Lompat ke konten utama

Topologi: Pendekatan Berbasis Inkuiri: Bab 1-17 - Himpunan, Fungsi, Ruang Metrik, Ruang Topologi, Kekontinuan, Homeomorfisme, Subruang, Ruang Kuosien, Ruang Kompak, serta Pendamping Belajar Mandiri

Steven Schlicker

Bagian Uji Penguasaan Bab 16: Ruang Kuosien

Delapan uji penguasaan ini mengintegrasikan konstruksi, sifat universal, model geometris, dan contoh tandingan Bab 16. Kerjakan setiap pernyataan sebelum membuka petunjuk, jawaban, dan solusi secara bertahap.
Komponen pendamping ini ditulis secara terpisah di bawah lisensi CC BY 4.0, bukan materi resmi GVSU, dan tidak menyiratkan dukungan penulis sumber.
Misalkan \(p:X\to Y\) suatu surjeksi dari ruang topologi \((X,\tau)\) ke suatu himpunan \(Y\text{.}\) Definisikan
\begin{equation*} \tau_p=\{U\subseteq Y\mid p^{-1}(U)\in\tau\}. \end{equation*}
Buktikan bahwa \(\tau_p\) adalah topologi pada \(Y\text{,}\) bahwa \(p:(X,\tau)\to(Y,\tau_p)\) kontinu, dan bahwa \(\tau_p\) merupakan topologi terbesar pada \(Y\) yang membuat \(p\) kontinu.
Petunjuk.
Tahap 1. Gunakan prapeta \(p^{-1}(\emptyset)\) dan \(p^{-1}(Y)\text{.}\)
Tahap 2. Prapeta mempertahankan gabungan sebarang dan irisan berhingga.
Tahap 3. Jika topologi lain \(\sigma\) membuat \(p\) kontinu, uji setiap \(U\in\sigma\) terhadap definisi \(\tau_p\text{.}\)
Jawaban.
Ketiga aksioma topologi mengikuti hukum prapeta. Kekontinuan \(p\) berlaku langsung dari definisi. Jika \(\sigma\) juga membuat \(p\) kontinu, maka setiap \(U\in\sigma\) memenuhi \(p^{-1}(U)\in\tau\text{,}\) sehingga \(\sigma\subseteq\tau_p\text{.}\)
Solusi.
Karena \(p^{-1}(\emptyset)=\emptyset\) dan \(p^{-1}(Y)=X\text{,}\) kedua himpunan wajib berada dalam \(\tau_p\text{.}\) Jika \(U_i\in\tau_p\) untuk \(i\in I\text{,}\) maka
\begin{equation*} p^{-1}\left(\bigcup_{i\in I}U_i\right) =\bigcup_{i\in I}p^{-1}(U_i)\in\tau, \end{equation*}
sehingga gabungan itu berada dalam \(\tau_p\text{.}\) Jika \(U,V\in\tau_p\text{,}\) maka
\begin{equation*} p^{-1}(U\cap V)=p^{-1}(U)\cap p^{-1}(V)\in\tau. \end{equation*}
Induksi memberi penutupan terhadap irisan berhingga. Jadi \(\tau_p\) adalah topologi.
Definisi \(\tau_p\) tepat menyatakan bahwa prapeta setiap himpunan terbuka di kodomain terbuka dalam \(X\text{;}\) maka \(p\) kontinu. Sekarang misalkan \(\sigma\) topologi pada \(Y\) yang juga membuat \(p\) kontinu. Untuk setiap \(U\in\sigma\text{,}\) kekontinuan memberi \(p^{-1}(U)\in\tau\text{.}\) Jadi \(U\in\tau_p\text{,}\) sehingga \(\sigma\subseteq\tau_p\text{.}\) Inilah arti bahwa \(\tau_p\) merupakan topologi terbesar yang dimaksud.
Untuk surjeksi \(p:X\to Y\text{,}\) definisikan \(x\sim_p x'\) jika dan hanya jika \(p(x)=p(x')\text{.}\) Buktikan bahwa \(\sim_p\) merupakan relasi ekuivalensi. Jika \(q:X\to X/\ssim_p\) adalah proyeksi kanonis, buktikan bahwa \(h:X/\ssim_p\to Y\) yang diberikan oleh \(h([x])=p(x)\) merupakan bijeksi. Terakhir, jika kedua kodomain diberi topologi kuosien yang ditentukan oleh \(q\) dan \(p\text{,}\) buktikan bahwa \(h\) adalah homeomorfisme.
