Bagian Hasil Kali Ruang Metrik
Jika kita memiliki dua ruang metrik \((X_1, d_1)\) dan \((X_2 ,d_2)\text{,}\) kita mungkin bertanya apakah himpunan \(X_1 \times X_2\) dapat dijadikan ruang metrik. Pendekatan yang wajar adalah mendefinisikan fungsi \(d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \R\) dengan
\begin{equation*}
d((x,y),(u,v)) = d_1(x,u)d_2(y,v)
\end{equation*}
untuk \((x,y)\) dan \((u,v)\) dalam \(X_1 \times X_2\text{.}\) Namun, \(d\) ini tidak mendefinisikan suatu metrik. Sebagai contoh, jika \(x \in X_1\) dan \(y \neq v\) dalam \(X_2\text{,}\) maka \(d((x,y),(x,v)) = 0\) meskipun \((x,y) \neq (x,v)\text{.}\) Untuk membentuk suatu metrik, kita dapat mengambil petunjuk dari metrik Euklides pada \(\R \times \R\text{.}\) Pada \(\R\text{,}\) metrik tersebut berbentuk \(d_1(x,y) = |x-y|\text{,}\) sedangkan pada \(\R^2\) metriknya adalah
\begin{align*}
d_E((x_1,x_2), (y_1,y_2)) \amp = \sqrt{ (x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2}\\
\amp = \sqrt{d_1(x_1,y_1)^2 + d_1(x_2,y_2)^2}\text{.}
\end{align*}
Jadi, pada \((X_1, d_1)\) dan \((X_2 ,d_2)\) kita dapat mempertimbangkan untuk mendefinisikan \(d : (X_1 \times X_2) \times (X_1 \times X_2) \to \R\) dengan
\begin{equation}
d((x_1,x_2), (y_1,y_2)) = \sqrt{ d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2}\text{.}\tag{11.1}
\end{equation}
Kegiatan 11.4.
Dalam aktivitas ini, kita memverifikasi beberapa sifat yang menjadikan
\(d\text{,}\) sebagaimana didefinisikan dalam
(11.1), suatu metrik. Misalkan
\(x=(x_1,x_2)\) dan
\(y=(y_1,y_2)\) berada dalam
\(X_1 \times X_2\)
(a)
Jelaskan mengapa \(d(x,y)\) lebih besar daripada atau sama dengan \(0\text{.}\)
(b)
Jelaskan mengapa \(d(x,y) = d(y,x)\text{.}\)
(c)
Jelaskan mengapa \(d(x,y) = 0\) jika dan hanya jika \(x = y\text{.}\)
Kegiatan 11.4 memberikan tiga dari empat sifat yang diperlukan untuk membuktikan bahwa
\(d\text{,}\) sebagaimana didefinisikan dalam
(11.1), merupakan suatu metrik. Sekarang kita memverifikasi sifat terakhir, yaitu pertidaksamaan segitiga.
Misalkan
\(x\) dan
\(y\) didefinisikan seperti dalam
Kegiatan 11.4, dan misalkan
\(z = (z_1, z_2)\) berada dalam
\(X_1 \times X_2\text{.}\) Maka
\begin{align*}
d(x,z)^2 \amp = d_1(x_1,z_1)^2 + d_2(x_2,z_2)^2 \\
\amp \leq \left(d_1(x_1,y_1) + d_1(y_1,z_1)\right)^2 + \left(d_2(x_2,y_2) + d_2(y_2,z_2)\right)^2 \\
\amp = \left(d_1(x_1,y_1)^2 + d_2(x_2,y_2)^2\right) + 2\left(d_1(x_1,y_1)d_1(y_1,z_1) + d_2(x_2,y_2)d_2(y_2,z_2) \right) \\
\amp \qquad + \left(d_1(y_1,z_1)^2 + d_2(y_2,z_2)^2\right)\\
\amp = d(x,y)^2 + 2\left(d_1(x_1,y_1)d_1(y_1,z_1) + d_2(x_2,y_2)d_2(y_2,z_2)\right) + d(y,z)^2 \\
\amp \leq d(x,y)^2 + 2d(x,y)d(y,z) + d(y,z)^2\text{.}
\end{align*}
Pertidaksamaan terakhir mengikuti dari pertidaksamaan Cauchy–Schwarz yang diterapkan pada pasangan jarak koordinat. Karena semua suku tak negatif, kita menyimpulkan bahwa
\begin{align*}
d(x,z) \amp \leq \sqrt{d(x,y)^2 + 2 d(x,y)d(y,z) + d(y,z)^2} \\
\amp = \sqrt{\left(d(x,y)+d(y,z)\right)^2} \\
\amp = d(x,y) + d(y,z)\text{.}
\end{align*}
Kita menyimpulkan bahwa
\(d\text{,}\) sebagaimana didefinisikan dalam
(11.1), merupakan suatu metrik pada
\(X_1 \times X_2\text{.}\) Dengan demikian, kita dapat menjadikan hasil kali sebarang dua ruang metrik sebagai ruang metrik.
