Teorema 5.2.2.
Grup dihedral \(D_n\) merupakan subgrup dari \(S_n\) yang berorde \(2n\text{.}\)
Bagian 5.2 Grup Dihedral
Jenis khusus grup permutasi lainnya adalah grup dihedral. Ingat kembali grup simetri segitiga sama sisi dalam Bab 3. Grup semacam itu terdiri atas gerak tegar suatu poligon beraturan bersisi \(n\text{,}\) atau segi-\(n\text{.}\) Untuk \(n = 3, 4, \ldots\text{,}\) kita mendefinisikan grup dihedral ke-n sebagai grup gerak tegar segi-\(n\) beraturan. Kita akan melambangkan grup ini dengan \(D_n\text{.}\) Kita dapat menomori titik-titik sudut segi-\(n\) beraturan dengan \(1, 2, \ldots,
n\) (Gambar 5.2.1). Perhatikan bahwa terdapat tepat \(n\) pilihan untuk menggantikan titik sudut pertama. Jika kita menggantikan titik sudut pertama dengan \(k\text{,}\) maka titik sudut kedua harus digantikan oleh titik sudut \(k+1\) atau titik sudut \(k-1\text{;}\) jadi, terdapat \(2n\) gerak tegar yang mungkin bagi segi-\(n\) tersebut. Hasil ini dirangkum dalam teorema berikut.
Teorema 5.2.3.
Grup \(D_n\text{,}\) \(n \geq 3\text{,}\) terdiri atas semua hasil kali dua elemen \(r\) dan \(s\text{,}\) dengan \(r\) berorde \(n\) dan \(s\) berorde \(2\text{,}\) serta kedua elemen ini memenuhi relasi \(srs = r^{-1}\text{.}\)
Bukti.
Gerak yang mungkin bagi segi-\(n\) beraturan berupa pencerminan atau rotasi (Gambar 5.2.4). Terdapat tepat \(n\) rotasi yang mungkin:
\begin{equation*}
\identity, \frac{360^{\circ} }{n}, 2 \cdot \frac{360^{\circ} }{n}, \ldots, (n-1) \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.}
\end{equation*}
Kita akan melambangkan rotasi \(360^{\circ} /n\) dengan \(r\text{.}\) Rotasi \(r\) membangkitkan semua rotasi lainnya. Yaitu,
\begin{equation*}
r^k = k \cdot \frac{360^{\circ} }{n}\text{.}
\end{equation*}
Beri label pada \(n\) pencerminan sebagai \(s_1, s_2, \ldots, s_n\text{,}\) dengan \(s_k\) merupakan pencerminan yang mempertahankan titik sudut \(k\text{.}\) Terdapat dua kasus pencerminan, bergantung pada apakah \(n\) genap atau ganjil. Jika jumlah titik sudut genap, maka dua titik sudut dipertahankan oleh suatu pencerminan, dan \(s_1 = s_{n/2 + 1}, s_2 = s_{n/2 + 2}, \ldots, s_{n/2} = s_n\text{.}\) Jika jumlah titik sudut ganjil, maka hanya satu titik sudut yang dipertahankan oleh suatu pencerminan dan \(s_1, s_2, \ldots,
s_n\) semuanya berbeda (Gambar 5.2.5). Dalam kedua kasus, orde setiap \(s_k\) adalah dua. Misalkan \(s = s_1\text{.}\) Maka \(s^2 = 1\) dan \(r^n = 1\text{.}\) Karena setiap gerak tegar \(t\) dari segi-\(n\) menggantikan titik sudut pertama dengan titik sudut \(k\text{,}\) titik sudut kedua harus digantikan oleh \(k+1\) atau \(k-1\text{.}\) Jika titik sudut kedua digantikan oleh \(k+1\text{,}\) maka \(t = r^k\text{.}\) Jika titik sudut kedua digantikan oleh \(k-1\text{,}\) maka \(t = r^k s\text{.}\) Jadi, \(r\) dan \(s\) membangkitkan \(D_n\text{.}\) Artinya, \(D_n\) terdiri atas semua hasil kali hingga dari \(r\) dan \(s\text{,}\)
1
Karena kita berada dalam grup abstrak, kita akan menggunakan konvensi bahwa elemen grup dikalikan dari kiri ke kanan.
