Latihan 23.8 Latihan Sage

1.

Dalam analisis Contoh 23.2.12 dengan Sage, dua subgrup berorde \(2\) dan satu subgrup berorde \(4\) belum dianalisis. Tentukan lapangan tetap dari ketiga subgrup ini.

2.

Bangun lapangan pemisah dari \(p(x)=x^3-6x^2+12x-10\text{,}\) lalu tentukan grup Galois dari \(p(x)\) sebagai grup konkret dari permutasi-permutasi eksplisit. Bangun kisi subgrup dari grup Galois, sekali lagi dengan menggunakan permutasi-permutasi eksplisit yang sama. Dengan menggunakan Teorema Fundamental Teori Galois, konstruksikan sublapangan-sublapangan dari lapangan pemisah. Sertakan dokumentasi pendukung dalam lembar kerja Sage yang Anda serahkan. Serahkan pula komponen tertulis dari tugas ini yang memuat tata letak lengkap subgrup dan sublapangan, ditulis seluruhnya dengan notasi matematika dan tanpa perintah Sage, untuk mengilustrasikan korespondensi antara keduanya. Yang Anda perlukan di sini hanyalah tata letak grafis dengan label yang sesuai — lembar kerja Sage akan mendukung hasil kerja Anda.

3.

Polinomial \(x^5-x-1\) memiliki seluruh grup simetrik \(S_5\) sebagai grup Galoisnya. Karena \(S_5\) tidak dapat diselesaikan, kita mengetahui bahwa polinomial ini merupakan contoh polinomial kuintik yang tidak dapat diselesaikan dengan radikal. Sayangnya, meminta Sage menghitung grup Galois ini memerlukan waktu yang terlalu lama. Oleh karena itu, latihan ini akan menyimulasikan pengalaman tersebut dengan contoh yang sedikit lebih kecil.

Tinjau polinomial \(p(x)=x^4+x+1\text{.}\)

Bangun lapangan pemisah dari \(p(x)\) satu akar demi satu akar. Buat suatu perluasan, faktorkan polinomial di sana, singkirkan faktor-faktor linear, lalu gunakan faktor taktereduksi yang tersisa untuk memperluas sekali lagi. Ulangi sampai \(p(x)\) terfaktorkan sepenuhnya. Pastikan untuk melakukan perluasan terakhir hanya melalui suatu faktor linear. Langkah ini sedikit konyol, dan Sage tampaknya akan mengabaikan pembangkit terakhir Anda (jadi Anda perlu menentukan padanan pembangkit tersebut dalam pembangkit-pembangkit sebelumnya). Petunjuk di bawah bergantung pada langkah tambahan ini.
Faktorkan polinomial semula atas lapangan perluasan terakhir dalam menara. Apa yang membosankan dari faktorisasi ini dibandingkan dengan beberapa contoh lain yang telah kita kerjakan?
Konstruksikan seluruh menara sebagai lapangan absolut atas \({\mathbb Q}\text{.}\) Dari derajat perluasan ini dan derajat polinomial semula, deduksikan grup Galois dari polinomial tersebut.
Dengan menggunakan pemetaan yang memungkinkan Anda berpindah antara menara dan lapangan absolut (yang diperoleh dari metode .structure()), pilih salah satu akar (akar mana pun) dan nyatakan akar tersebut dalam pembangkit tunggal dari lapangan absolut. Kemudian balik prosedurnya dan nyatakan pembangkit tunggal dari lapangan absolut dalam akar-akar pada menara.
Hitung grup automorfisme dari lapangan absolut (tetapi jangan tampilkan seluruh grup dalam hasil yang Anda serahkan). Ambil keempat akar (termasuk akar konyol dari langkah terakhir konstruksi menara) dan terapkan setiap automorfisme lapangan pada keempat akar tersebut (sehingga menghasilkan permutasi akar-akar yang dijamin ada). Berikan komentar mengenai apa yang Anda lihat.
Terdapat satu automorfisme taktrivial yang memiliki bentuk sangat sederhana (dalam kasus saya, automorfisme kedua) ketika diterapkan pada pembangkit lapangan absolut. Apa yang dilakukan automorfisme ini terhadap akar-akar \(p(x)\text{?}\)
Tinjau perluasan dari \({\mathbb Q}\) yang dibentuk dengan mengadjoin satu akar saja. Lapangan ini merupakan sublapangan dari lapangan pemisah polinomial tersebut, sehingga merupakan lapangan tetap dari suatu subgrup grup Galois. Berikan deskripsi sederhana mengenai subgrup yang bersesuaian dengan menggunakan istilah yang biasanya hanya kita terapkan pada grup permutasi.

4.

Kembali ke lapangan pemisah dari polinomial kuintik yang dibahas dalam pengantar soal sebelumnya (\(x^5-x-1\)). Buat dua lapangan antara pertama dengan mengadjoin dua akar (satu per satu). Namun, alih-alih memfaktorkan pada setiap langkah untuk memperoleh polinomial taktereduksi baru, bagilah dengan faktor linear yang Anda ketahui merupakan suatu faktor. Secara umum, hasil baginya mungkin dapat difaktorkan lebih lanjut, tetapi dalam latihan ini anggaplah tidak demikian. Dengan kata lain, bertindaklah seolah-olah hasil bagi dengan faktor linear tersebut taktereduksi. Jika tidak, perintah NumberField() seharusnya mengeluh (dan hal itu tidak akan terjadi).

Setelah mengadjoin dua akar, buat perluasan yang menghasilkan akar ketiga, lalu lakukan pembagian. Sekarang Anda seharusnya memiliki suatu faktor kuadrat. Dengan mengasumsikan bahwa faktor kuadrat tersebut taktereduksi (memang demikian), berikan argumen bahwa Anda memiliki cukup bukti untuk menetapkan orde grup Galois, sehingga dapat menentukan secara tepat grup mana itu.

