Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Panduan latihan sumber, bagian kedua

Dua belas panduan berikut berkorespondensi dengan perintah ke-13 sampai ke-24 pada bagian latihan Bab 7 menurut urutan kedalaman sumber. Materi pendamping ini merupakan uraian asli untuk pembelajaran mandiri, bukan jawaban yang disediakan oleh penulis karya sumber.
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dan \(a\in X\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat suatu lingkungan yang memuat \(a\text{.}\) Rubrik. Berikan satu himpunan konkret, tunjukkan bahwa himpunan itu memuat bola terbuka berpusat di \(a\text{,}\) dan periksa bahwa \(a\) sendiri berada di dalamnya.
Petunjuk.
Bola terbuka \(B(a,1)\) memuat dirinya sendiri dan selalu memuat pusat \(a\text{.}\)
Jawaban.
Himpunan \(B(a,1)\) adalah lingkungan dari \(a\) yang memuat \(a\text{.}\)
Solusi.
Ambil \(N=B(a,1)\text{.}\) Karena \(B(a,1)\subseteq N\text{,}\) definisi lingkungan langsung menunjukkan bahwa \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Selain itu, \(d(a,a)=0\lt1\text{,}\) sehingga \(a\in B(a,1)=N\text{.}\) Jadi lingkungan yang diminta selalu ada.
Misalkan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\) dan \(N\subseteq M\text{.}\) Buktikan bahwa \(M\) juga merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Mulailah dari bola yang dijamin oleh definisi lingkungan bagi \(N\text{,}\) lalu gunakan transitivitas inklusi.
Petunjuk.
Ada \(\delta\gt0\) dengan \(B(a,\delta)\subseteq N\text{.}\) Gabungkan inklusi ini dengan \(N\subseteq M\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Bola yang membuktikan bahwa \(N\) merupakan lingkungan juga termuat dalam \(M\text{.}\)
Solusi.
Karena \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) terdapat \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(B(a,\delta)\subseteq N\text{.}\) Hipotesis \(N\subseteq M\) kemudian memberi
\begin{equation*} B(a,\delta)\subseteq N\subseteq M. \end{equation*}
Jadi \(M\) memuat sebuah bola terbuka berpusat di \(a\text{.}\) Menurut definisi, \(M\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Misalkan \(M\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Buktikan bahwa \(M\cap N\) juga merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Nyatakan radius yang disediakan oleh masing-masing lingkungan dan gabungkan keduanya dengan operasi minimum.
Petunjuk.
Jika \(B(a,r_M)\subseteq M\) dan \(B(a,r_N)\subseteq N\text{,}\) pilih \(r=\min\{r_M,r_N\}\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Bola \(B(a,\min\{r_M,r_N\})\) termuat dalam \(M\cap N\text{.}\)
Solusi.
Karena \(M\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) terdapat \(r_M,r_N\gt0\) dengan \(B(a,r_M)\subseteq M\) dan \(B(a,r_N)\subseteq N\text{.}\) Tetapkan \(r=\min\{r_M,r_N\}\text{,}\) yang tetap positif. Jika \(x\in B(a,r)\text{,}\) maka \(d(x,a)\lt r\leq r_M\) dan \(d(x,a)\lt r\leq r_N\text{.}\) Jadi \(x\in M\) dan \(x\in N\text{,}\) sehingga \(B(a,r)\subseteq M\cap N\text{.}\) Maka irisan tersebut merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Misalkan \(f:(\R,d_E)\to(\R,d_E)\) kontinu dan \(f(a)\gt0\) untuk suatu \(a\in\R\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat lingkungan \(N\) dari \(a\) sedemikian sehingga \(f(x)\gt0\) untuk semua \(x\in N\text{.}\) Rubrik. Pilih toleransi keluaran sebagai fraksi eksplisit dari \(f(a)\) dan turunkan batas bawah positif bagi \(f(x)\text{.}\)
Petunjuk.
Terapkan kekontinuan di \(a\) dengan \(\epsilon=f(a)/2\text{.}\)
Jawaban.
Ambil \(\epsilon=f(a)/2\text{.}\) Radius kekontinuan yang sesuai menghasilkan lingkungan \(N=B(a,\delta)\) dengan \(f(x)\gt f(a)/2\gt0\) bagi semua \(x\in N\text{.}\)
Solusi.
