Kegiatan 8.2.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik.
(a)
Apakah \(\emptyset\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{?}\) Jelaskan.
(b)
Apakah \(X\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X\text{?}\) Jelaskan.
Bagian Himpunan Terbuka
Himpunan terbuka sangat penting dalam topologi. Bahkan, nanti kita akan melihat bahwa setiap ruang topologi sepenuhnya ditentukan oleh himpunan-himpunan terbukanya. Ingat bahwa bola terbuka merupakan himpunan terbuka. Ada subhimpunan lain yang terdapat dalam setiap ruang metrik, dan kita dapat menanyakan apakah subhimpunan tersebut terbuka atau tidak.
Kita telah mendefinisikan bola terbuka, dan bola terbuka merupakan contoh utama himpunan terbuka. Bahkan, seperti yang ditunjukkan oleh teorema berikut, bola-bola terbuka menentukan himpunan-himpunan terbuka.
Teorema 8.3.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik. Suatu subhimpunan \(O\) dari \(X\) terbuka jika dan hanya jika \(O\) merupakan gabungan bola-bola terbuka.
Bukti.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik dan \(O\) suatu subhimpunan dari \(X\text{.}\) Untuk membuktikan pernyataan bikondisional ini, pertama-tama kita mengasumsikan bahwa \(O\) merupakan himpunan terbuka dan menunjukkan bahwa \(O\) merupakan gabungan bola-bola terbuka. Misalkan \(a \in O\text{.}\) Karena \(O\) terbuka, terdapat \(\epsilon_a \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(a, \epsilon_a) \subseteq O\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa
\begin{equation*}
O = \bigcup_{a \in O} B(a, \epsilon_a)\text{.}
\end{equation*}
Berdasarkan cara kita memilih \(\epsilon_a\text{,}\) \(B(a, \epsilon_a) \subseteq O\) untuk setiap \(a \in O\text{.}\) Jadi, \(\bigcup_{a \in O} B(a, \epsilon_a) \subseteq O\text{.}\) Untuk inklusi sebaliknya, misalkan \(x \in O\text{.}\) Kemudian \(x \in B(x, \epsilon_x)\text{,}\) sehingga \(x \in \bigcup_{a \in O} B(a, \epsilon_a)\text{.}\) Dengan demikian, \(O \subseteq \bigcup_{a \in O} B(a, \epsilon_a)\text{.}\) Kita menyimpulkan bahwa jika \(O\) merupakan himpunan terbuka, maka \(O\) merupakan gabungan bola-bola terbuka.
Arah sebaliknya akan Anda buktikan dalam aktivitas berikut.
Kegiatan 8.3.
Misalkan \(X\) suatu ruang metrik. Untuk membuktikan implikasi yang tersisa dari Teorema 8.3, asumsikan bahwa suatu subhimpunan \(O\) dari \(X\) merupakan gabungan bola-bola terbuka.
(a)
Apa yang perlu kita tunjukkan untuk membuktikan bahwa \(O\) merupakan himpunan terbuka?
(b)
Misalkan \(x \in O\text{.}\) Mengapa terdapat bola terbuka \(B\) yang termuat dalam \(O\) dan memuat \(x\text{?}\)
(c)
Lengkapi bukti untuk menunjukkan bahwa \(O\) merupakan himpunan terbuka.
Teorema 8.3 menyatakan bahwa setiap himpunan terbuka tersusun dari bola-bola terbuka, sehingga bola-bola terbuka menghasilkan semua himpunan terbuka, seperti halnya basis suatu ruang vektor dalam aljabar linear menghasilkan semua unsur ruang vektor tersebut. Karena itu, kita menyebut himpunan semua bola terbuka dalam suatu ruang metrik sebagai basis bagi himpunan-himpunan terbuka ruang metrik tersebut. Kita akan membahas gagasan ini secara lebih terperinci dalam bagian selanjutnya.
