Bagian 16.3 Homomorfisma Gelanggang dan Ideal

Dalam kajian grup, homomorfisma adalah pemetaan yang mempertahankan operasi grup. Demikian pula, homomorfisma antara gelanggang mempertahankan operasi penjumlahan dan perkalian dalam gelanggang. Secara lebih khusus, jika \(R\) dan \(S\) adalah gelanggang, maka homomorfisma gelanggang adalah pemetaan \(\phi : R \rightarrow S\) yang memenuhi

\begin{align*} \phi( a + b ) & = \phi( a ) + \phi(b)\\ \phi( a b ) & = \phi( a ) \phi(b) \end{align*}

untuk semua \(a, b \in R\text{.}\) Jika \(\phi : R \rightarrow S\) adalah homomorfisma yang injektif dan surjektif, maka \(\phi\) disebut isomorfisma gelanggang.

Himpunan unsur yang dipetakan ke \(0\) oleh suatu homomorfisma gelanggang memainkan peran mendasar dalam teori gelanggang. Untuk sebarang homomorfisma gelanggang \(\phi : R \rightarrow S\text{,}\) kita mendefinisikan kernel homomorfisma gelanggang sebagai himpunan

\begin{equation*} \ker \phi = \{ r \in R : \phi( r ) = 0 \}\text{.} \end{equation*}

Contoh 16.3.1.

Untuk sebarang bilangan bulat \(n\text{,}\) kita dapat mendefinisikan homomorfisma gelanggang \(\phi : {\mathbb Z} \rightarrow {\mathbb Z}_n\) dengan \(a \mapsto a \pmod{n}\text{.}\) Pemetaan ini memang merupakan homomorfisma gelanggang, karena

\begin{align*} \phi( a + b ) & = (a + b) \pmod{n}\\ & = a \pmod{n} + b \pmod{n}\\ & = \phi( a ) + \phi(b) \end{align*}

dan

\begin{align*} \phi( a b ) & = ab \pmod{n}\\ & = a \pmod{n}\cdot b \pmod{n}\\ & = \phi( a ) \phi(b)\text{.} \end{align*}

Kernel homomorfisma \(\phi\) adalah \(n {\mathbb Z}\text{.}\)

Contoh 16.3.2.

Misalkan \(C[a, b]\) adalah gelanggang fungsi kontinu bernilai real pada interval \([a,b]\) seperti dalam Contoh 16.1.5. Untuk suatu \(\alpha \in [a, b]\) yang tetap, kita dapat mendefinisikan homomorfisma gelanggang \(\phi_{\alpha} : C[a, b] \rightarrow {\mathbb R}\) dengan \(\phi_{\alpha} (f ) = f( \alpha)\text{.}\) Pemetaan ini merupakan homomorfisma gelanggang karena

\begin{gather*} \phi_{\alpha}( f + g ) = (f + g)( \alpha) = f(\alpha) + g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) + \phi_{\alpha}(g )\\ \phi_{\alpha}( f g ) = (f g)( \alpha) = f(\alpha) g(\alpha) = \phi_{\alpha}( f ) \phi_{\alpha}(g )\text{.} \end{gather*}

Homomorfisma gelanggang bertipe \(\phi_{\alpha}\) disebut homomorfisma evaluasi.

Dalam proposisi berikut, kita akan memeriksa beberapa sifat mendasar homomorfisma gelanggang. Pembuktian proposisi tersebut diserahkan sebagai latihan.

Proposisi 16.3.3.

Misalkan \(\phi : R \rightarrow S\) adalah homomorfisma gelanggang.

Jika \(R\) adalah gelanggang komutatif, maka \(\phi(R)\) adalah gelanggang komutatif.
\(\phi( 0 ) = 0\text{.}\)
Misalkan \(1_R\) dan \(1_S\) masing-masing adalah identitas untuk \(R\) dan \(S\text{.}\) Jika \(\phi\) surjektif, maka \(\phi(1_R) = 1_S\text{.}\)
Jika \(R\) adalah lapangan dan \(\phi(R) \neq \{ 0 \}\text{,}\) maka \(\phi(R)\) adalah lapangan.

