Bagian Titik Limit, Titik Batas, Titik Terasing, dan Barisan
Ingatlah bahwa titik limit dari suatu subhimpunan \(A\) dari ruang metrik \(X\) adalah titik \(x \in X\) sedemikian sehingga setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\) Anda mungkin bertanya-tanya mengapa kata “limit” digunakan dalam definisi titik limit. Kegiatan berikut akan memperjelas hal ini.
Kegiatan 10.6.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{,}\) dan misalkan \(x\) suatu titik limit dari \(A\text{.}\)
(a)
Misalkan \(n \in \Z^+\text{.}\) Jelaskan mengapa \(B\left(x, \frac{1}{n}\right)\) harus memuat suatu titik \(a_n\) di \(A\) yang berbeda dari \(x\text{.}\)
(b)
Berapakah \(\lim a_n\text{?}\) Mengapa?
Teorema 10.6.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{,}\) dan misalkan \(x\) suatu titik limit dari \(A\text{.}\) Maka terdapat suatu barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(x\text{.}\)
Tentu saja, barisan konstan \((a)\) selalu konvergen ke titik \(a\text{,}\) sehingga setiap titik dalam suatu himpunan \(A\) merupakan limit dari suatu barisan. Untuk titik limit, terdapat barisan tak konstan yang konvergen ke titik tersebut. Kita dapat menanyakan apa yang dapat dikatakan tentang suatu titik \(a \in A\) jika setiap barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a \in A\) pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\) (Yang dimaksud dengan barisan \((a_n)\) yang pada akhirnya konstan adalah terdapat bilangan bulat positif \(K\) sedemikian sehingga untuk \(k \geq K\text{,}\) berlaku \(a_k = a\) untuk suatu unsur \(a\text{.}\)) Hal inilah yang akan kita telaah dalam kegiatan berikut.
Kegiatan 10.7.
Misalkan \((X,d)\) suatu ruang metrik, dan misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\)
(a)
Misalkan \(a\) suatu titik terasing dari \(A\text{.}\) Buktikan bahwa setiap barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a\) pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{.}\)
(b)
Buktikan bahwa jika setiap barisan di \(A\) yang konvergen ke \(a\) pada akhirnya sama dengan barisan konstan \((a)\text{,}\) maka \(a\) merupakan titik terasing dari \(A\text{.}\)
Titik batas adalah titik yang, dalam arti tertentu, terletak “di antara” suatu himpunan dan komplemennya. Kita akan segera membuat gagasan “di antara” ini lebih konkret.
Argumen yang serupa dengan argumen dalam
Kegiatan 10.6 memberikan hasil berikut tentang titik batas.
Teorema 10.7.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik, misalkan \(A\) suatu subhimpunan dari \(X\text{,}\) dan misalkan \(b\) suatu titik batas dari \(A\text{.}\) Maka terdapat barisan \((x_n)\) di \(X \setminus A\) dan barisan \((a_n)\) di \(A\) yang konvergen ke \(b\text{.}\)
