Latihan

Latihan Latihan

1.

Misalkan \((X,d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) merupakan ruang metrik yang ekuivalen secara metrik, dan misalkan \(f:X \to Y\) suatu bijeksi sedemikian sehingga

\begin{equation*} d_X(x,y) = d_Y(f(x),f(y)) \end{equation*}

untuk semua \(x,y \in X\text{.}\) Buktikan bahwa

\begin{equation*} d_Y(u,v) = d_X(f^{-1}(u), f^{-1}(v)) \end{equation*}

untuk semua \(u\) dan \(v\) dalam \(Y\text{.}\)

2.

Misalkan \((X, \tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu homeomorfisme. Misalkan \(A\) suatu himpunan bagian dari \(X\text{.}\)

(a)

Jika \(x\) merupakan titik limit dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik limit dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

(b)

Jika \(x\) merupakan titik interior dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik interior dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

(c)

Jika \(x\) merupakan titik batas dari \(A\text{,}\) apakah \(f(x)\) harus merupakan titik batas dari \(f(A)\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

3.

Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y, d_Y)\) merupakan ruang metrik yang ekuivalen secara metrik. Tunjukkan bahwa \(X\) dan \(Y\) ekuivalen secara topologis jika menggunakan topologi metriknya.

4.

Buktikan Teorema 14.4 bahwa jika \((X,\tau_X)\) dan \((Y, \tau_Y)\) merupakan ruang topologi, dan \(f: X \to Y\) suatu fungsi, maka \(f\) kontinu jika dan hanya jika \(f^{-1}(C)\) merupakan himpunan tertutup dalam \(X\) setiap kali \(C\) merupakan himpunan tertutup dalam \(Y\text{.}\)

5.

Misalkan \((X, \tau_X)\text{,}\) \((Y, \tau_Y)\text{,}\) dan \((Z, \tau_Z)\) merupakan ruang topologi.

(a)

Misalkan \(f: X \to Y\) dan \(g : Y \to Z\) merupakan fungsi kontinu. Buktikan bahwa \(g \circ f : X \to Z\) merupakan fungsi kontinu.

Petunjuk.

Latihan 9 mungkin berguna di sini.

(b)

Misalkan \(f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)\) suatu homeomorfisme. Misalkan \(h\) suatu fungsi dari \((Y, \tau_Y)\) ke \((Z, \tau_Z)\) dan misalkan \(k\) suatu fungsi dari \((Z, \tau_Z)\) ke \((X, \tau_X)\text{.}\)

(i)

Buktikan bahwa \(h\) kontinu jika dan hanya jika \(h \circ f\) kontinu.

(ii)

Buktikan bahwa \(k\) kontinu jika dan hanya jika \(f \circ k\) kontinu.

6.

Misalkan \(X = \{a,b,c,d\}\) dengan topologi \(\tau = \{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{b,d\}, \{a,b,d\}, X\}\text{.}\)

(a)

Temukan fungsi \(f: X \to X\) yang kontinu tepat di satu titik, atau tunjukkan bahwa fungsi seperti itu tidak ada.

(b)

Temukan fungsi \(f: X \to X\) yang kontinu tepat di dua titik, atau tunjukkan bahwa fungsi seperti itu tidak ada.

(c)

Temukan fungsi \(f: X \to X\) yang kontinu tepat di tiga titik, atau tunjukkan bahwa fungsi seperti itu tidak ada.

7.

Pertimbangkan \(\R\) dan \(\R^2\) yang dilengkapi topologi Euklides. Misalkan \(f : \R \to \R\) suatu fungsi dan misalkan

\begin{equation*} \Gamma_f = \{(x,f(x)) \mid x \in \R\} \end{equation*}

merupakan grafik dari \(f\text{.}\) Perhatikan bahwa \(\Gamma_f\) merupakan subruang dari \(\R^2\) dan menjadi ruang topologi dengan topologi subruang.

(a)

Tunjukkan bahwa jika \(f\) merupakan fungsi kontinu, maka \(\Gamma_f\) homeomorfik dengan \(\R\text{.}\)

(b)

Jika syarat bahwa \(f\) kontinu dihilangkan, apakah tetap berlaku bahwa \(\Gamma_f\) homeomorfik dengan \(\R\text{?}\) Buktikan konjektur Anda.

8.

Misalkan \(X\) suatu himpunan tak kosong dan \(p\) suatu elemen tetap dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(\tau_p\) merupakan topologi titik tertentu dan \(\tau_{\overline{p}}\) merupakan topologi titik yang dikecualikan pada \(X\text{.}\) Artinya,

\(\tau_{p}\) merupakan koleksi himpunan bagian dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua himpunan bagian dari \(X\) yang memuat \(p\text{.}\)
\(\tau_{\overline{p}}\) merupakan koleksi himpunan bagian dari \(X\) yang terdiri atas \(\emptyset\text{,}\) \(X\text{,}\) dan semua himpunan bagian dari \(X\) yang tidak memuat \(p\text{.}\)

Fakta bahwa topologi titik tertentu dan topologi titik yang dikecualikan merupakan topologi menjadi pokok bahasan Latihan 9 dan Latihan 10.

(a)

Misalkan \(p\) suatu titik tetap dalam \(\R\text{.}\) Apakah fungsi identitas \(i: \R \to \R\) yang didefinisikan oleh \(i(x) = x\) untuk semua \(x \in \R\) merupakan homeomorfisme dari \((\R, \tau_p)\) ke \((\R, \tau_{\overline{p}})\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

(b)

Apakah \((\R, \tau_{p})\) homeomorfik dengan \((\R, \tau_{\overline{p}})\) ketika titik khususnya \(p=0\text{?}\) Buktikan jawaban Anda.

