Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Pendahuluan

Ruang metrik merupakan contoh khusus ruang topologi. Ruang metrik adalah ruang yang dilengkapi dengan suatu metrik. Metrik adalah fungsi yang mengukur jarak antara titik-titik dalam ruang metrik.
Kita sudah mengenal satu metrik khusus, yaitu metrik Euklides \(d_E\) pada \(\R^2\text{,}\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*} d_E((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}\text{.} \end{equation*}
Gambar dua panel. Panel kiri memperlihatkan ruas garis horizontal yang menghubungkan titik berlabel \((x_1,x_2)\) dan \((y_1,y_2)\text{.}\) Panel kanan memperlihatkan sumbu koordinat dan sebuah lingkaran yang berpusat di titik asal serta memotong sumbu horizontal pada titik berjarak satu satuan dari pusat.
Gambar 3.1. Jarak Euklides antara \((x_1,x_2)\) dan \((y_1,y_2)\text{,}\) serta lingkaran satuan Euklides pada \(\R^2\text{.}\)
Dengan metrik ini, jarak antara dua titik \((x_1,x_2)\) dan \((y_1,y_2)\) adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut, sedangkan lingkaran satuannya (himpunan titik yang berjarak 1 dari titik asal) berbentuk seperti lingkaran yang biasa kita bayangkan, sebagaimana diperlihatkan dalam Gambar 3.1.
Seperti yang akan kita lihat, ada banyak metrik lain yang dapat didefinisikan pada \(\R^n\) ataupun pada himpunan-himpunan lain.

Bukti.

Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan real. Untuk membuktikan lemma ini, kita meninjau beberapa kasus.
Kasus 1: \(a \geq 0\) dan \(b \geq 0\)
Dalam kasus ini, \(a+b\) tak negatif sehingga \(| a | = a\text{,}\) \(| b | = b\text{,}\) dan \(| a+b | = a+b\text{.}\) Dengan demikian,
\begin{equation*} | a+b | = a+b = | a | + | b |\text{.} \end{equation*}
Kasus 2: \(a \leq 0\) dan \(b \leq 0\)
Dalam kasus ini, \(a = -a'\) dan \(b = -b'\text{,}\) dengan \(a'\) dan \(b'\) tak negatif. Berdasarkan Kasus 1,
\begin{align*} | a+b | \amp = | -(a'+b') | = | a'+b' | = a'+b' = | a' | + | b' |\\ \amp = | -a' | + | -b' | = | a | + | b |\text{.} \end{align*}
Kasus 3: Salah satu dari \(a\) atau \(b\) positif dan yang lainnya negatif
Tanpa mengurangi keumuman, kita andaikan \(a \gt 0\) dan \(b \lt 0\text{.}\) Sekali lagi, kita meninjau beberapa kasus. Perhatikan bahwa \(b \lt 0\) mengakibatkan \(a+b \lt a\text{.}\)
  • Andaikan \(b \geq -2a\text{.}\) Maka \(a+b \geq -a\text{,}\) sehingga \(-a \leq a+b \lt a\text{.}\) Akibatnya,
    \begin{equation*} | a+b | \leq a = | a | \lt | a | + | b |\text{.} \end{equation*}
  • Kasus terakhir terjadi ketika \(b \lt -2a\text{.}\) Dalam kasus ini, \(-b \gt 2a\text{,}\) sehingga
    \begin{equation*} | b | = -b \gt 2a = 2| a | \gt | a |\text{.} \end{equation*}
    Maka \(a+b \lt a = | a | \lt | b |\text{.}\) Terakhir, \(a \gt 0\) mengakibatkan \(a+b \gt b = -| b |\text{.}\) Jadi,
    \begin{equation*} - | b | \lt a+b \lt | b | \end{equation*}
    dan
    \begin{equation*} | a+b | \leq | b | \lt | a | + | b |\text{.} \end{equation*}
Ini membuktikan lemma kita untuk setiap pasangan \(a\text{,}\) \(b\text{.}\)

Aktivitas Persiapan 3.1.

Perhatikan fungsi \(d_T\) yang memasangkan setiap pasangan titik dalam \(\R^2\) dengan bilangan real
\begin{equation*} d_T((x_1,x_2),(y_1,y_2)) = | x_1-y_1 | + | x_2-y_2 |\text{.} \end{equation*}
Fungsi \(d_T\) ini kadang-kadang disebut metrik taksi atau jarak taksi karena jarak antara titik \(x\) dan \(y\) dapat dibayangkan sebagai jarak yang ditempuh dengan menyusuri ruas-ruas jalan kota, alih-alih bergerak langsung dari titik \(x\) ke titik \(y\text{.}\)
Setiap fungsi jarak seharusnya memenuhi sifat-sifat tertentu: jarak antara dua titik tidak boleh negatif; jarak dari titik \(A\) ke titik \(B\) harus sama dengan jarak dari titik \(B\) ke titik \(A\text{;}\) jarak terpendek antara titik \(A\) dan \(B\) tidak boleh melebihi jumlah jarak dari \(A\) ke suatu titik \(C\) dan jarak dari \(C\) ke \(B\text{;}\) dan jarak antara dua titik hanya boleh bernilai nol jika kedua titik tersebut sama. Dalam aktivitas ini, kita menentukan apakah \(d_T\) memiliki sifat-sifat tersebut. Misalkan \(x=(x_1,x_2)\) dan \(y=(y_1,y_2)\) berada di dalam \(\R^2\text{.}\)

(a)

Buktikan bahwa \(d_T(x,y) \geq 0\text{.}\)

(b)

Buktikan bahwa \(d_T(x,y) = d_T(y,x)\text{.}\)

(c)

Buktikan bahwa \(d_T(x,y) = 0\) jika dan hanya jika \(x = y\text{.}\)

(d)

Misalkan \(z = (z_1,z_2)\) berada di dalam \(\R^2\text{.}\) Pelajari bukti Lema 3.2, kemudian gunakan Lema 3.2 untuk menunjukkan bahwa
\begin{equation*} d_T(x,y) \leq d_T(x,z) + d_T(z,y)\text{.} \end{equation*}
(Apakah Anda memiliki pertanyaan tentang bukti lemma ini?)

(e)

Ilustrasi jarak taksi \(d_T\) antara titik \((x_1,x_2)\) dan \((y_1,y_2)\) diperlihatkan dalam Gambar 3.3. Gambarlah lingkaran satuan (himpunan titik yang berjarak 1 dari titik asal) menurut metrik taksi. Jelaskan alasan Anda.
Bidang koordinat memperlihatkan dua titik berlabel \((x_1,x_2)\) di kiri bawah dan \((y_1,y_2)\) di kanan atas. Keduanya dihubungkan oleh lintasan berbentuk siku-siku: satu ruas horizontal sepanjang \(|x_1-y_1|\) diikuti satu ruas vertikal sepanjang \(|x_2-y_2|\text{.}\)
Gambar 3.3. Jarak taksi antara \((x_1,x_2)\) dan \((y_1,y_2)\) pada \(\R^2\text{.}\)
Metrik taksi dapat diperluas ke \(\R^n\) untuk setiap \(n \geq 1\) sebagai berikut. Jika \(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada di dalam \(\R^n\text{,}\) maka jarak taksi \(d_T(x,y)\) dari \(x\) ke \(y\) didefinisikan sebagai
\begin{equation*} d_T(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| + \cdots + |x_n-y_n| = \sum_{i=1}^n |x_i-y_i|\text{.} \end{equation*}
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>