Proposisi 9.2.1.
Misalkan \(G\) dan \(H\) adalah grup. Himpunan \(G \times H\) merupakan grup terhadap operasi \((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\) dengan \(g_1, g_2 \in G\) dan \(h_1, h_2 \in H\text{.}\)
Bagian 9.2 Hasil Kali Langsung
Jika diberikan dua grup \(G\) dan \(H\text{,}\) kita dapat membentuk grup baru dari hasil kali Kartesius \(G\) dan \(H\text{,}\) \(G \times H\text{.}\) Sebaliknya, jika diberikan suatu grup besar, terkadang grup tersebut dapat diuraikan; yaitu, suatu grup terkadang isomorfik dengan hasil kali langsung dua grup yang lebih kecil. Alih-alih mempelajari suatu grup besar \(G\text{,}\) sering kali lebih mudah mempelajari grup-grup komponen dari \(G\text{.}\)
Subbagian 9.2.1 Hasil Kali Langsung Eksternal
Jika \((G,\cdot)\) dan \((H, \circ)\) adalah grup, maka kita dapat menjadikan hasil kali Kartesius \(G\) dan \(H\) sebagai grup baru. Sebagai himpunan, grup kita hanyalah pasangan-pasangan terurut \((g, h) \in G \times H\) dengan \(g \in G\) dan \(h \in H\text{.}\) Kita dapat mendefinisikan operasi biner pada \(G \times H\) dengan
\begin{equation*}
(g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 \circ h_2);
\end{equation*}
yaitu, kita mengalikan elemen-elemen pada koordinat pertama seperti dalam \(G\) dan elemen-elemen pada koordinat kedua seperti dalam \(H\text{.}\) Demi kejelasan, di sini kita telah mencantumkan operasi khusus \(\cdot\) dan \(\circ\) pada masing-masing grup; biasanya kita cukup menuliskan \((g_1, h_1)(g_2, h_2) = (g_1 g_2, h_1 h_2)\text{.}\)
Bukti.
Jelas bahwa operasi biner yang didefinisikan di atas bersifat tertutup. Jika \(e_G\) dan \(e_H\) berturut-turut merupakan identitas grup \(G\) dan \(H\text{,}\) maka \((e_G, e_H)\) adalah identitas dari \(G \times H\text{.}\) Invers dari \((g, h) \in G \times H\) adalah \((g^{-1}, h^{-1})\text{.}\) Sifat asosiatif operasi tersebut mengikuti langsung dari sifat asosiatif \(G\) dan \(H\text{.}\)
Contoh 9.2.2.
Misalkan \({\mathbb R}\) adalah grup bilangan real terhadap penjumlahan. Hasil kali Kartesius \({\mathbb R}\) dengan dirinya sendiri, \({\mathbb R} \times {\mathbb R} = {\mathbb R}^2\text{,}\) juga merupakan grup, dengan operasi grup berupa penjumlahan pada setiap koordinat; yaitu, \((a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)\text{.}\) Identitasnya adalah \((0,0)\) dan invers dari \((a, b)\) adalah \((-a, -b)\text{.}\)
Contoh 9.2.3.
Tinjau
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2 = \{ (0, 0), (0, 1), (1, 0),(1, 1) \}\text{.}
\end{equation*}
Meskipun \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) dan \({\mathbb Z}_4\) sama-sama memuat empat elemen, keduanya tidak isomorfik. Setiap elemen \((a,b)\) dalam \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) selain identitas berorde \(2\text{,}\) karena \((a,b) + (a,b) = (0,0)\text{;}\) namun, \({\mathbb Z}_4\) bersifat siklik.
Grup \(G \times H\) disebut hasil kali langsung eksternal dari \(G\) dan \(H\text{.}\) Perhatikan bahwa penggunaan hanya dua grup untuk membentuk grup baru tidaklah bersifat khusus. Hasil kali langsung
\begin{equation*}
\prod_{i = 1}^n G_i = G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n
\end{equation*}
dari grup-grup \(G_1, G_2, \ldots, G_n\) didefinisikan dengan cara yang persis sama. Jika \(G = G_1 = G_2 = \cdots = G_n\text{,}\) kita sering menuliskan \(G^n\) sebagai pengganti \(G_1 \times G_2 \times \cdots \times G_n\text{.}\)
Contoh 9.2.4.