Karena \(f(a)\gt0\text{,}\) bilangan \(\epsilon=f(a)/2\) positif. Kekontinuan \(f\) di \(a\) memberikan \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(|x-a|\lt\delta\) mengakibatkan \(|f(x)-f(a)|\lt f(a)/2\text{.}\) Tetapkan \(N=B(a,\delta)\text{,}\) yang merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Untuk setiap \(x\in N\text{,}\)
\begin{equation*} f(x)\gt f(a)-\frac{f(a)}{2}=\frac{f(a)}{2}\gt0. \end{equation*}
Jadi \(f\) tetap positif di seluruh lingkungan \(N\text{.}\)
Misalkan \((X,d)\) ruang metrik dengan \(d\) sebagai metrik diskret. Buktikan bahwa setiap subhimpunan \(A\subseteq X\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya. Rubrik. Tetapkan titik sebarang \(a\in A\text{,}\) tentukan sebuah bola yang hanya memuat \(a\text{,}\) dan bahas kasus \(A=\emptyset\text{.}\)
Petunjuk.
Dalam metrik diskret, \(B(a,1)=\{a\}\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Untuk setiap \(a\in A\text{,}\) berlaku \(B(a,1)=\{a\}\subseteq A\text{.}\) Jika \(A\) kosong, pernyataannya benar secara hampa.
Solusi.
Jika \(A=\emptyset\text{,}\) tidak ada titik \(a\in A\) yang perlu diperiksa. Jika \(A\) tidak kosong, tetapkan sebarang \(a\in A\text{.}\) Pada metrik diskret, \(d(x,a)\) bernilai \(0\) ketika \(x=a\) dan \(1\) ketika \(x\neq a\text{.}\) Karena bola terbuka memakai pertidaksamaan ketat, \(B(a,1)=\{a\}\text{.}\) Maka \(B(a,1)\subseteq A\text{,}\) sehingga \(A\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Karena \(a\) sebarang, klaim berlaku bagi setiap titik dalam \(A\text{.}\)
Putuskan benar atau salah: jika \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam ruang metrik \(X\text{,}\) maka setiap bola terbuka yang termuat dalam \(N\) juga merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Jika salah, berikan ruang, titik, lingkungan, dan bola terbuka konkret; verifikasi inklusi serta kegagalan sifat lingkungan.
Petunjuk.
Dalam \(\R\text{,}\) sebuah lingkungan dari \(0\) dapat memuat bola kecil yang berpusat jauh dari \(0\) dan bahkan tidak memuat \(0\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) ambil \(a=0\text{,}\) \(N=(-2,2)\text{,}\) dan bola \(B(1,1/4)=(3/4,5/4)\text{.}\) Bola itu termuat dalam \(N\text{,}\) tetapi bukan lingkungan dari \(0\text{.}\)
Solusi.
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) himpunan \(N=(-2,2)\) merupakan lingkungan dari \(a=0\text{,}\) misalnya karena \(B(0,1)\subseteq N\text{.}\) Bola terbuka \(U=B(1,1/4)=(3/4,5/4)\) memenuhi \(U\subseteq N\text{.}\)
Akan tetapi, \(0\notin U\text{.}\) Setiap lingkungan dari \(0\) harus memuat \(0\text{,}\) sebab setiap bola terbuka berpusat di \(0\) memuat pusatnya. Jadi \(U\) bukan lingkungan dari \(0\text{.}\) Contoh ini membantah pernyataan universal tersebut.
Putuskan benar atau salah: jika \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam ruang metrik \(X\text{,}\) maka \(N\) merupakan lingkungan dari setiap titiknya. Rubrik. Jika salah, buat himpunan yang memuat satu interval terbuka di sekitar \(a\) dan satu titik tambahan yang tidak mempunyai ruang terbuka di dalam himpunan itu.
Petunjuk.
Pertimbangkan \(N=(-1,1)\cup\{2\}\) dalam \(\R\text{,}\) dengan \(a=0\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Himpunan \(N=(-1,1)\cup\{2\}\) merupakan lingkungan dari \(0\text{,}\) tetapi bukan lingkungan dari titiknya \(2\text{.}\)
Solusi.
