Bagian Panduan Belajar Mandiri: Menentukan Batas Himpunan
Sebuah titik berada pada batas \(A\) jika setiap lingkungan terbukanya bertemu dengan \(A\) dan juga dengan \(X\setminus A\text{.}\) Secara ekuivalen, \(\Bdry(A)=\overline{A}\setminus\Int(A)\text{.}\)
Tentukan batas \(A=\{c,d\}\) dalam \(X=\{a,b,c,d\}\) dengan \(\tau=\{\emptyset,\{a\},\{b\},\{a,b\},X\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Titik \(a\) dan \(b\) masing-masing memiliki lingkungan beranggota tunggal yang tidak bertemu \(A\text{.}\)
Tahap 2. Satu-satunya lingkungan terbuka yang memuat \(c\) atau \(d\) adalah \(X\text{.}\)
Tahap 3. Uji apakah \(X\) bertemu dengan \(A\) dan komplemennya.
\(\Bdry(A)=\{c,d\}\text{.}\)
Lingkungan \(\{a\}\) dan \(\{b\}\) tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga \(a\) dan \(b\) bukan titik batas. Setiap lingkungan dari \(c\) atau \(d\) adalah \(X\text{.}\) Himpunan \(X\) bertemu \(A=\{c,d\}\) dan \(X\setminus A=\{a,b\}\text{.}\) Jadi \(c\) dan \(d\) adalah titik batas, sehingga \(\Bdry(A)=\{c,d\}\text{.}\)
Pemeriksaan M.23. Batas pada Topologi Berhingga Kedua.
Tentukan batas \(A=\{a,b\}\) dalam \(X=\{a,b,c,d,e,f\}\) dengan
\begin{equation*}
\tau=\{\emptyset,\{b\},\{a,b,c\},\{d,e,f\},\{b,d,e,f\},X\}.
\end{equation*}
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Lingkungan \(\{b\}\) tidak bertemu \(X\setminus A\text{.}\)
Tahap 2. Lingkungan \(\{d,e,f\}\) tidak bertemu \(A\text{.}\)
Tahap 3. Periksa \(a\) dan \(c\) menggunakan lingkungan \(\{a,b,c\}\text{.}\)
\(\Bdry(A)=\{a,c\}\text{.}\)
Himpunan \(\{b\}\) adalah lingkungan dari \(b\) yang seluruhnya berada dalam \(A\text{,}\) jadi \(b\) bukan titik batas. Himpunan \(\{d,e,f\}\) adalah lingkungan dari masing-masing \(d,e,f\) dan tidak bertemu \(A\text{,}\) sehingga ketiganya bukan titik batas. Setiap lingkungan dari \(a\) atau \(c\) memuat \(\{a,b,c\}\text{,}\) yang bertemu \(A\) pada \(a\) atau \(b\) dan bertemu \(X\setminus A\) pada \(c\text{.}\) Karena itu, \(\Bdry(A)=\{a,c\}\text{.}\)
Pemeriksaan M.24. Batas pada Ruang Diskret.
Misalkan \(X=\{a,b,c\}\) dilengkapi topologi diskret. Tentukan batas \(A=\{a,b\}\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Setiap titik \(x\in X\) memiliki lingkungan terbuka \(\{x\}\text{.}\)
Tahap 2. Jika \(x\in A\text{,}\) lingkungan itu tidak bertemu komplemen \(A\text{.}\)
Tahap 3. Jika \(x\notin A\text{,}\) lingkungan itu tidak bertemu \(A\text{.}\)
\(\Bdry(A)=\emptyset\text{.}\)
Untuk \(x\in A\text{,}\) lingkungan \(\{x\}\) tidak bertemu \(X\setminus A\text{.}\) Untuk \(x\in X\setminus A\text{,}\) lingkungan \(\{x\}\) tidak bertemu \(A\text{.}\) Jadi tidak ada titik yang setiap lingkungannya bertemu kedua sisi. Dengan demikian, \(\Bdry(A)=\emptyset\text{.}\)
Pemeriksaan M.25. Batas Bilangan Bulat dalam Topologi Komplemen Berhingga.
Lengkapi \(\R\) dengan topologi komplemen berhingga \(\tau_{FC}\text{.}\) Tentukan batas subhimpunan \(\Z\subset\R\text{.}\)
Petunjuk.
Jawaban.
Solusi.
Tahap 1. Setiap lingkungan terbuka tak kosong dalam topologi ini memiliki komplemen berhingga.
Tahap 2. Baik \(\Z\) maupun \(\R\setminus\Z\) merupakan himpunan tak berhingga.
Tahap 3. Himpunan yang berkomplemen berhingga tidak dapat menghindari seluruh anggota salah satu himpunan tak berhingga tersebut.
Setiap bilangan real adalah titik batas; \(\Bdry(\Z)=\R\text{.}\)
Ambil sebarang \(x\in\R\) dan sebarang lingkungan terbuka \(O\) dari \(x\text{.}\) Komplemen \(\R\setminus O\) berhingga. Karena \(\Z\) tak berhingga, \(O\) harus bertemu \(\Z\text{.}\) Karena \(\R\setminus\Z\) juga tak berhingga, \(O\) harus bertemu \(\R\setminus\Z\text{.}\) Jadi setiap lingkungan dari setiap \(x\) bertemu kedua sisi, sehingga setiap \(x\in\R\) merupakan titik batas dan \(\Bdry(\Z)=\R\text{.}\)
