Bentuk setiap subgrup dari grup alternasi pada 5 simbol, \(A_5\text{,}\) dan periksa bahwa masing-masing bukan subgrup normal (kecuali dua kasus trivial). Perintah ini mungkin memerlukan waktu beberapa detik untuk dijalankan. Bandingkan waktu tersebut dengan waktu yang diperlukan untuk menjalankan metode .is_simple(), dan sadari bahwa banyak teori serta kecerdikan digunakan untuk mempercepat perintah semacam ini. (Mungkin instalasi Sage Anda tidak memiliki pustaka milik GAP yang bernama “Table of Marks” sehingga Anda tidak dapat menghitung daftar subgrup.)
Perhatikan grup hasil bagi dari grup simetri suatu segi-\(8\text{,}\) yang dibentuk dengan subgrup siklik berorde \(4\) yang dibangkitkan oleh putaran seperempat. Gunakan fungsi coset_product untuk menentukan tabel Cayley bagi grup hasil bagi ini. Gunakan nomor setiap koset yang dihasilkan oleh metode .cosets() sebagai nama elemen-elemen grup hasil bagi. Anda perlu menyusun tabel tersebut “secara manual” karena tidak ada cara mudah untuk menggunakan perintah tabel Cayley Sage guna membuatnya. Anda dapat menyusun tabel dalam editor sembulan Sage Notebook (Shift-klik pada garis biru), atau membaca dokumentasi metode html.table().
Perhatikan subgrup siklik berorde \(4\) dalam grup simetri suatu segi-\(8\text{.}\) Verifikasi bahwa subgrup tersebut normal dengan terlebih dahulu membentuk koset kiri dan kanan secara langsung (tanpa menggunakan metode .cosets()), lalu memeriksa kesamaannya dalam Sage, semuanya dengan satu perintah yang menggunakan pengurutan melalui perintah sorted().
Sekali lagi, gunakan subgrup siklik berorde \(4\) yang sama dalam grup simetri suatu segi-\(8\text{.}\) Periksa bahwa subgrup tersebut normal dengan menggunakan bagian (2) dari Teorema 10.1.3. Susun perintah satu baris yang melakukan pemeriksaan lengkap dan mengembalikan True. Anda dapat terlebih dahulu mengurutkan elemen-elemen subgrup S, lalu secara bertahap menyusun daftar, perintah, dan syarat yang diperlukan. Perhatikan bahwa pemeriksaan ini sama sekali tidak memerlukan pembentukan koset.
Ulangi peragaan dari subbagian sebelumnya yang menunjukkan bahwa, bagi simetri suatu tetrahedron, subgrup siklik berorde \(3\) menghasilkan perkalian koset yang tidak terdefinisi. Di atas, pengaturan bawaan metode .cosets() membentuk koset kanan—tetapi dalam soal ini, gunakan koset kiri. Anda perlu memilih dua koset untuk dikalikan, lalu memperagakan dua pilihan wakil yang menghasilkan hasil perkalian koset yang berbeda.
Bentuk beberapa grup dihedral berorde \(2n\) (i.e. simetri suatu segi-\(n\text{,}\) yang ditulis \(D_{n}\) dalam teks dan DihedralGroup(n) dalam Sage). Anda bahkan dapat membentuk semuanya untuk \(3\leq n \leq 100\text{.}\) Untuk setiap grup dihedral, bentuk daftar orde setiap subgrup normal (jadi, gunakan .normal_subgroups()). Anda mungkin perlu menunggu sepuluh atau dua puluh detik sampai proses ini selesai; bersabarlah. Amati cukup banyak contoh untuk merumuskan hipotesis mengenai pola pengamatan Anda, periksa hipotesis itu terhadap setiap contoh, lalu nyatakan hipotesis Anda dengan jelas.
Dapatkah Anda meramalkan banyaknya subgrup normal dalam grup dihedral \(D_{470448}\) tanpa menggunakan Sage untuk membentuk semua subgrup normalnya? Dapatkah Anda mendeskripsikan semua subgrup normal dari suatu grup dihedral dengan cara yang memungkinkan kita meramalkan semua subgrup normal \(D_{470448}\) tanpa menggunakan Sage?