Grup \({\mathbb Z}_2^n\text{,}\) jika dipandang sebagai himpunan, hanyalah himpunan semua tupel-\(n\) biner. Operasi grupnya adalah “atau eksklusif” dari dua tupel-\(n\) biner. Sebagai contoh,
\begin{equation*}
(\codeword{01011101}) + (\codeword{01001011}) = (\codeword{00010110})\text{.}
\end{equation*}
Grup ini penting dalam teori pengodean, kriptografi, dan banyak bidang ilmu komputer.
Teorema 9.2.5.
Misalkan \((g, h) \in G \times H\text{.}\) Jika \(g\) dan \(h\) berturut-turut memiliki orde hingga \(r\) dan \(s\text{,}\) maka orde \((g, h)\) dalam \(G \times H\) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari \(r\) dan \(s\text{.}\)
Bukti.
Misalkan \(m\) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari \(r\) dan \(s\text{,}\) dan misalkan \(n = |(g,h)|\text{.}\) Maka
\begin{gather*}
(g,h)^m = (g^m, h^m) = (e_G,e_H)\\
(g^n, h^n) = (g, h)^n = (e_G,e_H)\text{.}
\end{gather*}
Dengan demikian, \(n\) harus membagi \(m\text{,}\) dan \(n \leq m\text{.}\) Namun, berdasarkan persamaan kedua, \(r\) dan \(s\) keduanya harus membagi \(n\text{;}\) oleh karena itu, \(n\) merupakan kelipatan persekutuan dari \(r\) dan \(s\text{.}\) Karena \(m\) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari \(r\) dan \(s\text{,}\) \(m \leq n\text{.}\) Akibatnya, \(m\) harus sama dengan \(n\text{.}\)
Korolari 9.2.6.
Misalkan \((g_1, \ldots, g_n) \in \prod G_i\text{.}\) Jika \(g_i\) memiliki orde hingga \(r_i\) dalam \(G_i\text{,}\) maka orde \((g_1, \ldots,
g_n)\) dalam \(\prod G_i\) adalah kelipatan persekutuan terkecil dari \(r_1, \ldots, r_n\text{.}\)
Contoh 9.2.7.
Misalkan \((8, 56) \in {\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\) Karena \(\gcd(8,12) = 4\text{,}\) orde \(8\) adalah \(12/4 = 3\) dalam \({\mathbb Z}_{12}\text{.}\) Demikian pula, orde \(56\) dalam \({\mathbb Z}_{60}\) adalah \(15\text{.}\) Kelipatan persekutuan terkecil dari \(3\) dan \(15\) adalah \(15\text{;}\) dengan demikian, \((8, 56)\) berorde \(15\) dalam \({\mathbb Z}_{12} \times {\mathbb Z}_{60}\text{.}\)
Contoh 9.2.8.
Grup \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) terdiri atas pasangan-pasangan
\begin{align*}
& (0,0), & & (0, 1), & & (0, 2), & & (1,0), & & (1, 1), & & (1, 2)\text{.}
\end{align*}
Dalam kasus ini, tidak seperti pada \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_2\) dan \({\mathbb Z}_4\text{,}\) berlaku bahwa \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3 \cong {\mathbb Z}_6\text{.}\) Kita hanya perlu menunjukkan bahwa \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\) bersifat siklik. Mudah dilihat bahwa \((1,1)\) merupakan pembangkit dari \({\mathbb Z}_2 \times {\mathbb Z}_3\text{.}\)
Teorema berikut menjelaskan secara tepat kapan hasil kali langsung dua grup siklik bersifat siklik.
Teorema 9.2.9.
Grup \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_{mn}\) jika dan hanya jika \(\gcd(m,n)=1\text{.}\)
Bukti.