Anda dapat mencoba menggunakan faktor kuadrat ini untuk membuat satu langkah tambahan dalam perluasan, dan Anda akan tiba pada lapangan pemisah, sebagaimana dapat dilihat melalui logika atau pembagian. Namun, proses ini mungkin memerlukan waktu lama (simpan pekerjaan Anda terlebih dahulu!). Anda dapat mencoba meneruskan argumen check=False kepada perintah NumberField() — langkah ini akan melewati pemeriksaan ketaktereduksian.

5.

Buat lapangan hingga berorde \(3^6\text{,}\) dengan membiarkan Sage menyediakan polinomial bawaan untuk konstruksinya. Polinomial \(x^6+x^2+2x+1\) taktereduksi atas lapangan hingga ini. Periksa bahwa polinomial ini terpisah dalam lapangan hingga tersebut, lalu gunakan metode .roots() untuk mengumpulkan akar-akar polinomial. Dapatkan grup automorfisme dari lapangan tersebut dengan perintah End().

Sekarang Anda memiliki semua unsur untuk mengaitkan setiap automorfisme lapangan dengan suatu permutasi akar-akar. Dari sini, identifikasikan grup Galois dan semua subgrupnya. Untuk setiap subgrup, tentukan lapangan tetapnya. Akar-akar tersebut mungkin lebih mudah ditangani jika Anda menggunakan metode .log() untuk mengidentifikasikannya sebagai pangkat-pangkat pembangkit multiplikatif lapangan.

Grup Galois Anda dalam contoh ini akan abelian. Jadi, setiap subgrup normal, dan dengan demikian setiap perluasan juga normal. Dapatkah Anda memperluas contoh ini dengan memilih suatu lapangan antara taktrivial beserta suatu polinomial taktereduksi taktrivial yang memiliki semua akarnya dalam lapangan antara tersebut dan suatu polinomial taktereduksi taktrivial yang tidak memiliki satu pun akar dalam lapangan antara tersebut?

Hasil Anda di sini bersifat “tipikal” dalam arti bahwa pilihan lapangan atau polinomial taktereduksi tertentu hanya sedikit memengaruhi sifat kualitatif hasilnya.

6.

Lapangan pemisah dari polinomial taktereduksi \(p(x)=x^7-7x+3\) berderajat 168 (sehingga ini merupakan orde grup Galoisnya). Polinomial ini diturunkan dari suatu “kurva trinomial Elkies,” yaitu kurva hipereliptik (di bawah) yang menghasilkan polinomial dengan grup Galois yang menarik:

\begin{equation*} y^2 = x(81x^5 + 396x^4 + 738x^3 + 660x^2 + 269x + 48) \end{equation*}

Untuk \(p(x)\text{,}\) grup Galois yang dihasilkan adalah \(PSL(2,7)\text{,}\) suatu grup sederhana. Jika \(SL(2,7)\) adalah himpunan semua matriks \(2\times 2\) atas \({\mathbb Z}_7\) dengan determinan 1, maka \(PSL(2,7)\) merupakan grup hasil bagi oleh subgrup \(\{I_2,-I_2\}\text{.}\) Grup ini merupakan grup sederhana nonabelian terkecil kedua (setelah \(A_5\)).

Lihat sejauh mana Anda dapat menggunakan Sage untuk membangun lapangan pemisah ini. Suatu perluasan berderajat \(7\) akan menghasilkan satu faktor linear, dan perluasan berderajat \(6\) berikutnya akan menghasilkan dua faktor linear, sehingga menyisakan suatu faktor kuartik. Pada titik inilah perhitungan mulai melambat. Jika kita menerima bahwa lapangan pemisah berderajat \(168\text{,}\) kita mengetahui bahwa penambahan satu akar dari faktor berderajat 4 ini akan membawa kita ke lapangan pemisah. Membuat perluasan ini mungkin dapat dilakukan secara komputasional, tetapi memverifikasi bahwa faktor kuartik tersebut terpisah menjadi faktor-faktor linear di sini tampaknya tidak layak dilakukan.

7.

Kembali ke Contoh 23.2.12 dan daftar lengkap sublapangan yang dapat diperoleh dari metode .subfields() yang diterapkan pada menara yang diratakan. Seperti telah disebutkan, secara teknis lapangan-lapangan ini bukan sublapangan, tetapi memiliki pembenaman ke dalam menara. Untuk dua sublapangan tertentu, elemen primitif masing-masing dibenamkan ke dalam menara, dengan citra yang merupakan kombinasi linear pangkat-pangkat elemen primitif menara tersebut.

Jika salah satu sublapangan termuat dalam sublapangan lainnya, maka citra elemen primitif dari lapangan yang lebih kecil seharusnya merupakan kombinasi linear dari pangkat-pangkat yang sesuai dari citra elemen primitif lapangan yang lebih besar. Ini merupakan perhitungan aljabar linear yang seharusnya dapat dilakukan dalam menara, relatif terhadap basis pangkat untuk seluruh menara.

Tulis suatu prosedur untuk menentukan apakah dua sublapangan berhubungan karena salah satunya merupakan himpunan bagian dari yang lain. Kemudian gunakan prosedur ini untuk membuat kisi sublapangan. Tujuan akhirnya adalah tampilan grafis dari kisi tersebut, dengan menggunakan fasilitas pembuatan plot yang tersedia untuk kisi, serupa dengan bagian atas Gambar 23.2.13. Ini merupakan latihan yang “menantang”, yang merupakan cara halus untuk mengatakan bahwa “latihan ini bersifat spekulatif dan belum diuji.”

Sblm.Paling Atas Lanjut