Bagian Panduan latihan sumber, bagian keenam
Lima panduan berikut mengikuti latihan topologi Zariski ex_TS_Zariski dalam sec_top_space_exer.ptx, baris sumber 512--579. Setiap panduan adalah komponen pendamping asli berbahasa Indonesia yang diterbitkan di bawah CC BY 4.0. Panduan ini bukan teks, terjemahan resmi, atau jawaban resmi GVSU; pernyataan sumber diringkas hanya untuk memasangkan bantuan belajar dengan tugas yang tepat.
Jangkar sumber: ex_TS_Zariski, tugas pertama (baris sumber 536--542). Deskripsikan \(Z(f)\) dalam \(\R^2\) untuk \(f(x_1,x_2)=x_1^2-1\text{.}\) Rubrik. Selesaikan persamaan nol dan jelaskan peran kedua koordinat secara geometris. Panduan ini adalah materi pendamping asli CC BY 4.0, bukan materi atau solusi resmi GVSU.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Faktorkan \(x_1^2-1\text{.}\)
Tahap 2. Persamaan tersebut tidak membatasi \(x_2\text{.}\)
Tahap 3. Gambarkan setiap nilai yang mungkin untuk \(x_1\) dengan \(x_2\) bebas.
Himpunan nolnya adalah
\begin{equation*}
Z(f)=\{(-1,t)\mid t\in\R\}\cup\{(1,t)\mid t\in\R\}.
\end{equation*}
Jadi \(Z(f)\) merupakan gabungan dua garis vertikal \(x_1=-1\) dan \(x_1=1\text{.}\)
Sebuah titik \((x_1,x_2)\in\R^2\) berada dalam \(Z(f)\) tepat ketika
\begin{equation*}
x_1^2-1=(x_1-1)(x_1+1)=0.
\end{equation*}
Karena \(\R\) tidak mempunyai pembagi nol, kondisi ini ekuivalen dengan \(x_1=1\) atau \(x_1=-1\text{.}\) Variabel \(x_2\) sama sekali tidak muncul dalam persamaan, sehingga nilainya boleh berupa sembarang \(t\in\R\text{.}\) Oleh sebab itu
\begin{equation*}
Z(f)=\{(-1,t):t\in\R\}\cup\{(1,t):t\in\R\},
\end{equation*}
yaitu dua garis vertikal yang sejajar.
Pemeriksaan L.69. Garis nol bersama tiga polinom linear.
Jangkar sumber: ex_TS_Zariski, tugas kedua (baris sumber 543--551). Dalam \(\R^3\text{,}\) deskripsikan \(Z(E)\) untuk
\begin{equation*}
E=\{x_1+x_2+x_3,\ x_1-x_2-x_3,\ 3x_1+x_2+x_3\}.
\end{equation*}
Rubrik. Selesaikan ketiga persamaan secara bersamaan, parametrisasikan seluruh himpunan solusi, dan periksa kembali setiap persamaan. Ini adalah panduan pendamping asli CC BY 4.0, bukan materi atau solusi resmi GVSU.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Jumlahkan persamaan pertama dan kedua untuk menentukan \(x_1\text{.}\)
Tahap 2. Substitusikan nilai itu ke persamaan pertama untuk memperoleh hubungan antara \(x_2\) dan \(x_3\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan satu parameter bebas dan pastikan persamaan ketiga tidak menambahkan syarat baru.
Himpunan nol bersama tersebut adalah garis
\begin{equation*}
Z(E)=\{(0,t,-t)\mid t\in\R\}.
\end{equation*}
Titik \((x_1,x_2,x_3)\) berada dalam \(Z(E)\) tepat ketika memenuhi
\begin{equation*}
x_1+x_2+x_3=0,\qquad
x_1-x_2-x_3=0,\qquad
3x_1+x_2+x_3=0.
\end{equation*}
Menjumlahkan dua persamaan pertama menghasilkan \(2x_1=0\text{,}\) jadi \(x_1=0\text{.}\) Persamaan pertama lalu menjadi \(x_2+x_3=0\text{,}\) atau \(x_3=-x_2\text{.}\)
Tetapkan \(t=x_2\text{.}\) Semua calon solusi berbentuk \((0,t,-t)\text{.}\) Substitusi ke persamaan ketiga memberi \(3(0)+t-t=0\text{,}\) sehingga tidak ada syarat tambahan. Sebaliknya, setiap titik \((0,t,-t)\) membuat ketiga polinom bernilai nol. Dengan demikian, \(Z(E)=\{(0,t,-t)\mid t\in\R\}\text{.}\)
Pemeriksaan L.70. Komplemen himpunan nol sebagai basis.
