Latihan 11.7 Latihan Sage

Automorfisme adalah isomorfisma antara suatu grup dan dirinya sendiri. Fungsi identitas (\(x\mapsto x\)) selalu merupakan isomorfisma, yang kita anggap trivial. Gunakan Sage untuk menyusun automorfisme nontrivial dari grup siklik berorde \(12\text{.}\) Periksa bahwa pemetaan tersebut surjektif sekaligus injektif dengan menghitung citra dan kernel, lalu melakukan pengujian yang tepat pada kedua subgrup ini. Sekarang susunlah semua automorfisme yang mungkin dari grup siklik berorde \(12\) tanpa duplikasi.

Keempat homomorfisma yang dibuat oleh konstruksi hasil kali langsung masing-masing merupakan contoh konstruksi homomorfisma yang lebih umum, yang melibatkan grup \(G\text{,}\) \(H\text{,}\) dan \(G\times H\text{.}\) Dengan menggunakan grup-grup yang sama seperti pada contoh dalam subbagian sebelumnya, cobalah menemukan dan menjelaskan konstruksi ini dengan definisi yang tepat bagi keempat homomorfisma secara umum.

Alat untuk menyelidiki homomorfisma grup Sage terbatas; Anda dapat mengambil setiap pembangkit domain dan melihat citranya. Berikut contoh jenis perhitungan yang mungkin dilakukan berulang kali. Kita akan menyelidiki homomorfisma kedua. Domainnya adalah grup dihedral, dan kita akan menghitung citra pembangkit pertama.

G = CyclicPermutationGroup(3)
H = DihedralGroup(4)
results = G.direct_product(H)
phi = results[2]
H.gens()

((1,2,3,4), (1,4)(2,3))

a = H.gen(0); a

(1,2,3,4)

phi(a)

(4,5,6,7)

Perhatikan dua grup permutasi. Grup pertama adalah subgrup dari \(S_7\) yang dibangkitkan oleh \((1, 2, 3)\) dan \((4, 5, 6, 7)\text{.}\) Grup kedua adalah subgrup dari \(S_{12}\) yang dibangkitkan oleh \((1, 2, 3)(4, 5, 6)(7, 8, 9)(10, 11, 12)\) dan \((1, 10, 7, 4)(2, 11, 8, 5)(3, 12, 9, 6)\text{.}\) Bangun kedua grup ini dan gunakan perintah Sage yang tepat untuk melihat bahwa keduanya isomorfik. Kemudian susun homomorfisma antara kedua grup yang merupakan isomorfisma, dan sertakan cukup banyak perincian untuk memverifikasi bahwa pemetaan tersebut benar-benar isomorfisma.

Paragraf kedua bab ini menjelaskan secara informal homomorfisma dari \(S_n\) ke \({\mathbb Z}_2\text{,}\) dengan semua permutasi genap dipetakan ke salah satu elemen dan semua permutasi ganjil dipetakan ke elemen lainnya. Gantilah \(S_n\) dengan \(S_6\) dan gantilah \({\mathbb Z}_2\) dengan versi permutasi dari subgrup siklik berorde \(2\text{,}\) lalu susun homomorfisma nontrivial antara kedua grup ini. Evaluasi homomorfisma Anda pada cukup banyak permutasi genap dan ganjil untuk meyakini bahwa hasilnya benar. Kemudian susun kernelnya dan verifikasi bahwa kernel tersebut merupakan grup yang Anda harapkan.

Petunjuk: Pertama, tentukan elemen grup berorde \(2\) yang akan dikaitkan dengan permutasi genap dan elemen yang akan dikaitkan dengan permutasi ganjil. Kemudian periksa pembangkit-pembangkit \(S_6\) untuk membantu menentukan cara menyusun homomorfisma tersebut.

Grup dihedral \(D_{20}\) memiliki beberapa subgrup normal, seperti yang terlihat di bawah ini. Masing-masing merupakan kernel suatu homomorfisma dengan domain \(D_{20}\text{.}\) Untuk setiap subgrup normal dari \(D_{20}\text{,}\) susun homomorfisma dari \(D_{20}\) ke \(D_{20}\) yang memiliki subgrup normal tersebut sebagai kernel. Sertakan verifikasi dalam pekerjaan Anda bahwa kernel yang dihasilkan memang sesuai. Banyak di antaranya mengikuti suatu pola, tetapi ketiga subgrup berorde \(20\) akan menjadi tantangan.

G = DihedralGroup(20)
[H.order() for H in G.normal_subgroups()]

[40, 20, 20, 20, 10, 4, 2, 5, 1]