Lewati ke konten utama

Bagian 14.1 Grup yang Beraksi pada Himpunan

Misalkan \(X\) adalah suatu himpunan dan \(G\) adalah suatu grup. Suatu aksi (kiri) dari \(G\) pada \(X\) adalah pemetaan \(G \times X \rightarrow X\) yang diberikan oleh \((g,x) \mapsto gx\text{,}\) dengan
  1. \(ex = x\) untuk semua \(x \in X\text{;}\)
  2. \((g_1 g_2)x = g_1(g_2 x)\) untuk semua \(x \in X\) dan semua \(g_1, g_2 \in G\text{.}\)
Dalam keadaan ini, \(X\) disebut himpunan-\(G\). Perhatikan bahwa kita tidak mensyaratkan \(X\) berhubungan dengan \(G\) dengan cara apa pun. Memang, setiap grup \(G\) beraksi pada setiap himpunan \(X\) melalui aksi trivial \((g,x) \mapsto x\text{;}\) namun, aksi grup lebih menarik apabila himpunan \(X\) memiliki hubungan tertentu dengan grup \(G\text{.}\)

Contoh 14.1.1.

Misalkan \(G = GL_2( {\mathbb R} )\) dan \(X = {\mathbb R}^2\text{.}\) Maka \(G\) beraksi pada \(X\) melalui perkalian kiri. Jika \(v \in {\mathbb R}^2\) dan \(I\) adalah matriks identitas, maka \(Iv = v\text{.}\) Jika \(A\) dan \(B\) adalah matriks invertibel \(2 \times 2\text{,}\) maka \((AB)v = A(Bv)\) karena perkalian matriks bersifat asosiatif.

Contoh 14.1.2.

Misalkan \(G = D_4\) adalah grup simetri sebuah persegi. Jika \(X = \{ 1, 2, 3, 4 \}\) adalah himpunan titik sudut persegi tersebut, maka kita dapat memandang \(D_4\) sebagai himpunan yang terdiri atas permutasi-permutasi berikut:
\begin{equation*} \{ (1), (1 \, 3), (2 \, 4), (1 \, 4 \, 3 \, 2), (1 \, 2 \, 3 \, 4), (1 \, 2)(3 \, 4), (1 \, 4)(2 \, 3), (1 \, 3)(2 \, 4) \}\text{.} \end{equation*}
Unsur-unsur \(D_4\) beraksi pada \(X\) sebagai fungsi. Permutasi \((1 \, 3)(2 \, 4)\) beraksi pada titik sudut \(1\) dengan memetakannya ke titik sudut \(3\text{,}\) pada titik sudut \(2\) dengan memetakannya ke titik sudut \(4\text{,}\) dan seterusnya. Mudah dilihat bahwa aksi tersebut memenuhi aksioma-aksioma aksi grup.
Secara umum, jika \(X\) adalah sebarang himpunan dan \(G\) adalah subgrup dari \(S_X\text{,}\) yaitu grup semua permutasi yang beraksi pada \(X\text{,}\) maka \(X\) merupakan himpunan-\(G\) di bawah aksi grup
\begin{equation*} (\sigma, x) \mapsto \sigma(x) \end{equation*}
untuk \(\sigma \in G\) dan \(x \in X\text{.}\)

Contoh 14.1.3.

Jika kita menetapkan \(X = G\text{,}\) maka setiap grup \(G\) beraksi pada dirinya sendiri melalui representasi reguler kiri; yaitu, \((g,x) \mapsto \lambda_g(x) = gx\text{,}\) dengan \(\lambda_g\) sebagai perkalian kiri:
\begin{gather*} e \cdot x = \lambda_e x = ex = x\\ (gh) \cdot x = \lambda_{gh}x = \lambda_g \lambda_h x = \lambda_g(hx) = g \cdot ( h \cdot x)\text{.} \end{gather*}
Jika \(H\) adalah subgrup dari \(G\text{,}\) maka \(G\) merupakan himpunan-\(H\) di bawah perkalian kiri oleh unsur-unsur \(H\text{.}\)

Contoh 14.1.4.

