Kegiatan 10.2.
Misalkan \(X\) ruang metrik.
(a)
Apakah \(\emptyset\) tertutup di \(X\text{?}\) Jelaskan.
(b)
Apakah \(X\) tertutup di \(X\text{?}\) Jelaskan.
Bagian Himpunan Tertutup di Ruang Metrik
Ingat bahwa Definisi 10.1 mendefinisikan himpunan tertutup di ruang metrik sebagai himpunan yang komplemennya terbuka. Kita telah melihat bahwa \(\emptyset\) dan \(X\) keduanya merupakan subhimpunan terbuka dari \(X\text{.}\) Sekarang kita mengajukan pertanyaan yang sama, kali ini dalam kaitannya dengan himpunan tertutup.
Perhatikan bahwa suatu subhimpunan ruang metrik dapat sekaligus terbuka dan tertutup. Kita menyebut himpunan seperti itu terbuka-tertutup (karena sekaligus tertutup dan terbuka). Ketika membahas himpunan terbuka, kita melihat bahwa gabungan sebarang himpunan terbuka bersifat terbuka, tetapi irisan sebarang himpunan terbuka belum tentu terbuka (meskipun irisan berhingga himpunan terbuka bersifat terbuka). Karena himpunan tertutup merupakan komplemen himpunan terbuka, kita patut mengharapkan hasil serupa bagi himpunan tertutup.
Kegiatan 10.3.
Misalkan \(X = \R\) dengan metrik Euklides. Misalkan \(A_n = \left[\frac{1}{n}, 1-\frac{1}{n}\right]\) untuk setiap \(n \in \Z^+\text{,}\) \(n \geq 2\text{.}\)
(a)
Tentukan \(\bigcup_{n \geq 2} A_n\text{.}\) Bukti tidak diperlukan.
(b)
Apakah \(\bigcup_{n \geq 2} A_n\) tertutup di \(\R\text{?}\) Jelaskan.
Kegiatan 10.3 menunjukkan bahwa gabungan sebarang himpunan tertutup belum tentu tertutup. Namun, teorema berikut menjelaskan apa yang dapat kita simpulkan tentang gabungan dan irisan himpunan tertutup. Hasil-hasil ini semestinya tidak mengejutkan mengingat hubungan antara himpunan terbuka dan himpunan tertutup.
Teorema 10.4.
Misalkan \(X\) ruang metrik.
- Irisan sebarang keluarga himpunan tertutup di \(X\) merupakan himpunan tertutup di \(X\text{.}\)
- Gabungan berhingga himpunan tertutup di \(X\) merupakan himpunan tertutup di \(X\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(X\) ruang metrik. Untuk membuktikan bagian 1, andaikan bahwa \(\{C_{\alpha}\}\) merupakan koleksi himpunan tertutup di \(X\) untuk \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{.}\) Hukum De Morgan menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
X \setminus \bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha} = \bigcup_{\alpha \in I} X \setminus C_{\alpha}\text{.}
\end{equation*}
Ruas terakhir merupakan gabungan sebarang himpunan terbuka dan karenanya merupakan himpunan terbuka. Jadi, berdasarkan definisi, \(\bigcap_{\alpha \in I} C_{\alpha}\) merupakan himpunan tertutup.
Untuk bagian 2, andaikan bahwa \(C_1\text{,}\) \(C_2\text{,}\) \(\ldots\text{,}\) \(C_n\) merupakan himpunan tertutup di \(X\) untuk suatu \(n \in \Z^+\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(C = \bigcup_{k=1}^n C_k\) merupakan himpunan tertutup, kita akan menunjukkan bahwa \(X \setminus C\) merupakan himpunan terbuka. Sekarang
\begin{equation*}
X \setminus \bigcup_{i=1}^n C_{i} = \bigcap_{i=1}^n X \setminus C_{i}
\end{equation*}
merupakan irisan berhingga himpunan terbuka, sehingga merupakan himpunan terbuka. Oleh karena itu, \(\bigcup_{i=1}^n C_{i}\) merupakan himpunan tertutup.
