Bagian Kekontinuan dan Lingkungan
Sekarang kita dapat mendefinisikan kekontinuan dalam kaitannya dengan lingkungan alih-alih menggunakan metrik. Keuntungannya adalah bahwa gagasan ini tidak secara eksplisit bergantung pada keberadaan metrik, sehingga kita akan dapat menggunakan konsep kekontinuan ini untuk sebarang ruang topologi.
Ingatlah bahwa suatu fungsi \(f\) dari ruang metrik \((X, d_X)\) ke ruang metrik \((Y, d_Y)\) kontinu di \(a \in X\) jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(d_X(x,a) \lt \delta\) mengakibatkan \(d_Y(f(x),f(a)) \lt \epsilon\text{.}\) Kita dapat menafsirkan definisi kekontinuan ini dengan mengatakan bahwa untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) di bawah fungsi \(f\text{,}\) prapeta bola terbuka \(B(f(a), \epsilon)\) memuat bola terbuka \(B(a, \delta)\) untuk suatu \(\delta \gt 0\text{.}\) Wajar jika kita bertanya apakah himpunan \(f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\) itu sendiri merupakan bola terbuka. Kita menyelidiki pertanyaan ini dalam aktivitas berikut.
Kegiatan 7.3.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X, d_X)\) ke ruang metrik \((Y, d_Y)\) yang kontinu di \(a \in X\text{.}\) Dengan menggunakan notasi dari paragraf di atas, dalam aktivitas ini kita menentukan apakah \(f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\) harus sama dengan \(B(a, \delta)\) untuk suatu \(\delta\text{.}\)
Definisikan \(f : \R \to \R\) dengan
\begin{equation*}
f(x) = x^2\text{,}
\end{equation*}
dan gunakan metrik Euklides \(d_E\) pada seluruh aktivitas. Asumsikan bahwa \(f\) merupakan fungsi kontinu. Maka \(f\) kontinu di \(x=2\text{.}\)
(a)
Tentukan \(B(f(2), 1)\text{.}\)
(b)
Tentukan \(f^{-1}\left(B(f(2), 1)\right)\text{.}\)
(c)
Apakah \(f^{-1}\left(B(f(2), 1)\right)\) merupakan bola terbuka yang berpusat di \(2\text{?}\) Jelaskan.
Kesimpulan yang dapat ditarik dari
Kegiatan 7.3 adalah bahwa jika
\(f\) kontinu, kita hanya dapat menyimpulkan bahwa prapeta
\(B(f(a), \epsilon)\) memuat sebuah bola terbuka yang berpusat di
\(a\text{.}\) Menurut definisi kekontinuan, jika untuk setiap
\(\epsilon \gt 0\) terdapat
\(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga
\(f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\) memuat bola terbuka
\(B(a, \delta)\text{,}\) maka
\(f\) kontinu di
\(a\text{.}\) Kita merangkum hal ini dalam teorema berikut.
Teorema 7.5.
Misalkan \(f\) suatu fungsi dari ruang metrik \((X, d_X)\) ke ruang metrik \((Y, d_Y)\text{,}\) dan misalkan \(a \in X\text{.}\) Maka \(f\) kontinu di \(a \in X\) jika dan hanya jika, untuk setiap \(\epsilon \gt 0\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga
\begin{equation*}
B(a, \delta) \subseteq f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\text{.}
\end{equation*}
Kita dapat memperluas gagasan kekontinuan ini untuk mendeskripsikan kekontinuan dalam kaitannya dengan lingkungan. Syarat ini nantinya memungkinkan kita meninjau fungsi kontinu sekalipun ruang kita tidak dilengkapi metrik.
Teorema 7.6.
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi. Maka \(f\) kontinu di \(a \in X\) jika dan hanya jika prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi. Untuk membuktikan pernyataan bikondisional ini, kita harus membuktikan kedua implikasinya. Pertama, asumsikan bahwa \(f\) kontinu di suatu titik \(a \in X\text{.}\) Kita akan menunjukkan bahwa untuk setiap lingkungan \(N\) bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{,}\) prapetanya, yaitu \(f^{-1}(N)\) dalam \(X\text{,}\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\text{.}\) Misalkan \(N\) suatu lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\text{,}\) kita perlu menemukan bola terbuka di sekitar \(a\) yang termuat dalam \(f^{-1}(N)\text{.}\) Karena \(N\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\text{,}\) menurut definisi terdapat \(\epsilon \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(f(a), \epsilon) \subseteq N\text{.}\) Karena \(f\) kontinu di \(a\text{,}\) terdapat \(\delta \gt 0\) sedemikian sehingga \(B(a, \delta) \subseteq f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\text{.}\) Jadi, jika \(x \in B(a, \delta)\text{,}\) maka \(f(x) \in B(f(a), \epsilon) \subseteq N\text{.}\) Dengan demikian, \(B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(N)\text{,}\) dan \(f^{-1}(N)\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dalam \(X\text{.}\)
Pembuktian implikasi sebaliknya diserahkan kepada aktivitas berikut.
Kegiatan 7.4.
Misalkan \((X, d_X)\) dan \((Y,d_Y)\) ruang-ruang metrik, dan misalkan \(f : X \to Y\) suatu fungsi. Misalkan \(a \in X\text{.}\) Dalam aktivitas ini, kita membuktikan bahwa jika prapeta setiap lingkungan bagi \(f(a)\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{,}\) maka \(f\) kontinu di \(a\text{.}\)
(a)
Menurut
Teorema 7.5, apa yang perlu kita lakukan untuk menunjukkan bahwa
\(f\) kontinu di
\(a\text{?}\)
(b)
Misalkan \(\epsilon\) lebih besar daripada 0. Mengapa \(B(f(a), \epsilon)\) merupakan lingkungan bagi \(f(a)\) dalam \(Y\text{?}\)
(c)
Apa yang dinyatakan oleh hipotesis kita mengenai \(f^{-1}\left(B(f(a), \epsilon)\right)\text{?}\)
(d)
Apa yang dapat kita simpulkan dari bagian (c)?
(e)
Bagaimana bagian (a)-(d) menunjukkan bahwa \(f\) kontinu di \(a\text{?}\)
Kita mengakhiri bagian ini dengan beberapa fakta penting mengenai lingkungan. Asumsikan bahwa \((X,d)\) suatu ruang metrik dan \(a \in X\text{.}\)
Terdapat suatu lingkungan yang memuat \(a\text{.}\)
Jika \(N\) merupakan lingkungan bagi \(a\) dan \(N \subseteq M\text{,}\) maka \(M\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{.}\)
Jika \(M\) dan \(N\) merupakan lingkungan bagi \(a\text{,}\) maka \(M \cap N\) juga demikian.
Pembuktiannya langsung dan diserahkan kepada
Latihan 8.