Misalkan \(G\) adalah suatu grup dan misalkan \(X=G\text{.}\) Jika \(H\) adalah subgrup dari \(G\text{,}\) maka \(G\) merupakan himpunan-\(H\) di bawah konjugasi; yaitu, kita dapat mendefinisikan suatu aksi \(H\) pada \(G\text{,}\)
\begin{equation*} H \times G \rightarrow G\text{,} \end{equation*}
melalui
\begin{equation*} (h,g) \mapsto hgh^{-1} \end{equation*}
untuk \(h \in H\) dan \(g \in G\text{.}\) Jelas bahwa aksioma pertama aksi grup berlaku. Dengan memperhatikan bahwa
\begin{align*} (h_1 h_2, g) & = h_1 h_2 g (h_1 h_2 )^{-1}\\ & = h_1( h_2 g h_2^{-1}) h_1^{-1}\\ & = (h_1, (h_2, g) )\text{,} \end{align*}
kita melihat bahwa syarat kedua juga dipenuhi.

Contoh 14.1.5.

Misalkan \(H\) adalah subgrup dari \(G\) dan \({\mathcal L}_H\) adalah himpunan koset kiri \(H\text{.}\) Himpunan \({\mathcal L}_H\) merupakan himpunan-\(G\) di bawah aksi
\begin{equation*} (g, xH) \mapsto gxH\text{.} \end{equation*}
Sekali lagi, mudah dilihat bahwa aksioma pertama berlaku. Karena \((g g')xH = g( g'x H)\text{,}\) aksioma kedua juga berlaku.
Jika \(G\) beraksi pada suatu himpunan \(X\) dan \(x, y \in X\text{,}\) maka \(x\) dikatakan ekuivalen-\(G\) dengan \(y\) jika terdapat \(g \in G\) sedemikian sehingga \(gx =y\text{.}\) Kita menulis \(x \sim_G y\) atau \(x \sim y\) jika kedua unsur ekuivalen-\(G\text{.}\)

Bukti.
Relasi \(\sim\) bersifat refleksif karena \(ex = x\text{.}\) Misalkan \(x \sim y\) untuk \(x, y \in X\text{.}\) Maka terdapat \(g\) sedemikian sehingga \(gx = y\text{.}\) Dalam hal ini \(g^{-1}y=x\text{;}\) jadi, \(y \sim x\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa relasi tersebut transitif, misalkan \(x \sim y\) dan \(y \sim z\text{.}\) Maka harus terdapat unsur-unsur grup \(g\) dan \(h\) sedemikian sehingga \(gx = y\) dan \(hy= z\text{.}\) Jadi, \(z = hy = (hg)x\text{,}\) dan \(x\) ekuivalen dengan \(z\text{.}\)
Jika \(X\) merupakan himpunan-\(G\text{,}\) maka setiap partisi \(X\) yang terkait dengan ekuivalensi-\(G\) disebut orbit dari \(X\) di bawah \(G\text{.}\) Kita akan menyatakan orbit yang memuat suatu unsur \(x\) dari \(X\) dengan \({\mathcal O}_x\text{.}\)

Contoh 14.1.7.

Misalkan \(G\) adalah grup permutasi yang didefinisikan oleh
\begin{equation*} G =\{(1), (1 \, 2 \, 3), (1 \, 3 \, 2), (4 \, 5), (1 \, 2 \, 3)(4 \, 5), (1 \, 3 \, 2)(4 \, 5) \} \end{equation*}
dan \(X = \{ 1, 2, 3, 4, 5\}\text{.}\) Maka \(X\) merupakan himpunan-\(G\text{.}\) Orbit-orbitnya adalah \({\mathcal O}_1 = {\mathcal O}_2 = {\mathcal O}_3 =\{1, 2, 3\}\) dan \({\mathcal O}_4 = {\mathcal O}_5 = \{4, 5\}\text{.}\)
Sekarang, misalkan \(G\) adalah grup yang beraksi pada suatu himpunan \(X\) dan misalkan \(g\) adalah unsur \(G\text{.}\) Himpunan titik tetap dari \(g\) dalam \(X\text{,}\) yang dinyatakan dengan \(X_g\text{,}\) adalah himpunan semua \(x \in X\) sedemikian sehingga \(gx = x\text{.}\) Kita juga dapat mempelajari unsur-unsur grup \(g\) yang menetapkan suatu \(x \in X\text{.}\) Himpunan ini bukan sekadar himpunan bagian dari \(G\text{,}\) melainkan suatu subgrup. Subgrup ini disebut subgrup penstabil atau subgrup isotropi dari \(x\text{.}\) Kita akan menyatakan subgrup penstabil dari \(x\) dengan \(G_x\text{.}\)

Catatan 14.1.8.