Petunjuk.
Tahap 1. Periksa refleksivitas, simetri, dan transitivitas melalui kesamaan nilai \(p\text{.}\)
Tahap 2. Keterdefinisian \(h\) tepat memakai definisi \(\sim_p\text{.}\)
Tahap 3. Untuk \(U\subseteq Y\text{,}\) bandingkan \(q^{-1}(h^{-1}(U))\) dengan \(p^{-1}(U)\text{.}\)
Jawaban.
Relasi tersebut mengelompokkan tepat titik-titik dalam serat yang sama. Pemetaan \(h\) terdefinisi dengan baik dan bijektif, serta memenuhi \(h\circ q=p\text{.}\) Identitas \(q^{-1}(h^{-1}(U))=p^{-1}(U)\) menunjukkan bahwa \(U\) terbuka tepat ketika \(h^{-1}(U)\) terbuka.
Solusi.
Kesamaan \(p(x)=p(x)\) memberi refleksivitas. Jika \(p(x)=p(x')\text{,}\) simetri kesamaan memberi \(p(x')=p(x)\text{.}\) Jika \(p(x)=p(x')\) dan \(p(x')=p(x'')\text{,}\) transitivitas kesamaan memberi \(p(x)=p(x'')\text{.}\) Jadi \(\sim_p\) relasi ekuivalensi.
Jika \([x]=[x']\text{,}\) maka \(x\sim_p x'\) dan \(p(x)=p(x')\text{;}\) karena itu rumus \(h([x])=p(x)\) tidak bergantung pada wakil. Surjektivitas \(p\) memberi surjektivitas \(h\text{.}\) Jika \(h([x])=h([x'])\text{,}\) maka \(p(x)=p(x')\text{,}\) sehingga \([x]=[x']\text{;}\) jadi \(h\) injektif.
Untuk setiap \(U\subseteq Y\text{,}\) berlaku
\begin{equation*} q^{-1}(h^{-1}(U))=(h\circ q)^{-1}(U)=p^{-1}(U). \end{equation*}
Menurut definisi kedua topologi kuosien, ruas kanan terbuka dalam \(X\) jika dan hanya jika \(U\) terbuka dalam \(Y\text{,}\) dan ruas kiri terbuka dalam \(X\) jika dan hanya jika \(h^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X/\ssim_p\text{.}\) Jadi \(U\) terbuka tepat ketika \(h^{-1}(U)\) terbuka. Bijeksi \(h\) beserta kesetaraan ini adalah homeomorfisme.
Ambil persegi satuan \(I^2=[0,1]\times[0,1]\text{.}\) Kenali ruang kuosien yang diperoleh dalam masing-masing kasus berikut dan berikan justifikasi geometris: (i) hanya sisi bawah dan atas direkatkan dengan \((x,0)\sim(x,1)\text{;}\) (ii) keduanya direkatkan berlawanan arah dengan \((x,0)\sim(1-x,1)\text{;}\) (iii) kedua pasangan sisi berhadapan direkatkan searah; (iv) seluruh batas \(\partial I^2\) diciutkan menjadi satu titik.
Petunjuk.
Tahap 1. Gulung persegi tanpa atau dengan satu pembalikan.
Tahap 2. Setelah satu pasangan sisi direkatkan menjadi silinder, rekatkan dua lingkaran batasnya untuk kasus (iii).
Tahap 3. Pandang interior persegi sebagai cakram terbuka dan titik hasil penciutan batas sebagai titik tambahan.
Jawaban.
Hasilnya berturut-turut adalah silinder, pita Möbius, torus, dan permukaan bola \(S^2\text{.}\)
Solusi.
Pada (i), setiap ruas horizontal tetap menjadi ruas, sedangkan kedua ujung setiap ruas vertikal pada sisi bawah dan atas diidentifikasi. Arah vertikal menjadi lingkaran, sehingga hasilnya homeomorfik dengan \(S^1\times I\text{,}\) yaitu silinder.
Pada (ii), pembalikan \(x\mapsto1-x\) memberi satu puntiran sebelum kedua sisi direkatkan. Inilah model poligonal pita Möbius. Pada (iii), satu pasangan sisi terlebih dahulu menghasilkan silinder; dua lingkaran batas silinder kemudian direkatkan dengan arah yang sama. Hasilnya \(S^1\times S^1\text{,}\) yaitu torus.
