam \(Y\text{.}\) Jika salah, berikan contoh tandingan konkret.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Ambil proyeksi kanonis yang menciutkan selang \([0,1]\) dalam \(\R\) menjadi satu titik. Pilih himpunan terbuka yang bertemu sebagian, tetapi tidak seluruh, kelas yang diciutkan.
Salah. Untuk \(p:\R\to\R/[0,1]\) dan \(U=(-1,1/2)\text{,}\) saturasi \(p^{-1}(p(U))=(-1,1]\) tidak terbuka; karena itu \(p(U)\) tidak terbuka dalam kuosien.
Definisikan relasi pada \(\R\) dengan semua titik \([0,1]\) berada dalam satu kelas dan setiap titik lain menjadi kelas singleton. Biarkan \(p:\R\to\R/[0,1]\) proyeksi kanonis; menurut definisi, \(p\) pemetaan kuosien. Himpunan \(U=(-1,1/2)\) terbuka dan bertemu kelas \([0,1]\text{.}\) Karena satu anggota kelas itu masuk \(U\text{,}\) citra \(p(U)\) memuat titik kelas yang diciutkan, sehingga prapetanya memuat seluruh \([0,1]\text{.}\) Tepatnya,
\begin{equation*}
p^{-1}(p(U))=(-1,1].
\end{equation*}
Himpunan ini tidak terbuka dalam \(\R\text{.}\) Menurut kriteria topologi kuosien, \(p(U)\) tidak terbuka. Jadi pemetaan kuosien tidak harus merupakan pemetaan terbuka.
Pemeriksaan P.52. Definisi ruang kuosien dari relasi ekuivalensi.
Tentukan benar atau salah: jika \(\sim\) relasi ekuivalensi pada ruang topologi \(X\text{,}\) maka ruang kuosien \(X/\ssim\) adalah himpunan semua kelas ekuivalensi yang diberi topologi kuosien. Jelaskan tanpa sekadar mengulang istilahnya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tuliskan proyeksi kanonis \(q(x)=[x]\) dan kriteria keterbukaan untuk \(U\subseteq X/\ssim\text{.}\)
Benar. Himpunan dasarnya adalah koleksi kelas \([x]\text{,}\) dan \(U\) didefinisikan terbuka tepat ketika \(q^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Relasi ekuivalensi mempartisi \(X\) menjadi kelas-kelas yang saling lepas. Himpunan semua kelas itu dinotasikan \(X/\ssim\text{.}\) Proyeksi kanonis \(q:X\to X/\ssim\) diberikan oleh \(q(x)=[x]\) dan bersifat surjektif. Topologi kuosien pada himpunan kelas didefinisikan oleh
\begin{equation*}
\tau_q=\{U\subseteq X/\ssim:q^{-1}(U)\text{ terbuka dalam }X\}.
\end{equation*}
Jadi pernyataan itu bukan klaim tambahan, melainkan konstruksi lengkap ruang kuosien: objeknya adalah kelas-kelas dan topologinya adalah topologi terbesar yang membuat proyeksi kanonis kontinu.