Penting untuk diingat bahwa \(X_g \subset X\) dan \(G_x \subset G\text{.}\)

Contoh 14.1.9.

Misalkan \(X = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) dan misalkan \(G\) adalah grup permutasi yang diberikan oleh permutasi-permutasi
\begin{equation*} \{ (1), (1 \, 2)(3 \, 4 \, 5 \, 6), (3 \, 5)(4 \, 6), (1 \, 2)( 3 \, 6 \, 5 \, 4) \}\text{.} \end{equation*}
Maka himpunan-himpunan titik tetap dari \(X\) di bawah aksi \(G\) adalah
\begin{gather*} X_{(1)} = X,\\ X_{(3 \, 5)(4 \, 6)} = \{1,2\},\\ X_{(1 \, 2)(3 \, 4 \, 5 \, 6)} = X_{(1 \, 2)(3 \, 6 \,5 \, 4)} = \emptyset\text{,} \end{gather*}
dan subgrup-subgrup penstabilnya adalah
\begin{gather*} G_1 = G_2 = \{(1), (3 \, 5)(4 \, 6) \},\\ G_3 = G_4 = G_5 = G_6 = \{(1)\}\text{.} \end{gather*}
Mudah dilihat bahwa \(G_x\) merupakan subgrup dari \(G\) untuk setiap \(x \in X\text{.}\)

Bukti.
Jelas bahwa \(e \in G_x\) karena identitas menetapkan setiap unsur dalam himpunan \(X\text{.}\) Misalkan \(g, h \in G_x\text{.}\) Maka \(gx = x\) dan \(hx = x\text{.}\) Jadi, \((gh)x = g(hx) = gx = x\text{;}\) dengan demikian, hasil kali dua unsur dalam \(G_x\) juga berada dalam \(G_x\text{.}\) Terakhir, jika \(g \in G_x\text{,}\) maka \(x = ex = (g^{-1}g)x = (g^{-1})gx = g^{-1} x\text{.}\) Jadi, \(g^{-1}\) berada dalam \(G_x\text{.}\)
Kita akan menyatakan banyaknya unsur dalam himpunan titik tetap suatu unsur \(g \in G\) dengan \(|X_g|\) dan banyaknya unsur dalam orbit \(x \in X\) dengan \(|{\mathcal O}_x|\text{.}\) Teorema berikut menunjukkan hubungan antara orbit suatu unsur \(x \in X\) dan koset-koset kiri \(G_x\) dalam \(G\text{.}\)

Bukti.
Kita mengetahui bahwa \(|G|/|G_x|\) adalah banyaknya koset kiri \(G_x\) dalam \(G\) berdasarkan Teorema Lagrange (Teorema 6.2.2). Kita akan mendefinisikan pemetaan bijektif \(\phi\) antara orbit \({\mathcal O}_x\) dari \(X\) dan himpunan koset kiri \({\mathcal L}_{G_x}\) dari \(G_x\) dalam \(G\text{.}\) Misalkan \(y \in {\mathcal O}_x\text{.}\) Maka terdapat \(g\) dalam \(G\) sedemikian sehingga \(g x = y\text{.}\) Definisikan \(\phi\) dengan \(\phi( y ) = g G_x\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa \(\phi\) satu-satu, asumsikan bahwa \(\phi(y_1) = \phi(y_2)\text{.}\) Maka
\begin{equation*} \phi(y_1) = g_1 G_x = g_2 G_x = \phi(y_2)\text{,} \end{equation*}
dengan \(g_1 x = y_1\) dan \(g_2 x = y_2\text{.}\) Karena \(g_1 G_x = g_2 G_x\text{,}\) terdapat \(g \in G_x\) sedemikian sehingga \(g_2 = g_1 g\text{,}\)
\begin{equation*} y_2 = g_2 x = g_1 g x = g_1 x = y_1; \end{equation*}
akibatnya, pemetaan \(\phi\) satu-satu. Terakhir, kita harus menunjukkan bahwa pemetaan \(\phi\) surjektif. Misalkan \(g G_x\) adalah suatu koset kiri. Jika \(g x = y\text{,}\) maka \(\phi(y) = g G_x\text{.}\)
Sblm.Paling AtasLanjut