Bagian Topologi Subruang
Dalam aktivitas pratinjau, kita melihat bahwa koleksi irisan antara himpunan-himpunan terbuka dalam suatu ruang topologi \(X\) dan sebarang subhimpunan tak kosong \(A\) dari \(X\) membentuk suatu topologi pada \(A\text{.}\) Dengan topologi tersebut, \(A\) merupakan subruang dari \(X\text{.}\)
Topologi
\(\tau_A\) dalam
Definisi 15.2 disebut
topologi subruang,
topologi terinduksi, atau
topologi relatif. Dalam aktivitas pratinjau, kita melihat bahwa himpunan-himpunan yang terbuka dalam suatu subruang
\(A\) dari ruang topologi
\(X\) belum tentu terbuka dalam
\(X\text{.}\) Oleh karena itu, himpunan-himpunan dalam
\(\tau_A\) kita sebut
terbuka relatif.
Setelah mendefinisikan himpunan terbuka relatif, selanjutnya kita dapat memikirkan cara mendefinisikan himpunan tertutup relatif.
Kegiatan 15.2.
Misalkan \((X, \tau)\) suatu ruang topologi, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Ingat bahwa suatu subhimpunan dari ruang topologi tertutup jika komplemennya terbuka. Karena \((A, \tau_A)\) merupakan ruang topologi, bagaimana himpunan tertutup dalam \(A\) didefinisikan? Himpunan semacam itu akan disebut tertutup relatif.
(b)
Ingat bahwa suatu subhimpunan \(U\) dari \(A\) terbuka relatif jika dan hanya jika \(U = A \cap O\) untuk suatu subhimpunan terbuka dari \(X\text{.}\) Berdasarkan hal ini, bagaimana menurut Anda hubungan antara himpunan tertutup relatif dalam \(A\) dan suatu himpunan tertutup dalam \(X\text{?}\) Nyatakan dan buktikan sebuah teorema yang merumuskan hasil ini.