Pertama-tama kita akan menunjukkan bahwa jika \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n \cong {\mathbb Z}_{mn}\text{,}\) maka \(\gcd(m, n) = 1\text{.}\) Kita akan membuktikan kontraposisinya; yaitu, kita akan menunjukkan bahwa jika \(\gcd(m, n) = d \gt 1\text{,}\) maka \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\) tidak mungkin siklik. Perhatikan bahwa \(mn/d\) habis dibagi oleh \(m\) maupun \(n\text{;}\) dengan demikian, untuk setiap elemen \((a,b) \in {\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{,}\)
\begin{equation*}
\underbrace{(a,b) + (a,b)+ \cdots + (a,b)}_{mn/d \; \text{kali}} = (0, 0)\text{.}
\end{equation*}
Oleh karena itu, tidak ada \((a, b)\) yang dapat membangkitkan seluruh \({\mathbb Z}_m \times {\mathbb Z}_n\text{.}\)
Kebalikannya mengikuti langsung dari Teorema 9.2.5 karena \(\lcm(m,n) = mn\) jika dan hanya jika \(\gcd(m,n)=1\text{.}\)
Korolari 9.2.10.
Misalkan \(n_1, \ldots, n_k\) adalah bilangan bulat positif. Maka
\begin{equation*}
\prod_{i=1}^k {\mathbb Z}_{n_i} \cong {\mathbb Z}_{n_1 \cdots n_k}
\end{equation*}
jika dan hanya jika \(\gcd( n_i, n_j) =1\) untuk \(i \neq j\text{.}\)
Korolari 9.2.11.
Jika
\begin{equation*}
m = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}\text{,}
\end{equation*}
dengan \(p_i\) merupakan bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_m \cong {\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}\text{.}
\end{equation*}
Bukti.
Karena faktor persekutuan terbesar dari \(p_i^{e_i}\) dan \(p_j^{e_j}\) adalah \(1\) untuk \(i \neq j\text{,}\) pembuktiannya mengikuti Korolari 9.2.10.
Dalam Bab 13, kita akan membuktikan bahwa semua grup abelian hingga isomorfik dengan hasil kali langsung berbentuk
\begin{equation*}
{\mathbb Z}_{p_1^{e_1}} \times \cdots \times {\mathbb Z}_{p_k^{e_k}}
\end{equation*}
dengan \(p_1, \ldots, p_k\) merupakan bilangan-bilangan prima (yang tidak harus berbeda).
Subbagian 9.2.2 Hasil Kali Langsung Internal
Hasil kali langsung eksternal dua grup membentuk suatu grup besar dari dua grup yang lebih kecil. Kita ingin dapat membalik proses ini dan menguraikan suatu grup menjadi komponen-komponen hasil kali langsungnya dengan mudah; yaitu, kita ingin dapat menentukan kapan suatu grup isomorfik dengan hasil kali langsung dua subgrupnya.
Misalkan \(G\) suatu grup dengan subgrup \(H\) dan \(K\) yang memenuhi syarat-syarat berikut.
-
\(G = HK = \{ hk : h \in H, k \in K \}\text{;}\)
-
\(H \cap K = \{ e \}\text{;}\)
-
\(hk = kh\) untuk semua \(k \in K\) dan \(h \in H\text{.}\)
Maka \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari \(H\) dan \(K\text{.}\)
Contoh 9.2.12.
Grup \(U(8)\) merupakan hasil kali langsung internal dari
\begin{equation*}
H = \{1, 3 \} \quad \text{dan} \quad K = \{1, 5 \}\text{.}
\end{equation*}
Contoh 9.2.13.
Grup dihedral \(D_6\) merupakan hasil kali langsung internal dari dua subgrupnya
\begin{equation*}
H = \{\identity, r^3 \} \quad \text{dan} \quad K = \{\identity, r^2, r^4, s, r^2s, r^4 s \}\text{.}
\end{equation*}
Dapat ditunjukkan dengan mudah bahwa \(K \cong S_3\text{;}\) akibatnya, \(D_6 \cong {\mathbb Z}_2 \times S_3\text{.}\)
Contoh 9.2.14.
