Lewati ke konten utama

Bagian 6.1 Koset

Misalkan \(G\) suatu grup dan \(H\) subgrup dari \(G\text{.}\) Definisikan koset kiri dari \(H\) dengan wakil \(g \in G\) sebagai himpunan
\begin{equation*} gH = \{ gh : h \in H \}\text{.} \end{equation*}
Koset kanan dapat didefinisikan secara serupa dengan
\begin{equation*} Hg = \{ hg : h \in H \}\text{.} \end{equation*}
Jika koset kiri dan kanan berimpit, atau jika jenis koset yang dimaksud sudah jelas dari konteks, kita akan menggunakan kata koset tanpa menentukan kiri atau kanan.

Contoh 6.1.1.

Misalkan \(H\) subgrup dari \({\mathbb Z}_6\) yang terdiri atas elemen \(0\) dan \(3\text{.}\) Koset-kosetnya adalah
\begin{gather*} 0 + H = 3 + H = \{ 0, 3 \}\\ 1 + H = 4 + H = \{ 1, 4 \}\\ 2 + H = 5 + H = \{ 2, 5 \}\text{.} \end{gather*}
Kita akan selalu menuliskan koset subgrup dari \({\mathbb Z}\) dan \({\mathbb Z}_n\) dengan notasi aditif yang digunakan untuk koset di sini. Dalam grup komutatif, koset kiri dan kanan selalu identik.

Contoh 6.1.2.

Misalkan \(H\) subgrup dari \(S_3\) yang didefinisikan oleh permutasi \(\{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{.}\) Koset kiri dari \(H\) adalah
\begin{gather*} (1)H = (1 \, 2 \, 3)H = (1 \, 3 \, 2)H = \{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\ (1 \, 2)H = (1 \, 3)H = (2 \, 3)H = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{gather*}
Koset kanan dari \(H\) tepat sama dengan koset kirinya:
\begin{gather*} H(1) = H(1 \, 2 \, 3) = H(1 \, 3 \, 2) = \{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\\ H(1 \, 2) = H(1 \, 3) = H(2 \, 3) = \{ (1 \, 2), (1 \, 3), (2 \, 3) \}\text{.} \end{gather*}
Koset kiri tidak selalu sama dengan koset kanan. Misalkan \(K\) subgrup dari \(S_3\) yang didefinisikan oleh permutasi \(\{(1), (1 \, 2)\}\text{.}\) Maka koset kiri dari \(K\) adalah
\begin{gather*} (1)K = (1 \, 2)K = \{(1), (1 \, 2)\}\\ (1 \, 3)K = (1 \, 2 \, 3)K = \{(1 \, 3), (1 \, 2 \, 3)\}\\ (2 \, 3)K = (1 \, 3 \, 2)K = \{(2 \, 3), (1 \, 3 \, 2)\}; \end{gather*}
sedangkan koset kanan dari \(K\) adalah
\begin{gather*} K(1) = K(1 \, 2) = \{(1), (1 \, 2)\}\\ K(1 \, 3) = K(1 \, 3 \, 2) = \{(1 \, 3), (1 \, 3 \, 2)\}\\ K(2 \, 3) = K(1 \, 2 \, 3) = \{(2 \, 3), (1 \, 2 \, 3)\}\text{.} \end{gather*}
Lema berikut sangat berguna ketika membahas koset. (Pembuktiannya diserahkan sebagai latihan.)
Dalam semua contoh kita, koset dari suatu subgrup \(H\) mempartisi grup yang lebih besar \(G\text{.}\) Teorema berikut menyatakan bahwa hal ini selalu berlaku.

Bukti.
Misalkan \(g_1 H\) dan \(g_2 H\) dua koset dari \(H\) dalam \(G\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa \(g_1 H \cap g_2 H = \emptyset\) atau \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Misalkan \(g_1 H \cap g_2 H \neq \emptyset\) dan \(a \in g_1 H \cap g_2 H\text{.}\) Maka berdasarkan definisi koset kiri, berlaku \(a = g_1 h_1 = g_2 h_2\) untuk suatu elemen \(h_1\) dan \(h_2\) dalam \(H\text{.}\) Jadi, \(g_1 = g_2 h_2 h_1^{-1}\) atau \(g_1 \in g_2 H\text{.}\) Berdasarkan Lema 6.1.3, berlaku \(g_1 H = g_2 H\text{.}\)

Catatan 6.1.5.

Koset kiri tidak mempunyai keistimewaan khusus dalam teorema ini. Koset kanan juga mempartisi \(G\text{;}\) pembuktian fakta ini tepat sama dengan pembuktian untuk koset kiri, kecuali bahwa semua perkalian grup dilakukan pada sisi lain dari \(H\text{.}\)
Misalkan \(G\) suatu grup dan \(H\) subgrup dari \(G\text{.}\) Definisikan indeks dari \(H\) dalam \(G\) sebagai banyaknya koset kiri dari \(H\) dalam \(G\text{.}\) Indeks tersebut dinotasikan dengan \([G:H]\text{.}\)

Contoh 6.1.6.

Misalkan \(G= {\mathbb Z}_6\) dan \(H = \{ 0, 3 \}\text{.}\) Maka \([G:H] = 3\text{.}\)

Contoh 6.1.7.

Misalkan \(G= S_3\text{,}\) \(H = \{ (1),(1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2) \}\text{,}\) dan \(K= \{ (1), (1 \, 2) \}\text{.}\) Maka \([G:H] = 2\) dan \([G:K] = 3\text{.}\)

Bukti.
Misalkan \({\mathcal L}_H\) dan \({\mathcal R}_H\) masing-masing menyatakan himpunan koset kiri dan kanan dari \(H\) dalam \(G\text{.}\) Jika kita dapat mendefinisikan pemetaan bijektif \(\phi : {\mathcal L}_H \rightarrow {\mathcal R}_H\text{,}\) maka teorema tersebut terbukti. Jika \(gH \in {\mathcal L}_H\text{,}\) definisikan \(\phi( gH ) = Hg^{-1}\text{.}\) Berdasarkan Lema 6.1.3, pemetaan \(\phi\) terdefinisi dengan baik; artinya, jika \(g_1 H = g_2 H\text{,}\) maka \(H g_1^{-1} = H g_2^{-1}\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) satu-ke-satu, misalkan
\begin{equation*} H g_1^{-1} = \phi( g_1 H ) = \phi( g_2 H ) = H g_2^{-1}\text{.} \end{equation*}
Sekali lagi berdasarkan Lema 6.1.3, berlaku \(g_1 H = g_2 H\text{.}\) Pemetaan \(\phi\) surjektif karena \(\phi(g^{-1} H ) = H g\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut