Lewati ke konten utama

Latihan 2.4 Latihan

1.

Buktikan bahwa
\begin{equation*} 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \end{equation*}
untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)
Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(1): [1(1 + 1)(2(1) + 1)]/6 = 1 = 1^2\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 = [k(k + 1)(2k + 1)]/6\) benar. Maka
\begin{align*} 1^2 + 2^2 + \cdots + k^2 + (k + 1)^2 & = [k(k + 1)(2k + 1)]/6 + (k + 1)^2\\ & = [(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)]/6\text{,} \end{align*}
sehingga \(S(k + 1)\) benar. Jadi, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

2.

Buktikan bahwa
\begin{equation*} 1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = \frac{n^2(n + 1)^2}{4} \end{equation*}
untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

3.

Buktikan bahwa \(n! \gt 2^n\) untuk \(n \geq 4\text{.}\)
Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(4): 4! = 24 \gt 16 =2^4\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): k! \gt 2^k\) benar. Maka \((k + 1)! = k! (k + 1) \gt 2^k \cdot 2 = 2^{k + 1}\text{,}\) sehingga \(S(k + 1)\) benar. Jadi, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

4.

Buktikan bahwa
\begin{equation*} x + 4x + 7x + \cdots + (3n - 2)x = \frac{n(3n - 1)x}{2} \end{equation*}
untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

5.

Buktikan bahwa \(10^{n + 1} + 10^n + 1\) habis dibagi \(3\) untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

6.

Buktikan bahwa \(4 \cdot 10^{2n} + 9 \cdot 10^{2n - 1} + 5\) habis dibagi \(99\) untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

7.

Tunjukkan bahwa
\begin{equation*} \sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} a_k\text{.} \end{equation*}

8.

Buktikan aturan Leibniz untuk \(f^{(n)} (x)\text{,}\) dengan \(f^{(n)}\) turunan ke-\(n\) dari \(f\text{;}\) yaitu, tunjukkan bahwa
\begin{equation*} (fg)^{(n)}(x) = \sum_{k = 0}^{n} \binom{n}{k} f^{(k)}(x) g^{(n - k)}(x)\text{.} \end{equation*}
Petunjuk.
Ikuti pembuktian dalam Contoh 2.1.4.

9.

Gunakan induksi untuk membuktikan bahwa \(1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^n = 2^{n + 1} - 1\) untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

10.

Buktikan bahwa
\begin{equation*} \frac{1}{2}+ \frac{1}{6} + \cdots + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1} \end{equation*}
untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)

11.

Jika \(x\) merupakan bilangan real tak negatif, tunjukkan bahwa \((1 + x)^n - 1 \geq nx\) untuk \(n = 0, 1, 2, \ldots\text{.}\)
Petunjuk.
Kasus dasar, \(S(0): (1 + x)^0 - 1 = 0 \geq 0 = 0 \cdot x\text{,}\) benar. Andaikan \(S(k): (1 + x)^k -1 \geq kx\) benar. Maka
\begin{align*} (1 + x)^{k + 1} - 1 & = (1 + x)(1 + x)^k -1\\ & = (1 + x)^k + x(1 + x)^k - 1\\ & \geq kx + x(1 + x)^k\\ & \geq kx + x\\ & = (k + 1)x\text{,} \end{align*}
sehingga \(S(k + 1)\) benar. Oleh karena itu, \(S(n)\) benar untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{.}\)

12. Himpunan Kuasa.

Misalkan \(X\) suatu himpunan. Definisikan himpunan kuasa dari \(X\text{,}\) yang dinotasikan dengan \({\mathcal P}(X)\text{,}\) sebagai himpunan semua himpunan bagian dari \(X\text{.}\) Sebagai contoh,
\begin{equation*} {\mathcal P}( \{a, b\} ) = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a, b\} \}\text{.} \end{equation*}
Untuk setiap bilangan bulat positif \(n\text{,}\) tunjukkan bahwa suatu himpunan yang mempunyai tepat \(n\) elemen memiliki himpunan kuasa dengan tepat \(2^n\) elemen.

13.

Buktikan bahwa kedua prinsip induksi matematis yang dinyatakan dalam Bagian 2.1 ekuivalen.

14.

Tunjukkan bahwa Prinsip Urutan Baik untuk bilangan asli mengakibatkan bahwa \(1\) merupakan bilangan asli terkecil. Gunakan hasil ini untuk menunjukkan bahwa Prinsip Urutan Baik mengakibatkan Prinsip Induksi Matematis; yaitu, tunjukkan bahwa jika \(S \subset {\mathbb N}\) sedemikian sehingga \(1 \in S\) dan \(n + 1 \in S\) setiap kali \(n \in S\text{,}\) maka \(S = {\mathbb N}\text{.}\)

15.

Untuk setiap pasangan bilangan \(a\) dan \(b\) berikut, hitung \(\gcd(a,b)\) dan tentukan bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(\gcd(a,b) = ra + sb\text{.}\)
  1. \(14\) dan \(39\)
  2. \(234\) dan \(165\)
  3. \(1739\) dan \(9923\)
  4. \(471\) dan \(562\)
  5. \(23771\) dan \(19945\)
  6. \(-4357\) dan \(3754\)

16.

Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan bulat tak nol. Jika terdapat bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(ar + bs =1\text{,}\) tunjukkan bahwa \(a\) dan \(b\) relatif prima.

17. Bilangan Fibonacci.

Bilangan Fibonacci adalah
\begin{equation*} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots\text{.} \end{equation*}
Kita dapat mendefinisikannya secara induktif dengan \(f_1 = 1\text{,}\) \(f_2 = 1\text{,}\) dan \(f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n\) untuk \(n \in {\mathbb N}\text{.}\)
  1. Buktikan bahwa \(f_n \lt 2^n\text{.}\)
  2. Buktikan bahwa \(f_{n + 1} f_{n - 1} = f^2_n + (-1)^n\text{,}\) \(n \geq 2\text{.}\)
  3. Buktikan bahwa \(f_n = [(1 + \sqrt{5}\, )^n - (1 - \sqrt{5}\, )^n]/ 2^n \sqrt{5}\text{.}\)
  4. Tunjukkan bahwa \(\phi = \lim_{n \rightarrow \infty} f_{n + 1} / f_n = (\sqrt{5} + 1)/2\text{.}\) Konstanta \(\phi\) dikenal sebagai nisbah emas.
  5. Buktikan bahwa \(f_n\) dan \(f_{n + 1}\) relatif prima.
Petunjuk.
Untuk (a) dan (b), gunakan induksi matematis. (c) Tunjukkan bahwa \(f_1 = 1\text{,}\) \(f_2 = 1\text{,}\) dan \(f_{n + 2} = f_{n + 1} + f_n\text{.}\) (e) Gunakan bagian (b) dan Latihan 2.4.16.

18.

Misalkan \(a\) dan \(b\) bilangan bulat sedemikian sehingga \(\gcd(a,b) = 1\text{.}\) Misalkan \(r\) dan \(s\) bilangan bulat sedemikian sehingga \(ar + bs = 1\text{.}\) Buktikan bahwa
\begin{equation*} \gcd(a,s) = \gcd(r,b) = \gcd(r,s) = 1\text{.} \end{equation*}

19.

Misalkan \(x, y \in {\mathbb N}\) relatif prima. Jika \(xy\) merupakan kuadrat sempurna, buktikan bahwa \(x\) dan \(y\) keduanya harus merupakan kuadrat sempurna.
Petunjuk.
Gunakan Teorema Dasar Aritmetika.

20.

Dengan menggunakan algoritma pembagian, tunjukkan bahwa setiap kuadrat sempurna berbentuk \(4k\) atau \(4k + 1\) untuk suatu bilangan bulat tak negatif \(k\text{.}\)

21.