Untuk (iv), persegi homeomorfik dengan cakram tertutup. Menciutkan seluruh lingkaran batas menjadi satu titik memberi kompaktifikasi satu titik dari cakram terbuka, yang homeomorfik dengan \(S^2\text{.}\) Secara konkret, petakan interior secara radial ke permukaan bola tanpa satu titik dan kirim seluruh batas ke titik yang tersisa.
Misalkan \(\sim\) relasi ekuivalensi pada himpunan \(X\) dan \(q:X\to X/\ssim\) proyeksi kanonis. Jika fungsi \(f:X\to Z\) memenuhi \(x\sim y\Rightarrow f(x)=f(y)\text{,}\) buktikan bahwa terdapat tepat satu fungsi \(\bar f:X/\ssim\to Z\) dengan \(f=\bar f\circ q\text{.}\)
Petunjuk.
Tahap 1. Definisikan \(\bar f([x])=f(x)\text{.}\)
Tahap 2. Gunakan hipotesis untuk membuktikan bahwa pilihan wakil tidak berpengaruh.
Tahap 3. Untuk keunikan, evaluasi fungsi calon pada kelas \([x]=q(x)\text{.}\)
Jawaban.
Fungsi tunggal tersebut adalah \(\bar f([x])=f(x)\text{.}\) Hipotesis menjamin keterdefinisiannya, dan surjektivitas \(q\) memaksa setiap faktorisasi lain mempunyai nilai yang sama pada semua kelas.
Solusi.
Definisikan \(\bar f([x])=f(x)\text{.}\) Jika \([x]=[y]\text{,}\) maka \(x\sim y\text{,}\) sehingga hipotesis memberi \(f(x)=f(y)\text{.}\) Jadi \(\bar f\) terdefinisi dengan baik. Untuk setiap \(x\in X\text{,}\)
\begin{equation*} (\bar f\circ q)(x)=\bar f([x])=f(x), \end{equation*}
sehingga \(f=\bar f\circ q\text{.}\)
Jika \(g:X/\ssim\to Z\) juga memenuhi \(f=g\circ q\text{,}\) ambil sebarang kelas \([x]\text{.}\) Karena setiap kelas mempunyai wakil, \(g([x])=g(q(x))=f(x)=\bar f([x])\text{.}\) Maka \(g=\bar f\text{,}\) jadi faktorisasi itu unik.
Dalam situasi uji sebelumnya, anggap \(X\) ruang topologi, \(X/\ssim\) memakai topologi kuosien, dan \(Z\) ruang topologi. Buktikan bahwa fungsi terinduksi \(\bar f\) kontinu jika dan hanya jika \(f=\bar f\circ q\) kontinu. Tuliskan secara eksplisit identitas prapeta yang membuat kedua ruang tempat prapeta itu berada tidak tertukar.
Petunjuk.
Tahap 1. Satu arah mengikuti komposisi fungsi kontinu.
Tahap 2. Untuk himpunan terbuka \(O\subseteq Z\text{,}\) hitung \(f^{-1}(O)\text{.}\)
Tahap 3. Terapkan kriteria topologi kuosien pada himpunan \(\bar f^{-1}(O)\subseteq X/\ssim\text{.}\)
Jawaban.
Identitas yang benar adalah \(f^{-1}(O)=q^{-1}(\bar f^{-1}(O))\text{.}\) Karena \(q\) pemetaan kuosien, keterbukaan ruas kanan sebagai prapeta di \(X\) tepat menguji keterbukaan \(\bar f^{-1}(O)\) di \(X/\ssim\text{.}\)
Solusi.
Jika \(\bar f\) kontinu, maka \(f=\bar f\circ q\) kontinu sebagai komposisi dua fungsi kontinu. Sebaliknya, andaikan \(f\) kontinu dan ambil himpunan terbuka \(O\subseteq Z\text{.}\) Faktorisasi memberi identitas bertipe benar
\begin{equation*} f^{-1}(O)=(\bar f\circ q)^{-1}(O) =q^{-1}\left(\bar f^{-1}(O)\right). \end{equation*}
Ruas kiri terbuka dalam \(X\) karena \(f\) kontinu. Definisi topologi kuosien menyatakan bahwa suatu himpunan \(V\subseteq X/\ssim\) terbuka tepat ketika \(q^{-1}(V)\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Terapkan ini pada \(V=\bar f^{-1}(O)\text{.}\) Maka \(\bar f^{-1}(O)\) terbuka untuk setiap \(O\) terbuka, sehingga \(\bar f\) kontinu.
