Bagian Kekontinuan dan Himpunan Terbuka
Ingatlah bahwa kita telah menunjukkan bahwa suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a \in X\) setiap kali \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Kini kita dapat memberikan pencirian lain bagi fungsi kontinu dalam kaitannya dengan himpunan terbuka. Pencirian inilah yang akan menjadi definisi kekontinuan kita dalam ruang topologi.
Teorema 8.5.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\text{.}\) Maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\) setiap kali \(O\) merupakan himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi. Untuk membuktikan pernyataan bikondisional ini, kita perlu membuktikan kedua implikasinya. Pertama, asumsikan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu. Kita harus menunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\) untuk setiap himpunan terbuka \(O\) dalam \(Y\text{.}\) Jadi, misalkan \(O\) suatu himpunan terbuka dalam \(Y\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) terbuka dalam \(X\text{,}\) kita akan menunjukkan bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya. Misalkan \(a \in f^{-1}(O)\text{.}\) Maka \(f(a) \in O\text{.}\) Karena \(O\) merupakan himpunan terbuka, terdapat bola terbuka \(B(f(a), \epsilon)\) di sekitar \(f(a)\) yang seluruhnya termuat dalam \(O\text{.}\) Karena \(B(f(a), \epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{,}\) kita mengetahui bahwa \(f^{-1}(B(f(a), \epsilon))\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\) Jadi, terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(B(f(a), \epsilon))\text{.}\) Selanjutnya, \(f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \epsilon) \subseteq O\text{,}\) sehingga \(B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(O)\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa \(f^{-1}(O)\) merupakan lingkungan bagi setiap titiknya dan karena itu merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{.}\)
Pembuktian implikasi sebaliknya diserahkan kepada aktivitas berikut.
Kegiatan 8.5.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\text{.}\)
(a)
Asumsi apa yang kita buat untuk membuktikan implikasi yang tersisa dari
Teorema 8.5? Apa yang perlu kita tunjukkan untuk membuktikan kesimpulannya?
(b)
Misalkan \(a \in X\text{,}\) dan misalkan \(N\) suatu lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Mengapa terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(f(a), \epsilon) \subseteq N\text{?}\)
(c)
Apa yang dinyatakan oleh hipotesis kita mengenai \(f^{-1}(B(f(a), \epsilon))\) dalam \(X\text{?}\)
(d)
Mengapa \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{?}\) Bagaimana hal ini menunjukkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu?
Ingatlah bahwa setiap himpunan terbuka merupakan gabungan bola-bola terbuka. Jadi, kita dapat menyederhanakan pembuktian kekontinuan fungsi dalam ruang metrik dengan hanya menggunakan bola terbuka alih-alih himpunan terbuka sebarang. Aktivitas berikut memberikan perinciannya.
Dalam aktivitas berikut, kita membuktikan akibat berikut dari
Teorema 8.5.
Corollary 8.6.
Suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X,d_X)\) ke ruang metrik \((Y,d_Y)\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(B)\) terbuka dalam \(X\) setiap kali \(B\) merupakan bola terbuka dalam \(Y\text{.}\)
Kegiatan 8.6.
Untuk menyiapkan pembuktiannya, misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f: X \to Y\) suatu fungsi.
(a)
Karena akibat ini merupakan pernyataan bikondisional, kita perlu membuktikan kedua implikasinya. Pertama, asumsikan bahwa
\(f\) kontinu. Gunakan
Teorema 8.5 untuk menjelaskan mengapa
\(f^{-1}(B)\) terbuka dalam
\(X\) setiap kali
\(B\) merupakan bola terbuka dalam
\(Y\text{.}\)
(b)
Untuk implikasi yang tersisa, asumsikan bahwa
\(f^{-1}(B)\) merupakan himpunan terbuka dalam
\(X\) untuk setiap bola terbuka
\(B\) dalam
\(Y\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa
\(f\) merupakan fungsi kontinu, kita akan menggunakan
Teorema 8.5 dan menunjukkan bahwa
\(f^{-1}(O)\) terbuka dalam
\(X\) setiap kali
\(O\) merupakan himpunan terbuka dalam
\(Y\text{.}\) Jadi, misalkan
\(O\) suatu himpunan terbuka dalam
\(Y\text{.}\)
(i)
Apa yang dinyatakan oleh
Teorema 8.3 mengenai
\(O\text{?}\)
(ii)
Ingatlah bahwa
Lema 2.11 menyatakan bahwa jika
\(\{B_{\beta}\}\) merupakan koleksi subhimpunan dari
\(Y\) untuk
\(\beta\) dalam suatu himpunan indeks
\(J\text{,}\) maka
\begin{equation*}
f^{-1}\left(\bigcup_{\beta \in J} B_{\beta}\right) = \bigcup_{\beta \in J} f^{-1}(B_{\beta})\text{.}
\end{equation*}
Gunakan
Lema 2.11 untuk menunjukkan bahwa
\(f^{-1}(O)\) terbuka dalam
\(X\) dan simpulkan bahwa
\(f\) merupakan fungsi kontinu.
Contoh 8.7.
Sebagai contoh penerapan
Corollary 8.6, kita membuktikan bahwa fungsi kuadrat dari
\(\R\) ke
\(\R\) merupakan fungsi kontinu. Misalkan
\(X = \R\) dengan metrik Euklides
\(d_E\text{,}\) dan misalkan
\(f: X \to X\) didefinisikan oleh
\(f(x) = x^2\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa
\(f\) merupakan fungsi kontinu dengan memverifikasi bahwa
\(f^{-1}(B)\) terbuka dalam
\(X\) untuk setiap bola terbuka
\(B\) dalam
\(X\text{.}\) Misalkan
\(B = B(b,\beta) = (b-\beta,
b+\beta)\) suatu bola terbuka dalam
\(X\text{.}\) Misalkan
\(B' = B(b,\beta) \cap (\R^+ \cup \{0\})\text{.}\) Kita meninjau beberapa kasus.
Misalkan \(B' = \emptyset\text{.}\) Maka \(f^{-1}(B) = \emptyset\) dan \(f^{-1}(B)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Misalkan \(B' = [0, b+\beta)\text{.}\) Maka \(f^{-1}(B) = (-\sqrt{b+\beta}, \sqrt{b+\beta})\) dan \(f^{-1}(B)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Kasus terakhir adalah \(B' = (b-\beta, b+\beta)\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
f^{-1}(B) = (-\sqrt{b+\beta}, -\sqrt{b-\beta}) \cup (\sqrt{b-\beta}, \sqrt{b+\beta})
\end{equation*}
dan \(f^{-1}(B)\) terbuka dalam \(X\text{.}\)
Karena prapeta setiap bola terbuka merupakan himpunan terbuka, kita menyimpulkan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu.