Jangkar sumber: ex_TS_Zariski, tugas ketiga (baris sumber 552--563). Untuk \(f\in\mathcal P_n\text{,}\) tulis \(D(f)=\R^n\setminus Z(f)\text{.}\) Buktikan bahwa \(\mathcal B=\{D(f)\mid f\in\mathcal P_n\}\) merupakan basis bagi suatu topologi pada \(\R^n\text{.}\) Rubrik. Buktikan bahwa anggota basis mencakup seluruh ruang dan bahwa irisan dua anggota basis memenuhi syarat irisan basis. Panduan ini adalah karya pendamping asli CC BY 4.0, bukan materi atau solusi resmi GVSU.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Hitung himpunan nol polinom konstan \(1\text{.}\)
Tahap 2. Untuk dua polinom \(f,g\text{,}\) sebuah titik gagal berada dalam \(Z(f)\) dan \(Z(g)\) tepat ketika hasil kali \(f(x)g(x)\) tidak nol.
Tahap 3. Simpulkan identitas \(D(f)\cap D(g)=D(fg)\text{;}\) identitas ini lebih kuat daripada syarat irisan yang diminta dalam definisi basis.
Karena \(Z(1)=\emptyset\text{,}\) berlaku \(D(1)=\R^n\text{,}\) sehingga anggota \(\mathcal B\) mencakup seluruh ruang. Selain itu,
\begin{equation*}
D(f)\cap D(g)=D(fg)\in\mathcal B.
\end{equation*}
Jadi \(\mathcal B\) memenuhi kedua aksioma basis.
Polinom konstan \(1\) tidak mempunyai titik nol. Karena itu \(Z(1)=\emptyset\) dan \(D(1)=\R^n\setminus\emptyset=\R^n\text{.}\) Khususnya, setiap titik \(x\in\R^n\) berada dalam setidaknya satu anggota \(\mathcal B\text{.}\)
Ambil \(D(f),D(g)\in\mathcal B\text{.}\) Untuk setiap \(x\in\R^n\text{,}\)
\begin{gather*}
x\in D(f)\cap D(g)\\
\Longleftrightarrow f(x)\neq0\text{ dan }g(x)\neq0\\
\Longleftrightarrow f(x)g(x)\neq0\\
\Longleftrightarrow x\in D(fg).
\end{gather*}
Ekuivalensi tengah menggunakan fakta bahwa \(\R\) tidak mempunyai pembagi nol. Karena \(fg\in\mathcal P_n\text{,}\) himpunan \(D(fg)\) adalah anggota \(\mathcal B\text{.}\) Jadi untuk setiap titik dalam irisan dua anggota basis terdapat anggota basis yang memuat titik itu dan terkandung dalam irisan tersebut; bahkan anggota itu sama dengan seluruh irisan. Maka \(\mathcal B\) merupakan basis bagi topologi Zariski pada \(\R^n\text{.}\)
Pemeriksaan L.71. Sumbu koordinat tidak terbuka secara Zariski.
Jangkar sumber: ex_TS_Zariski, tugas keempat (baris sumber 564--571). Dalam \(\R^2\) dengan topologi Zariski, tentukan apakah
\begin{equation*}
S=\{(x_1,x_2)\in\R^2\mid x_1=0\text{ atau }x_2=0\}
\end{equation*}
terbuka, dan buktikan jawaban Anda. Rubrik. Jangan menyimpulkan “tidak terbuka” hanya karena \(S\) tertutup. Gunakan anggota basis \(D(f)\) di sekitar titik asal dan sifat polinom yang memiliki tak berhingga banyak akar. Panduan ini adalah materi pendamping asli CC BY 4.0, bukan materi atau solusi resmi GVSU.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Andaikan \(S\) terbuka. Karena \((0,0)\in S\) dan himpunan \(D(f)\) membentuk basis, akan ada \(f\) dengan \((0,0)\in D(f)\subseteq S\text{.}\)
Tahap 2. Inklusi tersebut memaksa \(f(x,y)=0\) untuk semua \(x\neq0\) dan \(y\neq0\text{,}\) tetapi \(f(0,0)\neq0\text{.}\)
Tahap 3. Tetapkan dahulu \(y\neq0\) dan pandang \(f(x,y)\) sebagai polinom satu variabel dalam \(x\text{.}\) Setelah itu tetapkan \(x\) dan gunakan argumen yang sama dalam variabel \(y\text{.}\)
Tidak. Jika \(S\) terbuka, suatu lingkungan basis \(D(f)\) dari \((0,0)\) harus terkandung dalam \(S\text{.}\) Hal ini memaksa \(f\) lenyap pada semua titik dengan kedua koordinat tidak nol, sehingga argumen akar polinom satu variabel memaksa \(f\) menjadi polinom nol. Itu bertentangan dengan \((0,0)\in D(f)\text{,}\) yang mensyaratkan \(f(0,0)\neq0\text{.}\)
Andaikan, untuk memperoleh kontradiksi, bahwa \(S\) terbuka. Titik asal berada dalam \(S\text{.}\) Karena himpunan-himpunan \(D(f)\) merupakan basis, terdapat \(f\in\mathcal P_2\) dengan
\begin{equation*}
(0,0)\in D(f)\subseteq S.