Tidak setiap grup dapat ditulis sebagai hasil kali langsung internal dari dua subgrup sejatinya. Jika grup \(S_3\) merupakan hasil kali langsung internal dari subgrup-subgrup sejatinya \(H\) dan \(K\text{,}\) maka salah satu subgrup, katakanlah \(H\text{,}\) harus berorde \(3\text{.}\) Dalam hal ini \(H\) adalah subgrup \(\{ (1), (123), (132) \}\text{.}\) Subgrup \(K\) harus berorde \(2\text{,}\) tetapi subgrup mana pun yang kita pilih sebagai \(K\text{,}\) syarat \(hk = kh\) tidak akan pernah terpenuhi untuk \(h \in H\) dan \(k \in K\text{.}\)
Teorema 9.2.15.
Misalkan \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari subgrup \(H\) dan \(K\text{.}\) Maka \(G\) isomorfik dengan \(H \times K\text{.}\)
Bukti.
Karena \(G\) merupakan hasil kali langsung internal, kita dapat menulis setiap elemen \(g \in G\) sebagai \(g =hk\) untuk suatu \(h \in H\) dan suatu \(k \in K\text{.}\) Definisikan pemetaan \(\phi : G \rightarrow H \times K\) dengan \(\phi(g) = (h,k)\text{.}\)
Masalah pertama yang harus kita hadapi adalah menunjukkan bahwa \(\phi\) merupakan pemetaan yang terdefinisi dengan baik; yaitu, kita harus menunjukkan bahwa \(h\) dan \(k\) ditentukan secara tunggal oleh \(g\text{.}\) Andaikan \(g = hk=h'k'\text{.}\) Maka \(h^{-1} h'= k (k')^{-1}\) berada dalam \(H\) maupun \(K\text{,}\) sehingga elemen tersebut harus merupakan identitas. Oleh karena itu, \(h = h'\) dan \(k = k'\text{,}\) yang membuktikan bahwa \(\phi\) memang terdefinisi dengan baik.
Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) mempertahankan operasi grup, misalkan \(g_1 = h_1 k_1\) dan \(g_2 = h_2 k_2\text{,}\) lalu perhatikan bahwa
\begin{align*}
\phi( g_1 g_2 ) & = \phi( h_1 k_1 h_2 k_2 )\\
& = \phi(h_1 h_2 k_1 k_2)\\
& = (h_1 h_2, k_1 k_2)\\
& = (h_1, k_1)( h_2, k_2)\\
& = \phi( g_1 ) \phi( g_2 )\text{.}
\end{align*}
Pembuktian bahwa \(\phi\) injektif dan surjektif diserahkan sebagai latihan.
Contoh 9.2.16.
Grup \({\mathbb Z}_6\) merupakan hasil kali langsung internal yang isomorfik dengan \(\{ 0, 2, 4\} \times \{ 0, 3 \}\text{.}\)
Kita dapat memperluas definisi hasil kali langsung internal dari \(G\) ke suatu koleksi subgrup \(H_1, H_2, \ldots, H_n\) dari \(G\text{,}\) dengan mensyaratkan bahwa
-
\(G = H_1 H_2 \cdots H_n = \{ h_1 h_2 \cdots h_n : h_i \in H_i \}\text{;}\)
-
\(H_i \cap \langle \cup_{j \neq i} H_j \rangle = \{ e \}\text{;}\)
-
\(h_i h_j = h_j h_i\) untuk semua \(h_i \in H_i\) dan \(h_j \in H_j\text{.}\)
Pembuktian teorema berikut diserahkan sebagai latihan.
Teorema 9.2.17.
Misalkan \(G\) merupakan hasil kali langsung internal dari subgrup-subgrup \(H_i\text{,}\) dengan \(i = 1, 2, \ldots, n\text{.}\) Maka \(G\) isomorfik dengan \(\prod_i H_i\text{.}\)
