Bab 13 Struktur Grup
Tujuan akhir teori grup adalah mengklasifikasikan semua grup hingga isomorfisma; yaitu, jika diberikan suatu grup tertentu, kita seharusnya dapat memadankannya dengan grup yang telah dikenal melalui suatu isomorfisma. Sebagai contoh, kita telah membuktikan bahwa setiap grup siklik hingga berorde \(n\) isomorfik dengan \({\mathbb Z}_n\text{;}\) dengan demikian, kita “mengenal” semua grup siklik hingga. Mungkin tidak masuk akal untuk berharap bahwa suatu saat kita akan mengenal semua grup; namun, kita sering dapat mengklasifikasikan jenis grup tertentu atau membedakan grup-grup dalam kasus khusus.
Dalam bab ini, kita akan mengarakterisasi semua grup abelian hingga. Kita juga akan menyelidiki grup yang memiliki barisan subgrup. Jika suatu grup memiliki barisan subgrup, katakanlah
\begin{equation*}
G = H_n \supset H_{n - 1} \supset \cdots \supset H_1 \supset H_0 = \{ e \}\text{,}
\end{equation*}
dengan setiap subgrup \(H_i\) normal dalam \(H_{i+1}\) dan setiap grup hasil bagi \(H_{i+1}/H_i\) abelian, maka \(G\) merupakan grup solvabel. Selain memungkinkan kita membedakan kelas-kelas grup tertentu, grup solvabel ternyata berperan sentral dalam kajian penyelesaian persamaan polinomial.