\end{equation*}
Keanggotaan pertama berarti \(f(0,0)\neq0\text{.}\) Sementara itu, bila \(x\neq0\) dan \(y\neq0\text{,}\) titik \((x,y)\) tidak berada pada salah satu sumbu, sehingga \((x,y)\notin S\) dan karenanya \((x,y)\notin D(f)\text{.}\) Jadi \(f(x,y)=0\) untuk semua \(x\neq0\) dan \(y\neq0\text{.}\)
Tetapkan sembarang \(y_0\neq0\text{.}\) Polinom satu variabel \(p_{y_0}(x)=f(x,y_0)\) bernilai nol untuk setiap \(x\in\R\setminus\{0\}\text{.}\) Karena polinom satu variabel tak nol hanya mempunyai berhingga banyak akar, \(p_{y_0}\) harus merupakan polinom nol. Maka \(f(x,y_0)=0\) untuk setiap \(x\in\R\) dan setiap \(y_0\neq0\text{.}\)
Sekarang tetapkan sembarang \(x_0\in\R\text{.}\) Polinom satu variabel \(q_{x_0}(y)=f(x_0,y)\) bernilai nol untuk semua \(y\neq0\text{,}\) sehingga ia juga polinom nol. Khususnya \(f(x_0,0)=0\text{.}\) Karena \(x_0\) sebarang, \(f\) bernilai nol di seluruh \(\R^2\text{,}\) termasuk \(f(0,0)=0\text{.}\) Ini bertentangan dengan \(f(0,0)\neq0\text{.}\) Jadi \(S\) tidak terbuka dalam topologi Zariski. Fakta tambahan bahwa \(S=Z(x_1x_2)\) memang menunjukkan bahwa \(S\) tertutup, tetapi fakta itu sendiri bukan alasan ketidakterbukaannya.
Pemeriksaan L.72. Topologi Zariski pada garis adalah topologi kofinit.
Jangkar sumber: ex_TS_Zariski, tugas kelima (baris sumber 572--579). Buktikan bahwa topologi Zariski pada \(\R\) sama dengan topologi kofinit: setiap himpunan terbuka Zariski harus terbuka kofinit dan sebaliknya. Rubrik. Tangani polinom nol, polinom tak nol, himpunan terbuka kosong, dan komplemen berhingga sebarang. Panduan ini adalah karya pendamping asli CC BY 4.0, bukan materi atau solusi resmi GVSU.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Himpunan nol polinom satu variabel tak nol di \(\R\) berhingga, sedangkan \(D(0)=\emptyset\text{.}\)
Tahap 2. Gabungan tak kosong dari himpunan-himpunan kofinit tetap kofinit karena komplemen gabungan terkandung dalam komplemen salah satu sukunya.
Tahap 3. Jika \(F\subseteq\R\) berhingga, bangun polinom yang himpunan akarnya tepat \(F\) dengan mengalikan faktor \(x-a\) untuk \(a\in F\text{.}\)
Setiap anggota basis Zariski \(D(f)\) adalah kosong bila \(f=0\text{,}\) atau mempunyai komplemen berhingga bila \(f\neq0\text{.}\) Sebaliknya, untuk setiap himpunan berhingga \(F\subseteq\R\text{,}\) polinom \(p_F(x)=\prod_{a\in F}(x-a)\) memenuhi \(\R\setminus F=D(p_F)\text{.}\) Karena itu kedua koleksi himpunan terbuka sama.
Mula-mula ambil anggota basis Zariski \(D(f)\text{.}\) Jika \(f\) adalah polinom nol, maka \(Z(f)=\R\) dan \(D(f)=\emptyset\text{.}\) Jika \(f\) tak nol, teorema akar polinom satu variabel menyatakan bahwa \(Z(f)\) berhingga, sehingga \(D(f)=\R\setminus Z(f)\) bersifat kofinit.
Himpunan terbuka Zariski adalah gabungan anggota-anggota basis itu. Gabungan kosong adalah \(\emptyset\text{.}\) Jika sebuah gabungan tidak kosong, pilih satu anggota basis tak kosong \(D(f_0)\) di dalam gabungan tersebut. Komplemen seluruh gabungan terkandung dalam \(\R\setminus D(f_0)=Z(f_0)\text{,}\) yang berhingga. Jadi setiap himpunan terbuka Zariski adalah kosong atau kofinit, dan karenanya terbuka dalam topologi kofinit.
Sebaliknya, misalkan \(U\) terbuka kofinit. Kasus \(U=\emptyset\) sudah diberikan oleh \(D(0)\text{.}\) Jika \(U=\R\setminus F\) untuk suatu himpunan berhingga \(F\text{,}\) definisikan
\begin{equation*}
p_F(x)=\prod_{a\in F}(x-a).
\end{equation*}
Bila \(F=\emptyset\text{,}\) hasil kali kosong adalah \(1\) dan \(D(p_F)=\R\text{.}\) Bila \(F\) tak kosong, tepat titik-titik \(a\in F\) yang menjadi akar \(p_F\text{,}\) sehingga \(Z(p_F)=F\) dan \(D(p_F)=\R\setminus F=U\text{.}\) Jadi setiap himpunan terbuka kofinit adalah terbuka Zariski. Kedua topologi tersebut sama.