Definisikan \(f:\R\to S^1\) dengan \(f(t)=(\cos(2\pi t),\sin(2\pi t))\text{,}\) dan pada \(\R\) definisikan \(s\sim t\) jika dan hanya jika \(s-t\in\Z\text{.}\) Buktikan bahwa fungsi terinduksi \(\bar f:\R/\Z\to S^1\) merupakan homeomorfisme. Jangan memakai teorema “bijeksi kontinu dari ruang kompak ke ruang Hausdorff.”
Petunjuk.
Tahap 1. Periksa bahwa serat-serat \(f\) tepat kelas-kelas modulo \(\Z\text{.}\)
Tahap 2. Buktikan \(f\) terbuka secara lokal dengan selang terbuka berpanjang kurang dari \(1\text{.}\)
Tahap 3. Bijeksi kontinu yang terbuka mempunyai invers kontinu.
Jawaban.
Serat \(f\) adalah kelas modulo bilangan bulat, sehingga \(\bar f\) bijektif. Fungsi \(f\) kontinu dan terbuka; karena \(f=\bar f\circ q\text{,}\) sifat kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{,}\) sedangkan keterbukaan \(f\) memberi keterbukaan \(\bar f\text{.}\) Jadi inversnya kontinu.
Solusi.
Periodisitas fungsi sinus dan kosinus memberi \(f(s)=f(t)\) jika dan hanya jika \(s-t\in\Z\text{.}\) Karena \(f\) juga surjektif, faktorisasi melalui proyeksi \(q:\R\to\R/\Z\) menghasilkan bijeksi \(\bar f([t])=f(t)\text{.}\) Kekontinuan \(f\) dan sifat universal topologi kuosien memberi kekontinuan \(\bar f\text{.}\)
Untuk membuktikan keterbukaan, ambil himpunan terbuka \(U\subseteq\R\text{.}\) Di sekitar setiap \(t\in U\text{,}\) pilih selang terbuka \(J_t\subseteq U\) dengan panjang kurang dari \(1\text{.}\) Pembatasan \(f|_{J_t}\) memetakan \(J_t\) homeomorfik ke suatu busur terbuka pada \(S^1\text{.}\) Karena
\begin{equation*} f(U)=\bigcup_{t\in U}f(J_t), \end{equation*}
himpunan \(f(U)\) terbuka. Jika \(W\) terbuka dalam \(\R/\Z\text{,}\) maka \(q^{-1}(W)\) terbuka dan \(\bar f(W)=f(q^{-1}(W))\) terbuka. Jadi \(\bar f\) adalah bijeksi kontinu yang terbuka, sehingga \(\bar f^{-1}\) kontinu.
Tunjukkan hubungan homeomorfik antara tiga model \(\mathbb{R}P^2\text{:}\) (i) garis-garis satu dimensi melalui titik asal dalam \(\R^3\text{;}\) (ii) \(S^2\) dengan pasangan titik antipodal diidentifikasi; dan (iii) cakram tertutup \(D^2\) dengan pasangan titik antipodal pada batasnya diidentifikasi. Jelaskan mengapa hanya titik-titik batas pada model cakram yang masih perlu diidentifikasi.
Petunjuk.
Tahap 1. Setiap garis melalui asal memotong \(S^2\) di tepat dua titik antipodal.
Tahap 2. Pilih wakil setiap pasangan antipodal pada hemisfer atas tertutup.
Tahap 3. Proyeksikan hemisfer itu ke cakram ekuator pada bidang \(xy\text{.}\)
Jawaban.
Normalisasi vektor tak nol memotong setiap garis pada pasangan \(\{u,-u\}\) di \(S^2\text{.}\) Setiap pasangan mempunyai satu wakil di interior hemisfer atas, sedangkan pasangan pada ekuator mempunyai dua wakil antipodal. Proyeksi hemisfer ke \(D^2\) menerjemahkan tepat identifikasi ekuator itu menjadi identifikasi antipodal batas.
Solusi.
Suatu titik model (i) adalah garis \(L=\{tv:t\in\R\}\) untuk vektor tak nol \(v\text{.}\) Garis itu memotong permukaan bola satuan di dua titik \(u=v/\lVert v\rVert\) dan \(-u\text{.}\) Karena mengganti vektor pembangkit tidak mengubah garis, model garis tepat merupakan kuosien \(S^2/(u\sim-u)\text{,}\) yaitu model (ii).
