Sebagaimana grup memiliki subgrup dan gelanggang memiliki subgelanggang, ruang vektor juga memiliki substruktur. Misalkan
\(V\) adalah ruang vektor atas suatu lapangan
\(F\) dan
\(W\) suatu himpunan bagian dari
\(V\text{.}\) Maka
\(W\) merupakan
subruang dari
\(V\) jika tertutup terhadap penjumlahan vektor dan perkalian skalar; yaitu, jika
\(u, v \in W\) dan
\(\alpha \in F\text{,}\) maka
\(u + v\) dan
\(\alpha v\) selalu berada dalam
\(W\text{.}\)
Contoh 20.2.1.
Misalkan \(W\) adalah subruang dari \({\mathbb R}^3\) yang didefinisikan oleh \(W = \{ (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) : x_1, x_2 \in {\mathbb R} \}\text{.}\) Kita menyatakan bahwa \(W\) merupakan subruang dari \({\mathbb R}^3\text{.}\) Karena
\begin{align*}
\alpha (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2) & = (\alpha x_1, \alpha(2 x_1 + x_2), \alpha( x_1 - x_2))\\
& = (\alpha x_1, 2(\alpha x_1) + \alpha x_2, \alpha x_1 -\alpha x_2)\text{,}
\end{align*}
\(W\) tertutup terhadap perkalian skalar. Untuk menunjukkan bahwa \(W\) tertutup terhadap penjumlahan vektor, misalkan \(u = (x_1, 2 x_1 + x_2, x_1 - x_2)\) dan \(v = (y_1, 2 y_1 + y_2, y_1 - y_2)\) adalah vektor-vektor dalam \(W\text{.}\) Maka
\begin{equation*}
u + v = (x_1 + y_1, 2( x_1 + y_1) +( x_2 + y_2), (x_1 + y_1) - (x_2+ y_2))\text{.}
\end{equation*}
Contoh 20.2.2.
Misalkan
\(W\) adalah himpunan bagian polinomial dalam
\(F[x]\) yang tidak memiliki suku berpangkat ganjil. Jika
\(p(x)\) dan
\(q(x)\) tidak memiliki suku berpangkat ganjil, maka
\(p(x) + q(x)\) juga tidak memilikinya. Selain itu,
\(\alpha p(x) \in W\) untuk
\(\alpha \in F\) dan
\(p(x) \in W\text{.}\)
Misalkan \(V\) adalah sebarang ruang vektor atas suatu lapangan \(F\) dan andaikan \(v_1, v_2, \ldots,
v_n\) adalah vektor-vektor dalam \(V\) dan \(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n\) adalah skalar-skalar dalam \(F\text{.}\) Setiap vektor \(w\) dalam \(V\) yang berbentuk
\begin{equation*}
w = \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i = \alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \cdots + \alpha_n v_n
\end{equation*}
disebut kombinasi linear dari vektor-vektor \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) Himpunan perentang dari vektor-vektor \(v_1, v_2, \ldots,
v_n\) adalah himpunan vektor yang diperoleh dari semua kombinasi linear yang mungkin dari \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\) Jika \(W\) adalah himpunan perentang dari \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{,}\) kita mengatakan bahwa \(W\) direntang oleh \(v_1, v_2, \ldots, v_n\text{.}\)
