Hitung masing-masing grup Galois berikut. Manakah di antara perluasan lapangan ini yang merupakan perluasan lapangan normal? Jika perluasannya tidak normal, temukan suatu perluasan normal dari \({\mathbb Q}\) yang memuat lapangan perluasan tersebut.
maka \(G(\gf(729)/ \gf(9)) \cong {\mathbb Z}_3\text{.}\) Suatu pembangkit untuk \(G(\gf(729)/ \gf(9))\) adalah \(\sigma\text{,}\) dengan \(\sigma_{3^6}( \alpha) = \alpha^{3^6} = \alpha^{729}\) untuk \(\alpha \in \gf(729)\text{.}\)
Tentukan grup Galois dari masing-masing polinomial berikut dalam \({\mathbb Q}[x]\text{;}\) kemudian tentukan keterpecahan dengan radikal dari masing-masing polinomial tersebut.
Misalkan \(E\) lapangan pemisah dari suatu polinomial kubik dalam \(F[x]\text{.}\) Tunjukkan bahwa \([E:F]\) kurang dari atau sama dengan \(6\) dan habis dibagi \(3\text{.}\) Karena \(G(E/F)\) merupakan subgrup dari \(S_3\) yang ordenya habis dibagi \(3\text{,}\) simpulkan bahwa grup ini harus isomorfik dengan \({\mathbb Z}_3\) atau \(S_3\text{.}\)
Misalkan \(F \subset K \subset E\) lapangan-lapangan. Jika \(E\) merupakan perluasan normal dari \(F\text{,}\) tunjukkan bahwa \(E\) juga harus merupakan perluasan normal dari \(K\text{.}\)
Misalkan \(F \subset E\text{.}\) Jika \(f(x)\) dapat diselesaikan atas \(F\text{,}\) tunjukkan bahwa \(f(x)\) juga dapat diselesaikan atas \(E\text{.}\)
Misalkan \(p\) prima. Buktikan bahwa terdapat suatu polinomial \(f(x) \in{\mathbb Q}[x]\) berderajat \(p\) dengan grup Galois yang isomorfik dengan \(S_p\text{.}\) Simpulkan bahwa untuk setiap bilangan prima \(p\) dengan \(p \geq 5\text{,}\) terdapat suatu polinomial berderajat \(p\) yang tidak dapat diselesaikan dengan radikal.
Misalkan \(p\) suatu bilangan prima dan \({\mathbb Z}_p(t)\) lapangan fungsi rasional atas \({\mathbb Z}_p\text{.}\) Buktikan bahwa \(f(x) = x^p - t\) merupakan polinomial taktereduksi dalam \({\mathbb Z}_p(t)[x]\text{.}\) Tunjukkan bahwa \(f(x)\) tidak separabel.
Misalkan \(E\) suatu lapangan perluasan dari \(F\text{.}\) Andaikan \(K\) dan \(L\) dua lapangan antara. Jika terdapat elemen \(\sigma \in G(E/F)\) sedemikian sehingga \(\sigma(K) = L\text{,}\) maka \(K\) dan \(L\) disebut lapangan-lapangan konjugat. Buktikan bahwa \(K\) dan \(L\) konjugat jika dan hanya jika \(G(E/K)\) dan \(G(E/L)\) merupakan subgrup-subgrup konjugat dari \(G(E/F)\text{.}\)
Misalkan \(K\) lapangan pemisah dari \(x^3 + x^2 + 1 \in {\mathbb Z}_2[x]\text{.}\) Buktikan atau sangkal bahwa \(K\) merupakan perluasan dengan radikal.
Misalkan \(F\) suatu lapangan sedemikian sehingga \(\chr(F) \neq 2\text{.}\) Buktikan bahwa lapangan pemisah dari \(f(x) = a x^2 + b x + c\) adalah \(F( \sqrt{\alpha}\, )\text{,}\) dengan \(\alpha = b^2 - 4ac\text{.}\)
Misalkan \(K\) lapangan pemisah dari suatu polinomial atas \(F\text{.}\) Buktikan bahwa jika \(E\) merupakan perluasan lapangan dari \(F\) yang termuat dalam \(K\) dan \([E:F] = 2\text{,}\) maka \(E\) merupakan lapangan pemisah dari suatu polinomial dalam \(F[x]\text{.}\)
taktereduksi atas \({\mathbb Q}\) untuk setiap bilangan prima \(p\text{.}\) Misalkan \(\omega\) suatu akar dari \(\Phi_p(x)\text{,}\) dan tinjau lapangan \({\mathbb Q}(\omega)\text{.}\)
Tunjukkan bahwa \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p-1}\) merupakan akar-akar berbeda dari \(\Phi_p(x)\text{,}\) dan simpulkan bahwa semuanya adalah seluruh akar dari \(\Phi_p(x)\text{.}\)
Jelas bahwa \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) berbeda karena \(\omega \neq 1\) atau 0. Untuk menunjukkan bahwa \(\omega^i\) merupakan akar dari \(\Phi_p\text{,}\) hitung \(\Phi_p( \omega^i)\text{.}\)
Konjugat-konjugat dari \(\omega\) adalah \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\text{.}\) Definisikan suatu pemetaan \(\phi_i: {\mathbb Q}(\omega) \rightarrow {\mathbb Q}(\omega^i)\) dengan
dengan \(a_i \in {\mathbb Q}\text{.}\) Buktikan bahwa \(\phi_i\) merupakan isomorfisma lapangan. Tunjukkan bahwa \(\phi_2\) membangkitkan \(G({\mathbb Q}(\omega)/{\mathbb Q})\text{.}\)
Tunjukkan bahwa \(\{ \omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1} \}\) merupakan basis untuk \({\mathbb Q}( \omega )\) atas \({\mathbb Q}\text{,}\) dan tinjau kombinasi linear mana dari \(\omega, \omega^2, \ldots, \omega^{p - 1}\) yang ditetapkan oleh semua elemen dari \(G( {\mathbb Q}( \omega ) / {\mathbb Q})\text{.}\)
Misalkan \(F\) suatu lapangan hingga atau lapangan berkarakteristik nol. Misalkan \(E\) suatu perluasan normal hingga dari \(F\) dengan grup Galois \(G(E/F)\text{.}\) Buktikan bahwa \(F \subset K \subset L \subset E\) jika dan hanya jika \(\{ \identity \} \subset G(E/L) \subset G(E/K) \subset G(E/F)\text{.}\)
Misalkan \(F\) suatu lapangan berkarakteristik nol dan misalkan \(f(x) \in F[x]\) suatu polinomial separabel berderajat \(n\text{.}\) Jika \(E\) merupakan lapangan pemisah dari \(f(x)\text{,}\) misalkan \(\alpha_1, \ldots, \alpha_n\) akar-akar dari \(f(x)\) dalam \(E\text{.}\) Misalkan \(\Delta = \prod_{i \lt j} (\alpha_i - \alpha_j)\text{.}\) Kita mendefinisikan diskriminan dari \(f(x)\) sebagai \(\Delta^2\text{.}\)
Jika \(f(x) = x^2 + b x + c\text{,}\) tunjukkan bahwa \(\Delta^2 = b^2 - 4c\text{.}\)