Dalam teori grup, kita mendapati bahwa subgrup normal memainkan peran khusus. Subgrup-subgrup ini memiliki karakteristik baik yang membuatnya lebih menarik untuk dikaji daripada subgrup sebarang. Dalam teori gelanggang, objek yang bersesuaian dengan subgrup normal adalah suatu kelas khusus subgelanggang yang disebut ideal. Ideal dalam gelanggang \(R\) adalah subgelanggang \(I\) dari \(R\) sedemikian sehingga jika \(a\) berada dalam \(I\) dan \(r\) berada dalam \(R\text{,}\) maka \(ar\) dan \(ra\) keduanya berada dalam \(I\text{;}\) yaitu, \(rI \subset I\) dan \(Ir \subset I\) untuk semua \(r \in R\text{.}\)

Contoh 16.3.4.

Setiap gelanggang \(R\) memiliki sekurang-kurangnya dua ideal, yaitu \(\{ 0 \}\) dan \(R\text{.}\) Ideal-ideal ini disebut ideal trivial.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang dengan identitas dan andaikan \(I\) adalah ideal dalam \(R\) sedemikian sehingga \(1\) berada dalam \(I\text{.}\) Karena untuk sebarang \(r \in R\text{,}\) \(r1 = r \in I\) berdasarkan definisi ideal, maka \(I = R\text{.}\)

Contoh 16.3.5.

Jika \(a\) adalah sebarang unsur dalam gelanggang komutatif \(R\) dengan identitas, maka himpunan

\begin{equation*} \langle a \rangle = \{ ar : r \in R \} \end{equation*}

adalah ideal dalam \(R\text{.}\) Jelas bahwa \(\langle a \rangle\) tidak kosong karena \(0 = a0\) dan \(a = a1\) keduanya berada dalam \(\langle a \rangle\text{.}\) Jumlah dua unsur dalam \(\langle a \rangle\) kembali berada dalam \(\langle a \rangle\) karena \(ar + ar' = a(r + r')\text{.}\) Invers dari \(ar\) adalah \(-ar = a (-r) \in \langle a \rangle\text{.}\) Terakhir, jika kita mengalikan unsur \(ar \in \langle a \rangle\) dengan sebarang unsur \(s \in R\text{,}\) kita memperoleh \(s(ar) = a(sr)\text{.}\) Oleh karena itu, \(\langle a \rangle\) memenuhi definisi ideal.

Jika \(R\) adalah gelanggang komutatif dengan identitas, maka ideal berbentuk \(\langle a \rangle = \{ ar : r \in R \}\) disebut ideal utama.

Teorema 16.3.6.

Setiap ideal dalam gelanggang bilangan bulat \({\mathbb Z}\) adalah ideal utama.

Bukti.

Ideal nol \(\{ 0 \}\) adalah ideal utama karena \(\langle 0 \rangle = \{ 0 \}\text{.}\) Jika \(I\) adalah sebarang ideal taknol dalam \({\mathbb Z}\text{,}\) maka \(I\) harus memuat suatu bilangan bulat positif \(m\text{.}\) Berdasarkan Prinsip Terurut Baik, terdapat bilangan bulat positif terkecil \(n\) dalam \(I\text{.}\) Sekarang misalkan \(a\) adalah sebarang unsur dalam \(I\text{.}\) Dengan menggunakan algoritma pembagian, kita mengetahui bahwa terdapat bilangan bulat \(q\) dan \(r\) sedemikian sehingga

\begin{equation*} a = nq + r \end{equation*}

dengan \(0 \leq r \lt n\text{.}\) Persamaan ini menunjukkan bahwa \(r = a - nq \in I\text{,}\) tetapi \(r\) harus sama dengan \(0\) karena \(n\) adalah unsur positif terkecil dalam \(I\text{.}\) Oleh karena itu, \(a = nq\) dan \(I = \langle n \rangle\text{.}\)

Contoh 16.3.7.