Misalkan \(a, b, r, s\) relatif prima secara berpasangan dan
\begin{align*} a^2 + b^2 & = r^2\\ a^2 - b^2 & = s^2\text{.} \end{align*}
Buktikan bahwa \(a\text{,}\) \(r\text{,}\) dan \(s\) ganjil, sedangkan \(b\) genap.

22.

Misalkan \(n \in {\mathbb N}\text{.}\) Gunakan algoritma pembagian untuk membuktikan bahwa setiap bilangan bulat kongruen modulo \(n\) dengan tepat salah satu dari bilangan bulat \(0, 1, \ldots, n-1\text{.}\) Simpulkan bahwa jika \(r\) bilangan bulat, maka terdapat tepat satu \(s\) dalam \({\mathbb Z}\) sedemikian sehingga \(0 \leq s \lt n\) dan \([r] = [s]\text{.}\) Jadi, bilangan bulat memang terpartisi oleh kekongruenan modulo \(n\text{.}\)

23.

Definisikan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan bulat tak nol \(a\) dan \(b\text{,}\) yang dinotasikan dengan \(\lcm(a,b)\text{,}\) sebagai bilangan bulat tak negatif \(m\) sedemikian sehingga \(a\) dan \(b\) keduanya membagi \(m\text{,}\) dan jika \(a\) dan \(b\) membagi suatu bilangan bulat lain \(n\text{,}\) maka \(m\) juga membagi \(n\text{.}\) Buktikan bahwa terdapat kelipatan persekutuan terkecil yang tunggal untuk sebarang dua bilangan bulat \(a\) dan \(b\text{.}\)
Petunjuk.
Gunakan Prinsip Urutan Baik dan algoritma pembagian.

24.

Jika \(d= \gcd(a, b)\) dan \(m = \lcm(a, b)\text{,}\) buktikan bahwa \(dm = |ab|\text{.}\)

25.

Tunjukkan bahwa \(\lcm(a,b) = ab\) jika dan hanya jika \(\gcd(a,b) = 1\text{.}\)

26.

Buktikan bahwa \(\gcd(a,c) = \gcd(b,c) =1\) jika dan hanya jika \(\gcd(ab,c) = 1\) untuk bilangan bulat \(a\text{,}\) \(b\text{,}\) dan \(c\text{.}\)

27.

Misalkan \(a, b, c \in {\mathbb Z}\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(\gcd(a,b) = 1\) dan \(a \mid bc\text{,}\) maka \(a \mid c\text{.}\)
Petunjuk.
Karena \(\gcd(a,b) = 1\text{,}\) terdapat bilangan bulat \(r\) dan \(s\) sedemikian sehingga \(ar + bs = 1\text{.}\) Jadi, \(acr + bcs = c\text{.}\)

28.

Misalkan \(p \geq 2\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(2^p - 1\) prima, maka \(p\) juga harus prima.

29.

Buktikan bahwa terdapat tak hingga banyaknya bilangan prima berbentuk \(6n + 5\text{.}\)
Petunjuk.
Setiap bilangan prima harus berbentuk \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(6n + 1\text{,}\) atau \(6n + 5\text{.}\) Misalkan hanya terdapat berhingga banyaknya bilangan prima berbentuk \(6k + 5\text{.}\)

30.

Buktikan bahwa terdapat tak hingga banyaknya bilangan prima berbentuk \(4n - 1\text{.}\)

31.

Dengan menggunakan fakta bahwa \(2\) prima, tunjukkan bahwa tidak terdapat bilangan bulat \(p\) dan \(q\) sedemikian sehingga \(p^2 = 2 q^2\text{.}\) Tunjukkan bahwa oleh karena itu \(\sqrt{2}\) tidak mungkin merupakan bilangan rasional.
Sblm.Paling AtasLanjut