9.

Ruang topologi \(X\) tertanam dalam ruang topologi \(Y\) jika terdapat homeomorfisme dari \(X\) ke suatu subruang dari \(Y\text{.}\) Homeomorfisme tersebut disebut suatu pembenaman.

(a)

Tunjukkan bahwa jika \(X\) merupakan interval terbuka \((0,1)\) dengan topologi metrik Euklides, maka \(X\) dapat ditanamkan dalam ruang topologi \(\R\) dengan topologi metrik Euklides.

(b)

Tunjukkan bahwa terdapat ruang topologi \(A\) dan \(B\) yang tidak homeomorfik, tetapi \(A\) dapat ditanamkan dalam \(B\) dan \(B\) dapat ditanamkan dalam \(A\text{.}\)

10.

Misalkan \(X = \{a,b\}\) suatu himpunan dengan dua elemen.

(a)

Temukan semua topologi yang berbeda pada \(X\text{.}\) Jelaskan pula bagaimana Anda tahu bahwa semua topologi telah teridentifikasi.

(b)

Tentukan kelas-kelas homeomorfisme yang berbeda dari ruang topologi pada himpunan dua elemen. Berikan justifikasi atas jawaban Anda.

11.

Misalkan \(X = \{a,b,c\}\text{.}\) Terdapat 29 topologi berbeda pada \(X\text{,}\) yang ditunjukkan di bawah. Tentukan banyaknya kelas homeomorfisme yang berbeda untuk 29 topologi ini dan identifikasi elemen-elemen setiap kelas homeomorfisme. Berikan justifikasi untuk jawaban Anda.

(a)

\(\{\emptyset, X\}\)

(b)

\(\{\emptyset, \{a,b\}, X\}\)

(c)

\(\{\emptyset, \{a,c\}, X\}\)

(d)

\(\{\emptyset, \{b,c\}, X\}\)

(e)

\(\{\emptyset, \{a\}, X\}\)

(f)

\(\{\emptyset, \{b\}, X\}\)

(g)

\(\{\emptyset, \{c\}, X\}\)

(h)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, X\}\)

(i)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,c\}, X\}\)

(j)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b,c\}, X\}\)

(k)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{a,b\}, X\}\)

(l)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{a,c\}, X\}\)

(m)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{b,c\}, X\}\)

(n)

\(\{\emptyset, \{c\}, \{a,b\}, X\}\)

(o)

\(\{\emptyset, \{c\}, \{a,c\}, X\}\)

(p)

\(\{\emptyset, \{c\}, \{b,c\}, X\}\)

(q)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{a,b\}, \{a,c\}, X\}\)

(r)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{a,b\}, \{b,c\}, X\}\)

(s)

\(\{\emptyset, \{c\}, \{a,c\}, \{b,c\}, X\}\)

(t)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, X\}\)

(u)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}, X\}\)

(v)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}, X\}\)

(w)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{a,c\}, X\}\)

(x)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\}, \{b,c\}, X\}\)

(y)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}, \{a,b\}, X\}\)

(z)

\(\{\emptyset, \{a\}, \{c\}, \{a,c\}, \{b,c\}, X\}\)

(aa)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}, \{a,b\}, X\}\)

(ab)

\(\{\emptyset, \{b\}, \{c\}, \{b,c\}, \{a,c\}, X\}\)

(ac)

topologi diskret

12.

Tunjukkan bahwa sifat \(T_i\) merupakan sifat topologis untuk setiap \(i\text{.}\) (Lihat Bab 13 untuk definisi aksioma pemisahan.)

13.

Untuk setiap pernyataan berikut, jawab benar jika pernyataan tersebut selalu benar. Jika pernyataan tersebut hanya kadang-kadang benar atau tidak pernah benar, jawab salah dan berikan contoh konkret yang menunjukkan bahwa pernyataan tersebut salah. Jika suatu pernyataan benar, jelaskan alasannya.

(a)

Jika \(f : X \to Y\) merupakan fungsi kontinu antara ruang topologi \(X\) dan \(Y\text{,}\) maka untuk setiap himpunan bagian terbuka \(U\) dari \(X\text{,}\) \(f(U)\) terbuka dalam \(Y\text{.}\)

(b)

Jika \(\tau_{FC}\) merupakan topologi komplemen hingga, maka \(f(x) = x^2\) yang memetakan \((\R, \tau_{FC})\) ke \((\R, \tau_{FC})\) bersifat kontinu.

(c)

Jika \(f : X \to Y\) merupakan fungsi bijektif antara ruang topologi \(X\) dan \(Y\text{,}\) dan untuk setiap himpunan bagian terbuka \(U\) dari \(X\text{,}\) \(f(U)\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) maka \(f\) merupakan homeomorfisme.

(d)

Jika \(X\) dan \(Y\) merupakan ruang topologi dengan topologi diskret, dan jika \(f: X \to Y\) merupakan bijeksi, maka ruang \(X\) dan \(Y\) homeomorfik.

(e)

Misalkan \(S\) suatu himpunan dan \(R_1\) serta \(R_2\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(S\text{.}\) Maka \(R = R_1 \cap R_2\) juga merupakan relasi ekuivalensi pada \(S\text{.}\)

(f)

Misalkan \(S\) suatu himpunan dan \(R_1\) serta \(R_2\) merupakan relasi ekuivalensi pada \(S\text{.}\) Maka \(R = R_1 \cup R_2\) juga merupakan relasi ekuivalensi pada \(S\text{.}\)