Setiap kelas antipodal mempunyai wakil pada hemisfer atas tertutup \(H=\{(x,y,z)\in S^2:z\geq0\}\text{.}\) Jika \(z>0\text{,}\) tepat satu dari \(u\) dan \(-u\) berada dalam \(H\text{.}\) Jika \(z=0\text{,}\) kedua titik berada pada ekuator dan tetap harus diidentifikasi. Proyeksi \((x,y,z)\mapsto(x,y)\) memetakan \(H\) homeomorfik ke cakram tertutup \(D^2\text{.}\) Ekuator menjadi batas \(S^1\text{,}\) dan pasangan antipodal ekuator menjadi pasangan \((x,y)\) dan \((-x,-y)\) pada batas. Interior tidak memerlukan identifikasi tambahan. Jadi model (ii) dan (iii) homeomorfik sebagai ruang kuosien.
Kerjakan tiga bagian berikut. (i) Jika \(A\subseteq X\) dan \(r:X\to A\) adalah retraksi, buktikan bahwa \(r\) merupakan pemetaan kuosien. (ii) Jika \(X\) Hausdorff, buktikan bahwa setiap retrak \(A\) tertutup dalam \(X\text{.}\) (iii) Berikan contoh surjeksi kontinu yang bukan pemetaan kuosien dan jelaskan kegagalannya.
Petunjuk.
Tahap 1. Untuk \(U\subseteq A\text{,}\) gunakan inklusi \(i:A\hookrightarrow X\) dan identitas \(r\circ i=\operatorname{id}_A\text{.}\)
Tahap 2. Retrak adalah himpunan titik tetap dari \(i\circ r:X\to X\text{;}\) gunakan diagonal tertutup di \(X\times X\text{.}\)
Tahap 3. Bandingkan identitas dari garis real diskret ke garis real bertopologi standar.
Jawaban.
Retraksi adalah surjeksi kontinu dan keterbukaan \(r^{-1}(U)\) memaksa keterbukaan \(U=i^{-1}(r^{-1}(U))\text{.}\) Dalam ruang Hausdorff, himpunan titik tetap suatu fungsi kontinu tertutup. Contoh tandingan pada (iii) adalah fungsi identitas dari \(\R\) diskret ke \(\R\) standar: kontinu dan surjektif, tetapi topologi kuosien yang diinduksinya adalah topologi diskret.
Solusi.
Misalkan \(U\subseteq A\text{.}\) Jika \(U\) terbuka dalam \(A\text{,}\) kekontinuan \(r\) memberi keterbukaan \(r^{-1}(U)\) dalam \(X\text{.}\) Sebaliknya, jika \(r^{-1}(U)\) terbuka dalam \(X\text{,}\) maka
\begin{equation*} U=(r\circ i)^{-1}(U)=i^{-1}(r^{-1}(U)) \end{equation*}
terbuka dalam topologi subruang pada \(A\text{.}\) Jadi \(U\) terbuka tepat ketika prapetanya di bawah \(r\) terbuka; karena \(r\) surjektif, \(r\) pemetaan kuosien.
Tuliskan \(F=i\circ r:X\to X\text{.}\) Karena \(r(a)=a\) bagi setiap \(a\in A\) dan \(r(x)\in A\text{,}\) himpunan titik tetap \(F\) tepat \(A\text{.}\) Pemetaan \(x\mapsto(x,F(x))\) kontinu dari \(X\) ke \(X\times X\text{.}\) Karena \(X\) Hausdorff, diagonal \(\Delta_X=\{(x,x):x\in X\}\) tertutup. Maka \(A=\{x:F(x)=x\}\) adalah prapeta diagonal tersebut dan tertutup.
Terakhir, biarkan \(X=\R\) bertopologi diskret dan \(Y=\R\) bertopologi standar, lalu ambil identitas himpunan \(p:X\to Y\text{.}\) Setiap prapeta himpunan terbuka di \(Y\) terbuka di \(X\text{,}\) jadi \(p\) kontinu dan jelas surjektif. Namun bagi setiap \(U\subseteq Y\text{,}\) prapeta \(p^{-1}(U)=U\) terbuka dalam \(X\text{.}\) Jadi topologi kuosien yang ditentukan \(p\) adalah topologi diskret, lebih besar daripada topologi standar pada \(Y\text{.}\) Karena topologi aktual kodomain bukan topologi kuosien itu, \(p\) bukan pemetaan kuosien.
<Sebelumnya^AtasBerikutnya>