\begin{equation*}
D_n = \{1, r, r^2, \ldots, r^{n-1}, s, rs, r^2 s, \ldots, r^{n-1} s\}\text{.}
\end{equation*}
Bukti bahwa \(srs = r^{-1}\) diserahkan sebagai latihan.
Contoh 5.2.6.
Grup gerak tegar persegi, \(D_4\text{,}\) terdiri atas delapan elemen. Dengan titik-titik sudut bernomor \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) \(4\) (Gambar 5.2.7), rotasinya adalah
\begin{align*}
r & = (1 \, 2 \, 3 \, 4)\\
r^2 & = (1 \, 3)(2 \, 4)\\
r^3 & = (1 \, 4 \, 3 \, 2)\\
r^4 & = (1)
\end{align*}
dan pencerminannya adalah
\begin{align*}
s_1 & = (2 \, 4)\\
s_2 & = (1 \, 3)\text{.}
\end{align*}
Orde \(D_4\) adalah \(8\text{.}\) Dua elemen lainnya adalah
\begin{align*}
r s_1 & = (1 \, 2)(3 \, 4)\\
r^3 s_1 & = (1 \, 4)(2 \, 3)\text{.}
\end{align*}
Subbagian 5.2.1 Grup Gerak Kubus
Kita dapat menyelidiki grup gerak tegar objek geometris selain poligon beraturan bersisi \(n\) untuk memperoleh contoh grup permutasi yang menarik. Mari kita tinjau grup gerak tegar suatu kubus. Gerak tegar yang dimaksud adalah rotasi dengan sumbu rotasi melalui pasangan sisi, rusuk, atau titik sudut yang berhadapan. Salah satu pertanyaan pertama yang dapat kita ajukan tentang grup ini adalah “berapakah ordenya?” Kubus memiliki \(6\) sisi. Jika suatu sisi tertentu menghadap ke atas, terdapat empat rotasi kubus yang mungkin dan tetap mempertahankan sisi tersebut menghadap ke atas. Jadi, orde grup ini adalah \(6 \cdot 4 = 24\text{.}\) Kita baru saja membuktikan proposisi berikut.
Proposisi 5.2.8.
Grup gerak tegar suatu kubus memuat \(24\) elemen.
Teorema 5.2.9.
Grup gerak tegar suatu kubus adalah \(S_4\text{.}\)
Bukti.
Dari Proposisi 5.2.8, kita telah mengetahui bahwa grup gerak kubus memiliki \(24\) elemen, sama banyaknya dengan elemen dalam \(S_4\text{.}\) Terdapat tepat empat diagonal ruang dalam kubus. Jika diagonal-diagonal ini kita beri label \(1\text{,}\) \(2\text{,}\) \(3\text{,}\) dan \(4\text{,}\) kita harus menunjukkan bahwa grup gerak kubus menghasilkan setiap permutasi diagonal tersebut (Gambar 5.2.10). Jika kita dapat memperoleh semua permutasi ini, maka \(S_4\) dan grup gerak tegar kubus harus sama. Untuk memperoleh suatu transposisi, kita dapat merotasi kubus sebesar \(180^{\circ}\) terhadap sumbu yang menghubungkan titik tengah rusuk-rusuk berhadapan (Gambar 5.2.11). Terdapat enam sumbu semacam itu, yang menghasilkan semua transposisi dalam \(S_4\text{.}\) Karena setiap elemen dalam \(S_4\) merupakan hasil kali sejumlah hingga transposisi, grup gerak kubus haruslah \(S_4\text{.}\)