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) ambil \(N=(-1,1)\cup\{2\}\text{.}\) Karena \(B(0,1)=(-1,1)\subseteq N\text{,}\) himpunan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a=0\text{.}\) Selain itu, \(2\in N\text{.}\)
Untuk sebarang \(\delta\gt0\text{,}\) tetapkan \(t=\min\{\delta/2,1/2\}\) dan \(x=2+t\text{.}\) Maka \(0\lt|x-2|=t\lt\delta\text{,}\) tetapi \(x\notin(-1,1)\) dan \(x\neq2\text{,}\) sehingga \(x\notin N\text{.}\) Jadi tidak ada bola terbuka berpusat di \(2\) yang termuat dalam \(N\text{.}\) Dengan demikian \(N\) bukan lingkungan dari \(2\text{.}\)
Putuskan benar atau salah: jika \(X,Y\) ruang-ruang metrik, \(f:X\to Y\) kontinu, dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\in X\text{,}\) maka \(f(N)\) merupakan lingkungan dari \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Rubrik. Jika salah, pilih fungsi kontinu yang meruntuhkan seluruh lingkungan menjadi sebuah himpunan yang terlalu kecil.
Petunjuk.
Gunakan fungsi konstan \(f:\R\to\R\) dan sebuah interval terbuka sebagai \(N\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Untuk fungsi konstan \(f(x)=0\) dan \(N=(-1,1)\text{,}\) berlaku \(f(N)=\{0\}\text{,}\) yang bukan lingkungan dari \(f(0)=0\) dalam garis real bermetrik Euklides.
Solusi.
Ambil \(X=Y=\R\) dengan metrik Euklides, definisikan fungsi konstan \(f(x)=0\text{,}\) dan pilih \(a=0\) serta \(N=(-1,1)\text{.}\) Fungsi konstan kontinu, dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Namun \(f(N)=\{0\}\text{.}\) Untuk setiap \(\epsilon\gt0\text{,}\) bola \(B(0,\epsilon)\) memuat titik \(\epsilon/2\neq0\text{,}\) sehingga tidak termuat dalam \(\{0\}\text{.}\) Jadi \(\{0\}\) bukan lingkungan dari \(0=f(a)\text{.}\) Kekontinuan tidak menjamin bahwa citra lingkungan merupakan lingkungan.
Putuskan benar atau salah: jika \(X,Y\) ruang-ruang metrik, \(f:X\to Y\) kontinu di \(a\in X\text{,}\) dan \(N\) merupakan lingkungan dari \(f(a)\text{,}\) maka \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Mulailah dari bola yang termuat dalam \(N\) dan terapkan definisi kekontinuan dengan radius bola tersebut sebagai toleransi keluaran.
Petunjuk.
Pilih \(\epsilon\gt0\) dengan \(B_Y(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{,}\) lalu gunakan kekontinuan untuk memperoleh \(\delta\gt0\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Kekontinuan menghasilkan \(B_X(a,\delta)\subseteq f^{-1}(B_Y(f(a),\epsilon)) \subseteq f^{-1}(N)\text{.}\)
Solusi.
Karena \(N\) merupakan lingkungan dari \(f(a)\text{,}\) ada \(\epsilon\gt0\) dengan \(B_Y(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{.}\) Kekontinuan \(f\) di \(a\) memberikan \(\delta\gt0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a)\lt\delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),f(a))\lt\epsilon\text{.}\)
Jadi, jika \(x\in B_X(a,\delta)\text{,}\) maka \(f(x)\in B_Y(f(a),\epsilon)\subseteq N\text{,}\) sehingga \(x\in f^{-1}(N)\text{.}\) Dengan demikian \(B_X(a,\delta)\subseteq f^{-1}(N)\text{.}\) Prapeta tersebut memuat bola terbuka berpusat di \(a\text{,}\) sehingga merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Putuskan benar atau salah: jika \(a\) suatu titik dalam ruang metrik \(X\) dan \(\delta\gt0\text{,}\) maka bola terbuka \(B(a,\delta)\) memuat tak berhingga banyak titik dari \(X\text{.}\) Rubrik. Jika salah, berikan ruang metrik eksplisit, pusat, dan radius positif, lalu hitung bolanya.
Petunjuk.
Gunakan himpunan berhingga dengan metrik diskret dan radius \(1\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Dalam \(X=\{0,1\}\) dengan metrik diskret, \(B(0,1)=\{0\}\text{,}\) yang hanya memuat satu titik.
Solusi.