Himpunan \(n {\mathbb Z}\) adalah ideal dalam gelanggang bilangan bulat. Jika \(na\) berada dalam \(n{\mathbb Z}\) dan \(b\) berada dalam \({\mathbb Z}\text{,}\) maka \(nab\) berada dalam \(n {\mathbb Z}\) sebagaimana disyaratkan. Bahkan, berdasarkan Teorema 16.3.6, himpunan-himpunan ini merupakan satu-satunya ideal dari \({\mathbb Z}\text{.}\)

Proposisi 16.3.8.

Kernel dari sebarang homomorfisma gelanggang \(\phi : R \rightarrow S\) adalah ideal dalam \(R\text{.}\)

Bukti.

Dari teori grup, kita mengetahui bahwa \(\ker \phi\) adalah subgrup aditif dari \(R\text{.}\) Andaikan \(r \in R\) dan \(a \in \ker \phi\text{.}\) Maka kita harus menunjukkan bahwa \(ar\) dan \(ra\) berada dalam \(\ker \phi\text{.}\) Namun,

\begin{equation*} \phi(ar) = \phi(a) \phi(r) = 0 \phi(r) = 0 \end{equation*}

dan

\begin{equation*} \phi(ra) = \phi(r) \phi(a) = \phi(r)0 = 0\text{.} \end{equation*}

Catatan 16.3.9.

Dalam definisi ideal, kita mensyaratkan \(rI \subset I\) dan \(Ir \subset I\) untuk semua \(r \in R\text{.}\) Ideal semacam itu kadang-kadang disebut ideal dua sisi. Kita juga dapat meninjau ideal satu sisi; yaitu, kita dapat mensyaratkan hanya salah satu dari \(rI \subset I\) atau \(Ir \subset I\) untuk \(r \in R\text{,}\) tetapi tidak keduanya. Ideal semacam itu masing-masing disebut ideal kiri dan ideal kanan. Tentu saja, dalam gelanggang komutatif setiap ideal harus dua sisi. Dalam buku ini, kita akan berfokus pada ideal dua sisi.

Teorema 16.3.10.

Misalkan \(I\) adalah ideal dari \(R\text{.}\) Grup hasil bagi \(R/I\) adalah gelanggang dengan perkalian yang didefinisikan oleh

\begin{equation*} (r + I)(s + I) = rs + I\text{.} \end{equation*}

Bukti.

Kita telah mengetahui bahwa \(R/I\) adalah grup abelian terhadap penjumlahan. Misalkan \(r+I\) dan \(s +I\) berada dalam \(R/I\text{.}\) Kita harus menunjukkan bahwa hasil kali \((r + I)(s + I) = rs + I\) tidak bergantung pada pemilihan koset; yaitu, jika \(r' \in r+I\) dan \(s' \in s+I\text{,}\) maka \(r's'\) harus berada dalam \(rs+I\text{.}\) Karena \(r' \in r+I\text{,}\) terdapat unsur \(a\) dalam \(I\) sedemikian sehingga \(r' = r + a\text{.}\) Demikian pula, terdapat \(b \in I\) sedemikian sehingga \(s' = s + b\text{.}\) Perhatikan bahwa

\begin{equation*} r' s' = (r+a)(s+b) = rs + as + rb + ab \end{equation*}

dan \(as + rb + ab \in I\) karena \(I\) adalah ideal; akibatnya, \(r' s' \in rs + I\text{.}\) Verifikasi hukum asosiatif untuk perkalian dan hukum-hukum distributif diserahkan sebagai latihan.

Gelanggang \(R/I\) dalam Teorema 16.3.10 disebut gelanggang hasil bagi atau gelanggang hasil bagi. Sebagaimana pada homomorfisma grup dan subgrup normal, terdapat hubungan antara homomorfisma gelanggang dan ideal.

Teorema 16.3.11.

Misalkan \(I\) adalah ideal dari \(R\text{.}\) Pemetaan \(\phi : R \rightarrow R/I\) yang didefinisikan oleh \(\phi( r ) = r + I\) adalah homomorfisma gelanggang dari \(R\) ke \(R/I\) yang surjektif dengan kernel \(I\text{.}\)

Bukti.