Dalam aktivitas berikutnya, kita meninjau hasil kali bola-bola terbuka dan himpunan-himpunan terbuka dalam hasil kali ruang metrik.
Kegiatan 11.5.
Misalkan \(X_1 = [1,2]\) dan \(X_2 = [3,4]\) sebagai subruang dari \(\R\) dengan menggunakan metrik Euklides.
(a)
Jelaskan secara terperinci seperti apa ruang hasil kali \(X_1 \times X_2\text{.}\)
(b)
Jika \(B_1\) merupakan bola terbuka dalam \(X_1\) dan \(B_2\) merupakan bola terbuka dalam \(X_2\text{,}\) apakah \(B_1 \times B_2\) merupakan bola terbuka dalam \(X_1 \times X_2\text{?}\) Jelaskan.
(c)
Jika \(B_1\) merupakan bola terbuka dalam \(X_1\) dan \(B_2\) merupakan bola terbuka dalam \(X_2\text{,}\) apakah \(B_1 \times B_2\) merupakan himpunan terbuka dalam \(X_1 \times X_2\text{?}\) Jelaskan.
(d)
Jika mungkin, temukan suatu subhimpunan terbuka dari \(X_1 \times X_2\) yang tidak berbentuk \(O_1 \times O_2\text{,}\) dengan \(O_1\) terbuka dalam \(X_1\) dan \(O_2\) terbuka dalam \(X_2\text{.}\)
Kegiatan 11.5 menunjukkan bahwa himpunan-himpunan terbuka dalam suatu hasil kali lebih rumit daripada sekadar hasil kali himpunan-himpunan terbuka dalam ruang-ruang faktornya. Kita akan kembali membahas hasil kali ketika meninjau ruang topologi nanti.
Kita menutup bagian ini dengan satu komentar terakhir mengenai hasil kali. Kita dapat menjadikan hasil kali Kartesius dari sebarang banyaknya ruang metrik yang berhingga sebagai ruang metrik dengan konstruksi yang sama seperti yang kita gunakan untuk hasil kali dua ruang.
Definisi 11.4.
Misalkan \((X_i, d_i)\) merupakan ruang metrik untuk \(i\) dari \(1\) sampai suatu bilangan bulat positif \(n\text{.}\) Ruang metrik hasil kali \((X,d)\) adalah hasil kali Kartesius
\begin{equation*}
X = X_1 \times X_2 \times \cdots \times X_n = \prod_{i=1}^n X_i
\end{equation*}
dengan metrik \(d\) yang didefinisikan oleh
\begin{equation*}
d(x,y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n d_i(x_i,y_i)^2}
\end{equation*}
apabila \(x = (x_1, x_2, \ldots,
x_n)\) dan \(y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)\) berada dalam \(X\text{.}\)
Metrik
\(d\) disebut
metrik hasil kali, sedangkan ruang-ruang
\((X_i,d_i)\) disebut ruang
koordinat atau ruang
faktor dari
\((X,d)\text{.}\) Pembuktian bahwa
\(d\) merupakan suatu metrik pada dasarnya sama seperti dalam kasus
\(n=2\text{,}\) dan diserahkan kepada
Latihan 6.
