Bagian Panduan Belajar Mandiri: Tutupan sebagai Himpunan Tertutup Terkecil
Pada seluruh panduan ini, \((X,\tau)\) adalah ruang topologi, \(A\subseteq X\text{,}\) dan \(A'\) menyatakan himpunan titik limit \(A\text{.}\)
Nyatakan tepat apa saja yang harus dibuktikan untuk menunjukkan bahwa \(\overline{A}\) adalah subhimpunan tertutup terkecil dari \(X\) yang memuat \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Pisahkan syarat “tertutup”, “memuat \(A\)”, dan “terkecil”.
Tahap 2. “Terkecil” diukur dengan relasi inklusi, bukan dengan kardinalitas.
Tahap 3. Kuantifikasikan syarat terakhir terhadap setiap himpunan tertutup lain yang memuat \(A\text{.}\)
Harus dibuktikan bahwa \(A\subseteq\overline{A}\text{,}\) \(\overline{A}\) tertutup, dan untuk setiap himpunan tertutup \(C\) dengan \(A\subseteq C\) berlaku \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)
Dua syarat pertama menyatakan bahwa \(\overline{A}\) sendiri merupakan salah satu subhimpunan tertutup yang memuat \(A\text{.}\) Syarat ketiga menyatakan bahwa subhimpunan itu termuat dalam setiap calon lain. Karena urutan yang digunakan adalah inklusi, ketiga syarat tersebut tepat mengungkapkan bahwa \(\overline{A}\) adalah subhimpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\)
Pemeriksaan M.19. Mengurangi Inklusi Tutupan ke Titik Limit.
Andaikan \(C\) tertutup dan \(A\subseteq C\text{.}\) Jelaskan mengapa, untuk membuktikan \(\overline{A}\subseteq C\text{,}\) cukup membuktikan \(A'\subseteq C\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Gunakan identitas \(\overline{A}=A\cup A'\text{.}\)
Tahap 2. Salah satu dari dua bagian gabungan itu sudah diketahui termuat dalam \(C\text{.}\)
Tahap 3. Gunakan fakta bahwa gabungan dua subhimpunan dari \(C\) tetap merupakan subhimpunan dari \(C\text{.}\)
Karena \(\overline{A}=A\cup A'\) dan \(A\subseteq C\) sudah diketahui, satu-satunya inklusi yang masih perlu dibuktikan adalah \(A'\subseteq C\text{.}\)
Jika \(A'\subseteq C\text{,}\) maka kedua himpunan \(A\) dan \(A'\) termuat dalam \(C\text{.}\) Oleh karena itu, \(A\cup A'\subseteq C\text{.}\) Identitas \(\overline{A}=A\cup A'\) kemudian memberikan \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\) Tidak diperlukan syarat tambahan terhadap titik-titik \(A\) karena inklusinya sudah menjadi asumsi.
Pemeriksaan M.20. Menempatkan Titik Limit di dalam Himpunan Tertutup.
Andaikan \(C\) tertutup, \(A\subseteq C\text{,}\) dan \(x\in A'\text{.}\) Tentukan apa yang dapat disimpulkan tentang \(x\text{,}\) beserta alasannya.
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Andaikan sebaliknya bahwa \(x\notin C\text{.}\)
Tahap 2. Karena \(C\) tertutup, \(X\setminus C\) adalah lingkungan terbuka dari \(x\text{.}\)
Tahap 3. Bandingkan lingkungan itu dengan syarat \(x\in A'\) dan inklusi \(A\subseteq C\text{.}\)
Harus berlaku \(x\in C\text{.}\)
Andaikan \(x\notin C\text{.}\) Maka \(X\setminus C\) terbuka dan memuat \(x\text{.}\) Karena \(A\subseteq C\text{,}\) lingkungan ini tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga tentu tidak bertemu \(A\setminus\{x\}\text{.}\) Hal itu bertentangan dengan \(x\in A'\text{,}\) yang mengharuskan setiap lingkungan dari \(x\) memuat suatu titik \(A\) selain \(x\text{.}\) Jadi \(x\in C\text{.}\)
Pemeriksaan M.21. Pembuktian Lengkap Sifat Minimal Tutupan.
Lengkapilah pembuktian bahwa jika \(C\) adalah subhimpunan tertutup dari \(X\) yang memuat \(A\text{,}\) maka \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\) Sertakan kaitannya dengan pernyataan bahwa \(\overline{A}\) merupakan himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Ambil sebarang \(x\in\overline{A}=A\cup A'\text{.}\)
Tahap 2. Jika \(x\in A\text{,}\) gunakan \(A\subseteq C\text{;}\) jika \(x\in A'\text{,}\) gunakan komplemen terbuka \(X\setminus C\) untuk memperoleh kontradiksi bila \(x\notin C\text{.}\)
Tahap 3. Gabungkan inklusi ini dengan fakta bahwa \(\overline{A}\) tertutup dan memuat \(A\text{.}\)
Setiap \(x\in\overline{A}\) berada dalam \(A\) atau \(A'\text{;}\) kedua kasus memberi \(x\in C\text{.}\) Jadi \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)
Ambil sebarang \(x\in\overline{A}=A\cup A'\text{.}\) Jika \(x\in A\text{,}\) maka \(x\in C\) karena \(A\subseteq C\text{.}\) Jika \(x\in A'\) tetapi \(x\notin C\text{,}\) himpunan \(X\setminus C\) merupakan lingkungan terbuka dari \(x\) yang tidak bertemu \(A\text{.}\) Ini bertentangan dengan definisi titik limit. Maka dalam kasus kedua pun \(x\in C\text{.}\) Jadi \(\overline{A}\subseteq C\text{.}\)
Selain itu, \(A\subseteq\overline{A}\) langsung dari \(\overline{A}=A\cup A'\text{,}\) dan \(\overline{A}\) tertutup. Karena \(\overline{A}\) termuat dalam setiap himpunan tertutup \(C\) yang memuat \(A\text{,}\) tutupan itu adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat \(A\text{.}\)