Jelas bahwa \(\phi : R \rightarrow R/I\) adalah homomorfisma grup abelian yang surjektif. Tinggal menunjukkan bahwa \(\phi\) berperilaku sebagaimana mestinya terhadap perkalian gelanggang. Misalkan \(r\) dan \(s\) berada dalam \(R\text{.}\) Maka

\begin{equation*} \phi(r) \phi(s) = (r + I)(s+I) = rs + I = \phi(rs)\text{,} \end{equation*}

yang melengkapi pembuktian teorema.

Pemetaan \(\phi : R \rightarrow R/I\) sering disebut homomorfisma alami atau homomorfisma kanonik. Dalam teori gelanggang, terdapat teorema-teorema isomorfisma yang menghubungkan ideal dengan homomorfisma gelanggang, serupa dengan teorema isomorfisma grup yang menghubungkan subgrup normal dengan homomorfisma dalam Bab 11. Dalam bab ini, kita hanya akan membuktikan Teorema Isomorfisma Pertama untuk gelanggang dan menyerahkan pembuktian dua teorema lainnya sebagai latihan. Semua pembuktian tersebut serupa dengan pembuktian teorema isomorfisma untuk grup.

Teorema 16.3.12. Teorema Isomorfisma Pertama.

Misalkan \(\psi : R \rightarrow S\) adalah homomorfisma gelanggang. Maka \(\ker \psi\) adalah ideal dari \(R\text{.}\) Jika \(\phi : R \rightarrow R/\ker \psi\) adalah homomorfisma kanonik, maka terdapat isomorfisma tunggal \(\eta: R/\ker \psi \rightarrow \psi(R)\) sedemikian sehingga \(\psi = \eta \phi\text{.}\)

Bukti.

Misalkan \(K = \ker \psi\text{.}\) Berdasarkan Teorema Isomorfisma Pertama untuk grup, terdapat homomorfisma grup terdefinisi dengan baik \(\eta: R/K \rightarrow \psi(R)\) yang didefinisikan oleh \(\eta(r + K) = \psi(r)\) untuk grup abelian aditif \(R\) dan \(R/K\text{.}\) Untuk menunjukkan bahwa pemetaan ini merupakan homomorfisma gelanggang, kita hanya perlu menunjukkan bahwa \(\eta( (r + K)(s + K) ) = \eta(r + K) \eta( s + K)\text{;}\) tetapi

\begin{align*} \eta( (r + K)( s +K )) & = \eta(r s +K )\\ & = \psi(r s)\\ & = \psi(r) \psi(s)\\ & = \eta( r + K ) \eta( s + K )\text{.} \end{align*}

Teorema 16.3.13. Teorema Isomorfisma Kedua.

Misalkan \(I\) adalah subgelanggang dari gelanggang \(R\) dan \(J\) adalah ideal dari \(R\text{.}\) Maka \(I \cap J\) adalah ideal dari \(I\) dan

\begin{equation*} I / I \cap J \cong (I+ J) /J\text{.} \end{equation*}

Teorema 16.3.14. Teorema Isomorfisma Ketiga.

Misalkan \(R\) adalah gelanggang serta \(I\) dan \(J\) adalah ideal dari \(R\) dengan \(J \subset I\text{.}\) Maka

\begin{equation*} R/I \cong \frac{R/J}{I/J}\text{.} \end{equation*}

Teorema 16.3.15. Teorema Korespondensi.

Misalkan \(I\) adalah ideal dari gelanggang \(R\text{.}\) Maka \(S \mapsto S/I\) merupakan korespondensi satu-ke-satu antara himpunan subgelanggang \(S\) yang memuat \(I\) dan himpunan subgelanggang dari \(R/I\text{.}\) Lebih lanjut, ideal-ideal dari \(R\) yang memuat \(I\) bersesuaian dengan ideal-ideal dari \(R/I\text{.}\)

Sblm.Paling Atas Lanjut