Ambil \(X=\{0,1\}\) dan metrik diskret \(d(x,y)=0\) jika \(x=y\text{,}\) serta \(d(x,y)=1\) jika \(x\neq y\text{.}\) Untuk \(a=0\) dan \(\delta=1\text{,}\) titik \(x\) berada dalam \(B(0,1)\) tepat ketika \(d(x,0)\lt1\text{.}\) Hanya \(x=0\) yang memenuhi syarat ini; \(d(1,0)=1\) tidak kurang dari \(1\text{.}\) Jadi \(B(0,1)=\{0\}\text{,}\) suatu himpunan berhingga. Contoh ini membantah pernyataan tersebut.
Putuskan benar atau salah: jika \(N_1,N_2,\ldots,N_k\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam ruang metrik \(X\) untuk suatu bilangan bulat positif \(k\text{,}\) maka \(\bigcap_{i=1}^kN_i\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Pilih satu radius positif untuk setiap lingkungan, lalu gunakan minimum dari himpunan radius yang berhingga.
Petunjuk.
Jika \(B(a,r_i)\subseteq N_i\) untuk \(i=1,\ldots,k\text{,}\) tetapkan \(r=\min\{r_1,\ldots,r_k\}\text{.}\)
Jawaban.
Benar. Radius minimum \(r\gt0\) memenuhi \(B(a,r)\subseteq\bigcap_{i=1}^kN_i\text{.}\)
Solusi.
Untuk setiap \(i\in\{1,\ldots,k\}\text{,}\) karena \(N_i\) merupakan lingkungan dari \(a\text{,}\) pilih \(r_i\gt0\) sehingga \(B(a,r_i)\subseteq N_i\text{.}\) Himpunan \(\{r_1,\ldots,r_k\}\) berhingga dan tak kosong, sehingga \(r=\min\{r_1,\ldots,r_k\}\) ada dan positif.
Jika \(x\in B(a,r)\text{,}\) maka untuk setiap \(i\) berlaku \(d(x,a)\lt r\leq r_i\text{.}\) Jadi \(x\in B(a,r_i)\subseteq N_i\) bagi semua \(i\text{.}\) Karena itu \(B(a,r)\subseteq\bigcap_{i=1}^kN_i\text{,}\) yang membuktikan bahwa irisan tersebut merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\)
Putuskan benar atau salah: jika \(N_\alpha\) merupakan lingkungan dari \(a\) dalam ruang metrik \(X\) untuk setiap \(\alpha\) dalam suatu himpunan indeks \(I\text{,}\) maka \(\bigcap_{\alpha\in I}N_\alpha\) merupakan lingkungan dari \(a\text{.}\) Rubrik. Jika salah, gunakan keluarga terhitung lingkungan yang radiusnya menuju nol, hitung irisannya, dan buktikan bahwa irisan itu tidak memuat bola terbuka beradius positif.
Petunjuk.
Dalam \(\R\text{,}\) ambil \(N_n=(-1/n,1/n)\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)
Jawaban.
Salah. Setiap \(N_n=(-1/n,1/n)\) merupakan lingkungan dari \(0\text{,}\) tetapi \(\bigcap_{n=1}^{\infty}N_n=\{0\}\text{,}\) yang bukan lingkungan dari \(0\) dalam metrik Euklides.
Solusi.
Dalam \((\R,d_E)\text{,}\) untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{,}\) himpunan \(N_n=(-1/n,1/n)=B(0,1/n)\) merupakan lingkungan dari \(0\text{.}\) Titik \(0\) berada dalam semua \(N_n\text{.}\) Sebaliknya, jika \(x\neq0\text{,}\) sifat Archimedes memberi bilangan bulat positif \(n\) dengan \(n\gt1/|x|\text{.}\) Maka \(1/n\lt|x|\text{,}\) sehingga \(x\notin N_n\text{.}\) Jadi
\begin{equation*} \bigcap_{n=1}^{\infty}N_n=\{0\}. \end{equation*}
Himpunan \(\{0\}\) bukan lingkungan dari \(0\text{:}\) untuk setiap \(\delta\gt0\text{,}\) titik \(\delta/2\) berada dalam \(B(0,\delta)\) tetapi tidak berada dalam \(\{0\}\text{.}\) Jadi irisan tak berhingga dari lingkungan-lingkungan tidak harus merupakan lingkungan.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>